[03]“縮放圓”、“轉(zhuǎn)動(dòng)圓”(或“軌跡圓心圓”)

1、 高三物理專(zhuān)題：“縮放圓”、“轉(zhuǎn)動(dòng)圓”（或“軌跡圓心圓”）（一）縮放圓帶電粒子以任意速度、沿特定方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們將在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖所示，（圖中只畫(huà)出粒子帶正電的情景），速度v0越大,運(yùn)動(dòng)半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源產(chǎn)生的粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直速度方向的直線(xiàn)PP上.由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類(lèi)粒子運(yùn)動(dòng)的臨界條件時(shí)，可以以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP直線(xiàn)上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問(wèn)題迎刃而解，這種方法稱(chēng)為“放縮法”.或者 若磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅存在于第一象限（如圖2），一帶負(fù)電的粒子

2、（質(zhì)量為m,帶電量為q）從距原點(diǎn)O為d的A點(diǎn)射入。若粒子射入的方向不變，要使粒子不能從x軸射出，則粒子的速度不能超過(guò)多少？qBdm(1+sinV2【解析】作圖如圖所示，由r+rsin，d，qvB，m，解得:r如圖所示，寬度為d的勻強(qiáng)有界磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，MM，和NN是磁場(chǎng)左右的兩條邊界線(xiàn).現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶正電粒子沿圖示方向垂直射入磁場(chǎng)中，0=45.要使粒子不能從右邊界NN射出，求粒子入射速率的最大值為多少？【解析】用放縮法作出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如題圖所示，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)軌跡與NN邊界線(xiàn)相切于P點(diǎn)時(shí)，這就是具有最大入射速率v的粒子的軌跡.由題圖可知：maxR(1cos45)=d，又B

3、qvmaxmmaxR聯(lián)立可得:Vmax=22Bqd3如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,寬度為d,邊界為CD和EF.電子從CD邊界外側(cè)以速率v0垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與CD邊界間夾角為0.已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e,為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，求電子的速率v0至少多大？#,EIXXI11ID；xXxg【解析】當(dāng)入射速率v0很小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道的邊界與EF相切時(shí)，電子恰好不能從EF射出，如圖所示.Bed1cos在一空心圓柱面內(nèi)有一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁扌磁場(chǎng)邊界為同心圓，內(nèi)、外半徑分別為出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，：

4、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,其橫截面如圖所示，)圓心處有一粒子源不斷地沿半徑方向射力.為使這些粒子不射出磁場(chǎng)外邊界，粒電子恰好射出時(shí),由幾何知識(shí)可得：r+rcos0=d口mv_又r=oBe由得：v0Bedm1cos子從圓心處射出時(shí)速度不能超過(guò)【答案】A【解析】如圖所示，帶電粒子不從磁場(chǎng)中穿出，其臨界條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡mv應(yīng)與外圓相切，所以(2+1)rr2=r2+r2x,解上式可得r=r,又由r=，可得，XXX/pT)qB選項(xiàng)A正確。(二)轉(zhuǎn)動(dòng)圓(或“軌跡圓心圓”)帶電粒子以一定速度、沿任意方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們將在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其軌跡半徑相同，若射入初速度為v0,則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R

5、=mv0/(qB),如圖所示.同時(shí)可發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源的粒子射入磁場(chǎng)后，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R=mv0/(qB)的圓(這個(gè)圓在下面的敘述中稱(chēng)為“軌跡圓心圓”)上.由此我們也可以得到一種確定臨界條件的方法:確定這類(lèi)粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界條件時(shí)，可以將一半徑為R=mv0/(qB)的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱(chēng)為“平移法”.在真空中半徑為r=3cm的圓形區(qū)域內(nèi)有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖3所示。一帶正電的粒子以v=1.2xl06m/s的初速度從磁場(chǎng)邊界直徑ab的a端射入磁場(chǎng)。已知該粒子的比荷為q/m=108C/kg

6、不計(jì)粒子重力，則粒子射入磁場(chǎng)的速度方向與ab夾角為多少時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。如圖4甲，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中R=mv/qB。圖乙中哪個(gè)是正確的？ （二）練習(xí)題在y0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)垂直于xOy平面向外，原點(diǎn)O處有一離子源，沿各個(gè)方向射出速率相等的同價(jià)負(fù)離子，對(duì)于進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的離子，它們?cè)诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心所在的軌跡可用下圖給出的四個(gè)半圓中的一個(gè)來(lái)

7、表示，其中正確的是（）【答案】C如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T,磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離l=16cm處,有一個(gè)點(diǎn)狀的a放射源S,它向各個(gè)方向發(fā)射a粒子，a粒子的速率都是v=3.0 x106m/s.已知a粒子的電荷量與質(zhì)量之比q=5.0 x107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的a粒子,求ab上被a粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度.【解析】a粒子從S點(diǎn)垂直磁場(chǎng)以一定大小的速度朝各個(gè)方向射入，在磁場(chǎng)中均沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，可求出它們的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R，由qvB=mv2/R，得R=，代入q/mB數(shù)值得R=10c

8、m,可見(jiàn)2RlR.由于朝不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過(guò)S,可先考查速度沿負(fù)y方向的a粒子，其軌跡圓心在x軸上的A1點(diǎn)，將a粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心A1點(diǎn)開(kāi)始，沿著“軌跡圓心圓”逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)，如右圖所示.由圖可知，當(dāng)軌跡圓的圓心移至A3點(diǎn)時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ab相交處P2到S的距離為2R,P2即為粒子打中ab上區(qū)域的右邊最遠(yuǎn)點(diǎn).由題中幾何關(guān)系得：NP2R2l2；當(dāng)a粒子的軌跡的圓心由A3點(diǎn)移至A4點(diǎn)的過(guò)程中，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡均會(huì)與ab相交，當(dāng)移到A4點(diǎn)后將不再與ab相交了，這說(shuō)明圓心位于A4點(diǎn)的軌跡圓，與ab相切的P1點(diǎn)為粒子打中區(qū)域的左邊最遠(yuǎn)點(diǎn).可過(guò)A4點(diǎn)作平行于ab的直線(xiàn)cd,再過(guò)A4作ab的垂線(xiàn)，

9、它與ab的交點(diǎn)即為P”同樣由幾何關(guān)系可知：NP=R2lR2。則所求長(zhǎng)度P1P2=NP1+NP2，代入數(shù)值得P1P2=20cm.9如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于圓平面（未畫(huà)出）一群比荷為m的負(fù)離子體以相同速率v0（較大），由p點(diǎn)在紙平面內(nèi)向不同方向射入磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，又飛出磁場(chǎng)，則下列說(shuō)法正確的是（不計(jì)重力）離子飛出磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能一定相等離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑一定相等由Q點(diǎn)飛出的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)沿PQ方向射入的離子飛出時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大【解析】射入磁場(chǎng)的粒子比荷相等，但質(zhì)量不一定相等，故射入時(shí)初動(dòng)能可能不等，又因?yàn)榇艌?chǎng)對(duì)電荷的洛倫茲力不做功，故這些粒子

10、從射入到射出動(dòng)能不變，但不同粒子的動(dòng)能可能不等，A項(xiàng)錯(cuò)誤.粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑為r=qB，由于比荷和速度都相等，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為定值，故所有粒子的偏轉(zhuǎn)半徑都相等，B正確.同時(shí)各粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=qB，也相等，根據(jù)幾何規(guī)律：圓內(nèi)，較長(zhǎng)的弦對(duì)應(yīng)較大的圓心角，所以從Q點(diǎn)射出的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，C對(duì).沿PQ方向射入的粒子不可能從Q點(diǎn)射出，故偏角不最大，D錯(cuò)，選BC.(2009北京西城模擬)如圖所示，在x軸上方的空間存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.許多相同的離子，以相同的速率v,由O點(diǎn)沿紙面向各個(gè)方向(y0)射入磁場(chǎng)區(qū)域.不計(jì)離子所受重力，不計(jì)離

11、子間的相互影響.圖中曲線(xiàn)表示離子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域邊界，其中邊界與y軸交點(diǎn)為M，邊界與x軸交點(diǎn)為N，且OM=ON=L.由此可判斷A.這些離子是帶負(fù)電的B.這些離子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為L(zhǎng)c這些離子的荷質(zhì)比為m=LbD.當(dāng)離子沿y軸正方向射入磁場(chǎng)時(shí)會(huì)經(jīng)過(guò)N點(diǎn)yXX玄XXxXxxXXA:XXXXXXfXXXXrrOCK養(yǎng)沖0JE 【答案】D【解析】根據(jù)左手定則，離子帶正電，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖可知，粒子軌道半徑為；L,B項(xiàng)錯(cuò)誤;再根據(jù)qvB斗2m=LB，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由于ON=L，粒子半徑為；L,ON恰好為粒子圓周2L運(yùn)動(dòng)直徑，故D項(xiàng)正確.2mv(1sin0)qB2mv(1cos0)D.qB如圖所示，在屏MN的上方有磁感

12、應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.P為屏上的一個(gè)小孔.PC與MN垂直.一群質(zhì)量為m、帶電量為一q的粒子(不計(jì)重力)，以相同的速率v，從P處沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域.粒子入射方向在與磁場(chǎng)B垂直的平面內(nèi)，且散開(kāi)在與PC夾角為0的范圍內(nèi).貝9在屏MN上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為2mv2mvcos0A.qBB.qB答案】D【解析】由圖可知。沿PC方向射入磁場(chǎng)中的帶負(fù)電的粒子打在MN上的點(diǎn)離P點(diǎn)最遠(yuǎn)，為PR=Bq，沿兩邊界線(xiàn)射入磁場(chǎng)中的帶負(fù)電的粒子打在MN上的點(diǎn)離P點(diǎn)最近為：PQ=2mvBqcos0,故在屏MN #選項(xiàng)D正確.上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為：QR=PR-PQ=2mv(1qBco

13、s) （2013高考廣東卷）如圖，兩個(gè)初速度大小相同的同種離子a和b,從O點(diǎn)沿垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后打到屏P上.不計(jì)重力.下列說(shuō)法正確的有（） a、b均帶正電a在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間比b的短a在磁場(chǎng)中飛行的路程比b的短a在P上的落點(diǎn)與O點(diǎn)的距離比b的近【解析】選AD.帶電離子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式T=2nm、半徑公式廠=爲(wèi)及;解決問(wèn)題.帶電離子打到屏P上,說(shuō)明帶電離子向下偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則，a、b兩離子均帶正電,mu選項(xiàng)A正確；a、b兩離子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度大小相同，電荷量、質(zhì)量相等，由r=qB知半徑相同.b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了半個(gè)

14、圓周，a的運(yùn)動(dòng)大于半個(gè)圓周，故a在P上的落點(diǎn)與O的距離比b的近，飛行的路程比b長(zhǎng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；根據(jù)t=J知，a在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間比b的長(zhǎng)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.【解析】此題考查的是“定心判徑畫(huà)軌跡”,軌跡如圖所示。a、b粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都為R=mv畫(huà)出Q0m圓O、O2分別為b、a的軌跡，a在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角大，由t=2nT=和軌跡圖可知A、D選項(xiàng)正確.13.如圖所示，在真空中半徑r=3.0 x10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，方向如圖的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一批帶正電的粒子以初速度v0=1.0 x106m/s，從磁場(chǎng)邊界上直徑ab的一端a沿著各個(gè)方向射入磁場(chǎng)，且初速度方向與磁場(chǎng)方向

15、都垂直，該粒子的比荷為q/m=1.0 x108C/kg,不計(jì)粒子重力.求：粒子的軌跡半徑；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間；若射入磁場(chǎng)的速度改為v(=3.0 x105m/s,其他條件不變，試用斜線(xiàn)畫(huà)出該批粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域.(sin37。=0.6,cos37。=0.8)【解析】(1)由牛頓第二定律可求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑.v2muqv0B=mR0,R=,=5.0 x102m.(2)由于Rr,要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，從右圖中可以看出，以直徑ab為弦、R為半徑所作的圓周，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，T=2nmqB，運(yùn)動(dòng)時(shí)間tm=2a2am2nXT=qB

16、又sina=35,所以tm=6.5x108s. (3)R=qB=1.5x10-2m,粒子在磁場(chǎng)中可能出現(xiàn)的區(qū)域見(jiàn)答案圖所示(以aO為直徑的半圓加上以a為圓心，aO為半徑所作圓與磁場(chǎng)相交的部分).人們到醫(yī)院檢查身體時(shí)，其中有一項(xiàng)就是做胸透，做胸透用的是X光，我們可以把做胸透的原理等效如下：如圖所示，P是一個(gè)放射源，從開(kāi)口處在紙面內(nèi)向各個(gè)方向放出某種粒子(不計(jì)重力)，而這些粒子最終必須全部垂直射到底片MN這一有效區(qū)域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到達(dá).假若放射源所放出的是質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，且所有的粒子速率都是v,M與放射源的出口在同一水平面上，底片MN豎直放置，底片MN長(zhǎng)為L(zhǎng)

17、.為了實(shí)現(xiàn)上述目的，我們必須在P的出口處放置一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng).求:勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向；畫(huà)出所需最小有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域，并用陰影表示；勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小以及最小有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的面積S.【解析】(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?(2)最小有界磁場(chǎng)如答案圖所示.(3)要想使所有的粒子都最終水平向右運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必須與最小圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的半徑大小一致所以有：R=L/2根據(jù)牛頓第二定律：qvBmV2,RmVRqB聯(lián)立解得：B2mvqL如答案圖所示有界磁場(chǎng)的最小面積為:S4。在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m,電荷量為e）從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同大小的速度v0沿不同的方

18、向射入第一象限，如圖所示.現(xiàn)加上一個(gè)垂直于xOy平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能平行亍于x軸向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，試求出符合條件的磁場(chǎng)的最小面積.0【解析】所有電子在所求的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由ev0B=mR得半徑為R=mB.設(shè)與x軸正向成a角入射的電子從坐標(biāo)為（x,y）的P點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則有x2+（Ry）2=R2式即為電子離開(kāi)磁場(chǎng)的下邊界b的表達(dá)式，當(dāng)a=90時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為磁場(chǎng)的上邊界a,其表達(dá)式為：（Rx）2+y2=R2由式所確定的面積就是磁場(chǎng)的最小范圍，如圖所示，其面積為$=2普-R2）=n；2（m；0）2.16.（2010年全國(guó)卷I2621分）如

19、下圖，在0 x3a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.在t=0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P（3a，a）點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。求:在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m；時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍;粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間?！敬鸢浮浚?）R=23a、q2;3m3Bt0速度與y軸的正方向的夾角范圍是60到120；從粒子發(fā)射到全部離開(kāi)所用時(shí)間為2t0?！窘馕觥砍跛俣扰cy,軸正方向平行的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中的弧OP所示，其圓心為CoO由題給條件可以得出ZOCP=23此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為T(mén)to=3式中T為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小為u,半徑為R,由幾何關(guān)系可得R23R=a3由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有U2qBu=mR2冗RT=聯(lián)立式，得q2冗m3Bt0依題意，冋一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相冋。在to時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧MN上，如圖所示。設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒