[參考]數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)卒業(yè)論文-向量在平面幾何中的應(yīng)用

1、裝訂線 向量在立體幾何中的應(yīng)用摘 要作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一的向量已進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.而在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較復(fù)雜，運(yùn)用向量作行與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則使過程得到大大的簡化.向量法應(yīng)用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.立體幾何常常涉及到的兩大問題：證明與計算，用空間向量解決立體幾何中的這些問題，其獨(dú)到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化.關(guān)鍵詞：向量；立體幾

2、何；證明；計算；運(yùn)用ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system,

3、geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry ma

4、ny problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is us

5、ing vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are form to form reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目 錄 TOC o 1-4 h z u HYPERLINK l _Toc294083065 摘 要 HYPERLINK l _Toc294083066 ABSTRACT HYP

6、ERLINK l _Toc294083067 1 向量方法在研究幾何問題中的作用 PAGEREF _Toc294083067 h 1 HYPERLINK l _Toc294083068 2 向量方法解決證明問題的直接應(yīng)用 PAGEREF _Toc294083068 h 2 HYPERLINK l _Toc294083069 平行問題 PAGEREF _Toc294083069 h 2 HYPERLINK l _Toc294083070 證明兩直線平行 PAGEREF _Toc294083070 h 2 HYPERLINK l _Toc294083071 證明線面平行 PAGEREF _Toc2

7、94083071 h 3 HYPERLINK l _Toc294083072 垂直問題 PAGEREF _Toc294083072 h 4 HYPERLINK l _Toc294083073 證明兩直線垂直 PAGEREF _Toc294083073 h 4 HYPERLINK l _Toc294083074 證明線面垂直 PAGEREF _Toc294083074 h 4 HYPERLINK l _Toc294083075 證明面面垂直 PAGEREF _Toc294083075 h 5 HYPERLINK l _Toc294083076 處理角的問題 PAGEREF _Toc2940830

8、76 h 6 HYPERLINK l _Toc294083077 求異面直線所成的角 PAGEREF _Toc294083077 h 6 HYPERLINK l _Toc294083078 求線面角 PAGEREF _Toc294083078 h 7 HYPERLINK l _Toc294083079 求二面角 PAGEREF _Toc294083079 h 8 HYPERLINK l _Toc294083080 3 向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用 PAGEREF _Toc294083080 h 10 HYPERLINK l _Toc294083081 兩點(diǎn)間的距離 PAGEREF _Toc2

9、94083081 h 10 HYPERLINK l _Toc294083082 點(diǎn)與直線距離 PAGEREF _Toc294083082 h 10 HYPERLINK l _Toc294083083 點(diǎn)到面的距離 PAGEREF _Toc294083083 h 11 HYPERLINK l _Toc294083084 求兩異面直線的距離 PAGEREF _Toc294083084 h 11 HYPERLINK l _Toc294083085 求面積 PAGEREF _Toc294083085 h 12 HYPERLINK l _Toc294083086 求體積 PAGEREF _Toc2940

10、83086 h 13 HYPERLINK l _Toc294083087 4 向量方法解決證明與計算問題有關(guān)的綜合應(yīng)用 PAGEREF _Toc294083087 h 14 HYPERLINK l _Toc294083088 5 向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思 PAGEREF _Toc294083088 h 21 HYPERLINK l _Toc294083089 對比綜合法與向量法的利弊 PAGEREF _Toc294083089 h 21 HYPERLINK l _Toc294083090 向量法解決立體幾何問題的步驟 PAGEREF _Toc294083090 h 22 HYPERLIN

11、K l _Toc294083091 向量法能解決所有立體幾何問題嗎 PAGEREF _Toc294083091 h 22 HYPERLINK l _Toc294083092 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc294083092 h 231 向量方法在研究幾何問題中的作用向量是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，在作用上它取代了以往復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中的地位，但從目前的使用情況來看，向量的作用要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于復(fù)數(shù).一個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分，這一點(diǎn)在與幾何（尤其是立體幾何）的聯(lián)系上表現(xiàn)得更加突出.向量知識、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支上都有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和

12、幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的許多主干知識相結(jié)合，形成知識交匯點(diǎn).向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材，為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具，促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.而在高中數(shù)學(xué)體系中，幾何占有很重要的地位，有些幾何問題用常規(guī)方法去解決往往比較繁雜，而運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則能使過程得到大大的簡化.用向量法解決幾何問題有著思路清晰、過程簡潔的優(yōu)點(diǎn)，往往會產(chǎn)生意想不到的神奇效果.著名教育家布魯納說過：“學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣，簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞，學(xué)習(xí)興趣衰退.”這充分揭示了方法求變的重要性，如果我們能重視向量的教學(xué)，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)向量過程中產(chǎn)生的障

13、礙并且提供相應(yīng)的教學(xué)對策，必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路，減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).向量方法在解決幾何問題時充分體現(xiàn)了它的優(yōu)越性，平面向量就具有較強(qiáng)的工具性作用，向量方法不僅可以用來解決不等式、三角、復(fù)數(shù)、物理、測量等某些問題，還可以簡捷明快地解決平面幾何許多常見證明（平行、垂直、共線、相切、角相等）與求值（距離、角、比值等）問題.不難看出向量法應(yīng)用于平面幾何中時，它能將平面幾何許多問題代數(shù)化、程序化從而得到有效的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的完美結(jié)合.向量法是將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)方法研究幾何問題.立體幾何的證明與計算常常涉及到兩大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度

14、量問題，它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成的角，面面所成角等.用空間向量解決立體幾何中的這些問題，其獨(dú)到之處，在于用向量來處理空間問題，淡化了傳統(tǒng)方法的有“形”到“形”的推理過程，使解題變得程序化.那么解立體幾何題時就可以用向量方法，對某些傳統(tǒng)性較大，隨機(jī)性較強(qiáng)的立體幾何問題，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解決證明問題的直接應(yīng)用平行問題 證明兩直線平行.知，則有.例1 已知直線OA平面，直線BD平面，O、B為垂足，求證：OA/BD.證明：如上圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，為沿x軸，y軸，z軸的坐標(biāo)向量，且設(shè)，又知O、B為兩個不同的點(diǎn)，.方法

15、思路：在兩條直線上分別取不同的兩點(diǎn)得到兩向量，轉(zhuǎn)化為證明兩向量平行.證明線面平行1、線面，面的法向量為，.方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點(diǎn)得一向量，證明這一向量與法向量垂直（即證明數(shù)量積為0），則可得線面平行.2、已知面外的直線的方向向量為，是平面的一組基底（不共線的向量），若.例2如上圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直,P、Q分別是對角線AC、BF上的一點(diǎn),且AP = FQ,求證:PQ平面BCE.證明：設(shè)，AP = FQ,，=平面BCE.方法思路：證明直線的方向向量可用平面的一組基底線性表示（即在平面內(nèi)存在一向量與方向相等），則可得面內(nèi)一直線與面外的線平行，從

16、而證明線面平行.面面平行1、不重合的兩平面與的法向量分別是和，.方法思路：求平面的法向量，轉(zhuǎn)化為證明兩法向量平行，則兩平面平行.2、不重合的兩平面與，面的法向量為，若.方法思路：求出其中一平面的法向量，再證該法向量與另一面的不共線的兩向量數(shù)量積為0（即垂直），則可得兩平面平行.垂直問題證明兩直線垂直不重合的直線a和直線b的方向向量分別為和，則有.例3 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點(diǎn).證明：PEBC證明：以為原點(diǎn)， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則設(shè) ，則 ，可得，因為，所以 . 證明線面垂直

17、直線的方向向量為，平面的方向向量為，則有.例4，如圖，m, n是平面內(nèi)的兩條相交直線.如果，求證：.證明：在內(nèi)作任一直線，分別在上取非零向量.ngl因為m與n相交，所以向量不平行.由向量共面的充要條件知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使m將上式兩邊與向量作數(shù)量積，得 ，因為 ，所以，所以即.這就證明了直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，所以.方法思路：找直線的方向向量（在兩直線上取兩點(diǎn)得一向量）及平面的法向量，只需證明兩向量平行，則可證線面垂直.證明面面垂直1、不重合的平面與的法向量分別為和，則有.方法思路：找平面的法向量，只需證明兩向量數(shù)量積為0，則可證明兩平面垂直.平面的法向量為，是平面的一

18、組基底（不共線的向量），則有.例5 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn) HYPERLINK :/ zxxk （1）求證：ADD1F；(2)證明平面AED平面A1FD1 HYPERLINK :/ zxxk 分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為“0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證法.證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2， HYPERLINK :/ zxxk 則A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) HYPERLINK :/ zxxk

19、D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0) HYPERLINK :/ zxxk (1) HYPERLINK :/ zxxk =01+21+0(-2)=0, ADD1F HYPERLINK :/ zxxk （2）=（2，0，1） =（1，0，-2），| ，| HYPERLINK :/ zxxk 設(shè)AE與D1F的夾角為，則 HYPERLINK :/ zxxk =所以D1FAE，由（1）知D1FAD， HYPERLINK :/ zxxk 又ADAE=A，D1F平面AED， HYPERLINK :/ zxxk D1F平面A1FD1M HYPERLINK :/ zxxk 平面AED平面A1

20、FD1 HYPERLINK :/ zxxk 方法思路：找其中以平面的法向量，證明法向量與另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一組基底（不共線的向量）線性表示.處理角的問題求異面直線所成的角a,b是兩異面直線，a，b所成的角為，則有.例6 如圖所示,三棱錐A-BCD,AB若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的大小.解: 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,AB=BC=2BD,設(shè)BD=1則AB=BC=2,DC=A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,0),D(0,0,0)設(shè)平面ABC的法向量為,則取平面ABC的法向量設(shè)平面ACD的法向量為則取法向量cos=,.方法思路：找兩異面直線的方向

21、向量，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，套公式（但要理解異面直線所成的夾角與向量的夾角相等或互補(bǔ)）.求線面角設(shè)平面的斜線與面所成的角為，若是面的法向量，則有.GDDA1C1B1CBKxyzAE例7如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用余弦值表示）；解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)，則， ， 為平面ABD的法向量，且. A1B與平面ABD所成角的余弦值是.方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，再套公式（注意線面

22、角與兩向量所在直線夾角互余）.求二面角方法一：構(gòu)造二面角的兩個半平面的法向量（都取向上的方向，如右圖所示），則若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角，即.若二面角是“銳角型”的如右圖所示，那么其大小等于兩法向量的夾角，即.方法二：在二面角的棱上確定兩個點(diǎn)，過分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量，則二面角的大小等于向量的夾角，即 .例8 在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，求此時二面角AA1DQ的大小O（A）BA1C1B1D1DCQzyx解 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意：A1（0，0，2），D（0，a，0）.Q（2

23、，2，0），D（0，4，0），面AA1D的法向量，設(shè)面A1DQ的法向量，則 ，令a1=1，則， ，二面角的平面角為銳角，二面角AA1DQ的大小為.此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若令，則，二面角AA1DQ的大小 是的補(bǔ)角.所以在計算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補(bǔ)角”. 3 向量方法解決度量問題的直接應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間距離重在“轉(zhuǎn)化”，即將空間兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化為向量的長度問題.利用向量的模，可以推導(dǎo)出空間兩點(diǎn)的距離公式，即空間兩點(diǎn)，則例1 在三棱錐中，面面，,，求SB的長.分析 如圖，本題可以用幾何法求出SB，但需

24、要證明若用向量法，注意到SA，AC，BC 之間的關(guān)系.建立以A點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則無須證明就有如下巧解. 解 如圖，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.本題用向量法巧妙地把與SB有關(guān)元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量是的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造向量的空間距離模型，然后通過數(shù)值計算將問題加以解決.點(diǎn)與直線距離如圖 求得向量在向量的射影長為,則點(diǎn)P到直線AB的距離等于.例2 設(shè)P為矩形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，直線PA垂直平面外的一點(diǎn)，直線PA垂直平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1 求點(diǎn)P到直線BP的距離.解 所以在上的射影長為，又， 所以點(diǎn)P到直線BD的距離點(diǎn)到面的距離任取一點(diǎn)得是平面的法

25、向量，則有：點(diǎn)P到平面的距離（向量在法向量的投影的長度）.方法思路：求出平面的任一法向量（方程組可求），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)與點(diǎn)得一向量轉(zhuǎn)化為在法向量的投影長度，套公式.求兩異面直線的距離知是兩異面直線，找一向量與兩異面直線都垂直的向量，則兩異面直線的距離例3如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長為1的正方形，四邊形是矩形，若，求直線AB到面的距離.解：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)面的法向量為，則得，直線AB到面的距離就等于點(diǎn)到面的距離，也等于向量在面的法向量上的投影的絕對.方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的向量，然后分別在兩異面直線上任取一點(diǎn),則距離就是在向量上的投影長度，距離.

26、求面積由于平行四邊形ABCD面積=，所以三角形的面積是平行四邊形的面積的一半.=特別地當(dāng)A、B、C三點(diǎn)均在面上，且坐標(biāo)為，時 （=1或-1，保證面積取正值）.例4 已知空間三點(diǎn)A（1，2，3）B（2，-1，5）C（3，2，-5） 1）試求三角形的面積，2）求三角形的AB邊上的高.解: ，所以三角形的面積是.因為三角形ABC的AB邊上的高CH即是平行形四邊形的AB邊上的高，所以，又因為 ，所以.例5 已知 ，其中 與的夾角為，求平行四邊形ABCD的面積.解：同理，設(shè)與的夾角為， ，所以，所以.求體積三個不共面向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積，即.四面體的體積等于以為棱的平行六面體

27、體積的六分之一，即.例6 已知空間四點(diǎn)的坐標(biāo)A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，1），D（1，1，1）求四面體ABCD的體積及A到BCD平面的距離.解 由初等幾何知識，四面體ABCD的體積V等于以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積的,另外設(shè)A到BCD所確定平面的距離為，則 ， .注：求點(diǎn)A到平面的距離時，取上三個點(diǎn)B，C，D（1）求出；（2）求出為棱的平行六面體的體積；（3）求出 為鄰邊的平行四邊形的面積；（4）求出點(diǎn)到平面的距離，即.4 向量方法解決證明與計算問題有關(guān)的綜合應(yīng)用例1 證明三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)，且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.分析 設(shè)三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)分別為D

28、,E,F,如圖，令A(yù)B的垂直平分線與AC的垂直平分線交于一點(diǎn)G，連接GD，只要證明GDBC，也即證.從而GD垂直平分BC.證明 設(shè)則由于因而0= 所以利用可得0= 所以從而GA=GB=GC又，且故 于是所以GD是BC邊上的垂直平分線.于是證得了三角形三條垂直平分線交于一點(diǎn)G，且G到A，B，C的距離均相等.例2 一個空間四邊形對邊平方和相等的充要條件是四邊形的對角線互相垂直證明：如圖，設(shè)，各邊長各為a,b,c,d對角線是AC和BD.由得 于是，故即.例3 如果一個四面體ABCD有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直, 且三對對棱的平方和相等.證法一:設(shè) （如圖），由上例知 （1）又由，可得故

29、 （2） 若四面體兩對對棱互相垂直，即 由（1）（2）可得 （3） （4）（3）（4）得 于是在四邊形BCAD中，對邊平方和相等.由 （5）得，于是四面體第三對對棱AB與CD也互相垂直.又由（3），（4）可得即.以上結(jié)果表明，四面體三對對棱平方和相等.如果沒有用上例的結(jié)果，也可以用下面的方法來證證法二:如果已知四面體ABCD中兩對對棱互相垂直，即 =0 于是第三對對棱 （6） （7） （8）對照（6），（7），（8）可得 即四面體三對對棱平方和相等.注 由以上例題可以看出在進(jìn)行向量運(yùn)算時，可以把所有的向量都表示成坐標(biāo)向量的線性組合，然后進(jìn)行運(yùn)算. 在證明兩直線垂直時，可把問題轉(zhuǎn)化成這兩條直線的

30、方向向量（與直線平行的非零向量）的垂直問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為零的問題.在證明有關(guān)長度的等式時，首先將數(shù)量轉(zhuǎn)化成向量等式，即用向量的模表示線段的長度，其次運(yùn)用公式，使問題化為有關(guān)向量數(shù)性積的等式證明問題.例4 證明以平行四邊形的兩條對角線為鄰邊的平行四邊形的面積等于原平行四邊形面積的兩倍.設(shè)平行四邊形的兩鄰邊分別是和，兩條對角線分別是和證 例5 已知正四棱錐，點(diǎn)E為才CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1的中點(diǎn)，求D1到平面BDE的距離.解 建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則設(shè)D1在平面BDE上的射影為G（），則由于 ，所以解此方程組得和（舍去）所以 故D1到平面BDE的距離上面所用的向量法思路清晰，可方便簡捷

31、地求出平面外一點(diǎn)P到平面的距離.其解題步題驟為：（1） 建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P點(diǎn)在平面的射影為G（），并求出平面內(nèi)的三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2） 求出向量的坐標(biāo)；（3） 由，及兩個互相垂直的向量的數(shù)量積為0，得到關(guān)于的三元一次方程組； （4） 解方程組求得便得到P點(diǎn)在平面內(nèi)的射影G的坐標(biāo)；（5） 求出 的模長，便得出點(diǎn)P到平面的距離.例6在直平行六面體中,菱形,.(1)求證:平面，(2)求證:平面平面，(3)求直線與平面所成角的大小.證明:(1)連接交于,連結(jié)在平行四邊形中, 四邊形為平行四邊形平面,平面平面(2)在直平行六面體中,平面四邊形為菱形,平面,平面平面平面平面平面(3)過作交于

32、平面平面,平面平面_H_O_1_O_D_1_C_1_B_1_A_1_D_C_B_A平面為在平面上的射影是與平面所成的角設(shè),在菱形中,在Rt中,_z_y_x_O_1_O_D_1_C_1_B_1_A_1_D_C_B_A（3）解法二: 連交于,分別以,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示設(shè),在菱形中,則(0,0),(0,0)，(1,0,2),(0,0,2)(0,2),(1,2)設(shè)平面的法向量(,)則 ，令,則(0,)設(shè)與平面所成的角為命題意圖: 熟悉立體幾何中常見問題及處理方法,要求學(xué)生敏銳把握所給圖形特征,制定合理的解決問題策略.立體幾何主要是兩種位置關(guān)系(平行、垂直),兩個度量性質(zhì)(

33、夾角、距離).解決問題的方法也有兩種:幾何方法和向量方法.兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn),前者難在“找”和“作”的技巧性,后者難在建系和計算上,究竟用哪種方法,到時根據(jù)自己的情況決斷.5 向量在立體幾何中應(yīng)用的教學(xué)反思對比綜合法與向量法的利弊綜合方法不使用其他工具，對幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論.其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.缺點(diǎn)是有時解決問題時的技巧性過強(qiáng)，而且沒有一般規(guī)律可循，常常讓學(xué)生感覺“高不可攀”，從而“望而卻步”.向量方法以向量和向量的運(yùn)算為工具，對幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論.其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想以及代數(shù)計算能力的同時也使立體幾何問題的解決過程變得數(shù)量化、程序化，易于學(xué)生學(xué)習(xí).缺點(diǎn)是計算量相對較大，對于計算能力較弱的學(xué)生，很容易算錯.如果學(xué)生在解決立體幾何問題時，能夠具體情況具體分析，將綜合方法與向量方法這兩種方法綜合運(yùn)用，那樣將會使得立體幾何問題得到更完美的解決.向量法解決立體幾何問題的步驟用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種：一是直接用向量的代