物理競賽專題十一：圖像法

1、PAGE - PAGE 8 -高中奧林匹克物理競賽解題方法十一、圖像法方法簡介圖像法是根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過程有針對性地表示成物理圖像，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P(guān)系，運用圖像直觀、形象、簡明的特點，來分析解決物理問題，由此達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的，圖像法在處理某些運動問題，變力做功問題時是一種非常有效的方法。賽題精講例1：一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。AB兩地相距s，火車做加速運動時，其加速度最大為a1，做減速運動時，其加速度的絕對值最大為a2，由此可可以判斷出該火車由A到B所需的最短時間為 。解析：整個過程中火車先做勻加速運動，后做勻減速運動，加速度最

2、大時，所用時間最短，分段運動可用圖像法來解。根據(jù)題意作vt圖，如圖111所示。由圖可得 由、解得例2：兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相碰，則兩車在做勻速行駛時保持的距離至少為（ ）AsB2sC3sD4s解析：物體做直線運動時，其位移可用速度時間圖像中的面積來表示，故可用圖像法做。作兩物體運動的vt圖像如圖112所示，前車發(fā)生的位移s為三角形v0Ot的面積，由于前后兩車的剎車加速度相同，根據(jù)對稱性，后車發(fā)生的位移為梯形的面積S

3、=3S，兩車的位移之差應(yīng)為不相碰時，兩車勻速行駛時保持的最小車距2s.圖112所以應(yīng)選B。例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=?圖113解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速度與通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公式直接求解，但可以通過圖像法求解，因為在圖像中，所圍面積即為所求的時間。以距離s為橫軸，為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則s與成正比，作s圖像如圖113所示

4、，由圖可得s=2m時，老鼠的速度為10cm/s。在1m到2m之間圖像與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從A到B爬行的時間為圖114例4：在一汽缸的活塞下面封閉有摩爾理想氣，由于受到驟然加熱，氣體迅速膨脹，且膨脹過程中其熱力學(xué)溫度與其體積的平方成正比，即T=KV2。在其體積由V1膨脹至V2的過程中，氣體從外界吸收的熱量為Q1，試求此過程中氣體的內(nèi)能增加了多少？解析：求此過程中氣體的內(nèi)能增加了多少，要用熱力學(xué)第一定律，由已知條件可知，關(guān)鍵是要求出氣體對外做了多少功，而功可用pV圖像中所圍的面積來計算。以缸內(nèi)氣體為研究對象，根據(jù)克拉珀龍方程：pV=Rt 又由已知條件有T=KV2 、兩式可得：p

5、=RKV可見氣體膨脹時，其壓強p與體積V成正比例。因此作pV圖，如圖114所示，圖中陰影區(qū)的面積表示氣體在此過程中，對外所做的功W.再由熱力學(xué)第一定律，可知此過程中氣體內(nèi)能的增加量為圖15例5：如圖115所示，在一個開有小孔的原來不帶電的導(dǎo)體球殼中心O點，有一個點電荷Q，球殼的內(nèi)外表面半徑分別為a和b，欲將電荷Q通過小孔緩慢地從O點移到無窮遠(yuǎn)處，應(yīng)當(dāng)做功多少？解析：球內(nèi)、外表面上的感應(yīng)電荷的電量隨著放在球心的電荷電量的改變而改變，感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢也與感應(yīng)電荷的電量Q感成正比，利用UQ感的圖像也可以求出外力做的功。感應(yīng)電荷在球心O處產(chǎn)生的電勢為U0，則圖15甲作出UQ感的圖像如圖115

6、甲所示，假設(shè)電量Q是一份一份地從無窮遠(yuǎn)處移到球心，而球內(nèi)外表面上的感應(yīng)電荷Q感隨球心處的電荷增加而增加，在此過程中移動電荷所做的功就應(yīng)等于U1Q感圖象中陰影部分所示的三角形的面積，則有（ ）例6：電源電動勢為，內(nèi)電阻為r，試求其外電阻為何值時，電源的輸出功率最大？解析：根據(jù)全電路歐姆定律得由此可知當(dāng)、r不變時，U隨I線性變化，作UI圖，圖中所圍面積為功率。圖16設(shè)電源的輸出電流為I，路端電壓為U，由于故作UI圖如圖116所示，以AB線上任意一點和坐標(biāo)原點為相對頂點所圍成的矩形的面積為S=IU顯然S表示此時電源對應(yīng)的輸出功率，要使電源的輸出功率最大，即要此矩形的面積最大，由幾何知識得，當(dāng)一個頂點

7、位于AB線段中點C處的矩形面積最大，從圖中可得 根據(jù)歐姆定律有 由、解得R=r即當(dāng)外電阻R+r時，電源的輸出功率最大，其最大值為圖117例7：在117圖中，安培表的讀數(shù)為I1=20mA。如果電池x反向聯(lián)結(jié)，電流增加到I2=35mA。如果電燈發(fā)生短路時，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖117甲所示。解析：題目中給出1的數(shù)值為9V，x的大小不確定。當(dāng)x從正向變?yōu)榉聪蚵?lián)結(jié)時，回路的總電動勢增大，在x1的兩種情況下，I2都有可能增加。所以要分兩種情況討論。由燈泡的伏安特性曲線可知：當(dāng)I1=20mA時，有U燈1=3V，I2=35mA時，U燈2=9V圖117甲設(shè)兩個電源的內(nèi)阻與電流表內(nèi)阻總和

8、為R內(nèi)，根據(jù)回路電壓方程有：（1）當(dāng) 由+得所以將式代入式得短路瞬間，可視電燈兩端電壓為零，所以原電路中的電流（2）當(dāng) 得：所以 R內(nèi)=12000/15 將式代入式得：當(dāng)回路短路時，電流為圖118例8：如圖118所示，電源=12.0V,內(nèi)電阻r=0.6,滑動變阻器與定值電阻R0（R0=2.4）串聯(lián)，當(dāng)滑動變阻器的滑片P滑到適當(dāng)位置時，滑動變阻器的發(fā)熱功率為9.0W，求這時滑動變阻器aP部分的阻值Rx.解析：由閉合電路歐姆定律作aP兩端的UapI圖像，因圖上任意一點的Uap與I所對應(yīng)的矩形面積是外電路電阻Rx的輸出功率，從而由已知Rx的功率求出對應(yīng)的Rx值。根據(jù)閉合電路歐姆定律圖118甲作圖像如

9、圖118甲所示，由圖可分析找到滑動變阻器的發(fā)熱功率為9W的A點和B點，所以Rx有兩個值。圖119例9：如圖119所示，一寬40cm的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里。一邊長為20cm的正方形導(dǎo)線框位于紙面內(nèi)，以垂直于磁場邊界的恒定速度v=20cm/s通過磁場區(qū)域，在運動過程中，線框有一邊始終與磁場區(qū)域的邊界平行。取它剛進(jìn)入磁場的時刻t=0，在下列圖線中，正確反映感應(yīng)電流隨時間變化規(guī)律的是圖119甲中的哪一個（ ）圖119甲解析：可將切割磁感應(yīng)線的導(dǎo)體等效為電源按閉合電路來考慮，也可以直接用法拉第電磁感應(yīng)定律按閉合電路來考慮。半導(dǎo)線框部分進(jìn)入磁場時，有恒定的感應(yīng)電流，當(dāng)整體全部進(jìn)入磁場時，無感

10、應(yīng)電流，當(dāng)導(dǎo)線框部分離開磁場時，又能產(chǎn)生相反方向的感應(yīng)電流。所以應(yīng)選C。例10：LC振蕩回路中電容器兩端的電壓U隨時間t變化的關(guān)系如圖1110所示，則（ ）A在時刻t1，電路中的電流最大B在時刻t2，電路中磁場能最大C從時刻t2至t3，電路中的電場能不斷增大D從時刻t3至t4，電容的帶電量不斷增大圖1110解析：在電磁振蕩中，電路中的電流、磁場能、電容器的帶電量、電場能都隨時間做周期性的變化，但步調(diào)不同。電流和磁場能總是同步調(diào)變化，電壓、電量和電場能也是同步調(diào)變化的。但電流和電容器的帶電量步調(diào)不同。電流為零時電量最大，故B、C正確。針對訓(xùn)練1汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運動。當(dāng)它路

11、過某處的同時，該處有一輛汽車乙開始做初速為零的勻加速運動去追趕甲車。根據(jù)上述的已知條件（ ）A可求出乙車追上甲車時乙車的速度B可求出乙車追上甲車時乙車所走的路程C可求出乙車從開始起動到追上甲車時所用的時間D不能求出上述三者中任何一個2一物體做勻變速直線運動，某時刻速度的大小為4米/秒，1秒鐘后速度的大小變?yōu)?0米/秒。在這1秒鐘內(nèi)該物體的（ ）A位移的大小可能小于4米B位移的大小可能大于10米C加速度的大小可能小于4米/秒2D加速度的大小可能大于10米/秒23在有空氣阻力的情況下，以初速v1豎直上拋一個物體，經(jīng)過時間t1到達(dá)最高點。又經(jīng)過時間t2，物體由最高點落回到拋出點，這時物體的速度為v2

12、，則（ ）Av2=v1 t2=t1Bv2v1 t2t1Cv2t1Dv2v1 t2t14一質(zhì)點沿x軸做直線運動，其中v隨時間t的變化如圖1111（a）所示，設(shè)t=0時，質(zhì)點位于坐標(biāo)原點O處。試根據(jù)vt圖分別在1111（b）及圖1111（c）中盡可能準(zhǔn)確地畫出（ ） 圖1111（1）表示質(zhì)點運動的加速度a隨時間t變化關(guān)紗的at圖；（2）表示質(zhì)點運動的位移x隨時間t變化關(guān)系的xt圖。圖11125物體從某一高度由靜止開始滑下，第一次經(jīng)光滑斜面滑至底端時間為t1，第二次經(jīng)過光滑曲面ACD滑至底端時間為t2，如圖1112所示，設(shè)兩次通過的路程相等，試比較t1與t2的大小關(guān)系。圖11126兩光滑斜面高度相等

13、，乙斜面的總長度和甲斜面的總長度相等，只是由兩部分接成，如圖1113所示。將兩個相同的小球從斜面的頂端同時釋放，不計在接頭處的能量損失，問哪個先滑到底端。7A、B兩點相距s，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點）從A點由靜止開始向B做加速運動，但每過一個等分點，加速度都增加a/n，試求該物體到達(dá)B點的速度。8質(zhì)量m=1kg的物體A開始時靜止在光滑水平地面上，在第1、3、5奇數(shù)秒內(nèi)，給A施加同向的2N 的水平推力F，在2、4、6偶數(shù)秒內(nèi)，不給施加力的作用，問經(jīng)多少時間，A可完成s=100m的位移。9沿光滑水平面在同一條直線上運動的A、B兩物體相碰后共同運動，該過程的位移圖象如圖1114所示。可以得出A、B的質(zhì)量比為 。圖1114 圖1