平行四邊形--《梯形》講義教案

1、國(guó)子學(xué)輔學(xué)科教師輔導(dǎo)教案組長(zhǎng)審核：學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 課時(shí)數(shù)： 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 學(xué)科教師：授課主題平行四邊形-梯形教學(xué)目的1.探索并掌握梯形的有關(guān)概念和基本性質(zhì)，探索、了解并掌握等腰梯形的性質(zhì)2.能夠運(yùn)用梯形的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)問題的論證和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力和計(jì)算能力3.通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會(huì)圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)及其應(yīng)用難點(diǎn)：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形及正確運(yùn)用輔助線），及梯形有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用授課日期及時(shí)段年 月 日教學(xué)內(nèi)容一、教學(xué)目標(biāo)1：1.探索并掌握梯形

2、的有關(guān)概念和基本性質(zhì)，探索、了解并掌握等腰梯形的性質(zhì)2.能夠運(yùn)用梯形的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)問題的論證和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力和計(jì)算能力3.通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會(huì)圖形變換的方法和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)目標(biāo)2：1通過探究教學(xué)，使學(xué)生掌握“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個(gè)判定方法，及其此判定方法的證明 2能夠運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)學(xué)建模的思想，會(huì)用分析法尋求證明題思路，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力 3通過添加輔助線，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形或三角形問題，使學(xué)生體會(huì)圖形變換的方法和轉(zhuǎn)

3、化的思想二、重點(diǎn)、難點(diǎn)11重點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)及其應(yīng)用2難點(diǎn)：解決梯形問題的基本方法（將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形及正確運(yùn)用輔助線），及梯形有關(guān)知識(shí)的應(yīng)用3難點(diǎn)的突破方法：對(duì)于梯形的概念要注意以下幾點(diǎn)：（1）梯形和平行四邊形的共同點(diǎn)：都是凸四邊形；（2）它們的區(qū)別：平行四邊形是有兩組對(duì)邊平行；梯形只有一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊不平行，即平行四邊形平行的邊是相等的，而梯形平行的邊是不能相等的；（3）對(duì)于上、下底（這是習(xí)慣叫法，不是定義）是以長(zhǎng)短來區(qū)分的，而不是指位置關(guān)系在研究梯形時(shí)，常用的輔助線是平行移動(dòng)梯形的一腰或一條對(duì)角線，或者從梯形上底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的高，把梯形的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行四邊

4、形或三角形的問題，應(yīng)用三角形或平行四邊形的知識(shí)來解決梯形問題所以學(xué)好本大節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用已掌握的知識(shí)來研究新問題，教學(xué)中要使學(xué)生熟悉本大節(jié)中常用的輔助線，并明確這些輔助線對(duì)于問題轉(zhuǎn)化的作用教學(xué)中要提醒學(xué)生，當(dāng)證得新命題之后，要注意直接引用它們，不要再添加輔助線重復(fù)命題的證明過程解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中（圖2）；（3）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)等腰三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連

5、結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5） 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對(duì)于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助 要注意的是：本教材為了降低難度，所有需要的輔助線在題目中都給出來了，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要適當(dāng)?shù)剡x講有關(guān)輔助線添加的題目，沒必要讓學(xué)生去做一些比較復(fù)雜的題等腰梯形的性質(zhì)與等腰三角形相仿，因此在推導(dǎo)其性質(zhì)或需要添加輔助線時(shí)，可以借助等腰三角形來研究尤其是根據(jù)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，可得到等腰梯形是軸對(duì)稱圖

6、形這條性質(zhì)，在總結(jié)等腰梯形的性質(zhì)時(shí)，不要漏掉教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生證明等腰梯形的性質(zhì)，尤其在證明“等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等”這條性質(zhì)時(shí)，“平移腰”和“作高”這兩種常見的輔助線，在教學(xué)中頭一次出現(xiàn)，可以借此機(jī)會(huì)，給學(xué)生介紹這兩種輔助線的添加方法重點(diǎn)、難點(diǎn)21重點(diǎn)：掌握等腰梯形的判定方法并能運(yùn)用2難點(diǎn)：等腰梯形判定方法的運(yùn)用3難點(diǎn)的突破方法：教科書通過用P119的思考引導(dǎo)學(xué)生得到“同一底上兩底角相等的梯形是等腰梯形”這個(gè)判定方法，教材雖直接給出了等腰梯形的判定方法并未將其進(jìn)行證明，但是在P119的思考中，提出了“你能證明嗎？”這個(gè)問題，因此我們應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將其判定方法進(jìn)行證明另外教學(xué)中要注意，

7、新教材中并未提出 “對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形”這個(gè)命題因此我們不能將其作為判定方法直接引用，故判定一梯形是否為等腰梯形的方法有兩種（1）定義（兩腰相等的梯形是等腰梯形）；（2）在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法一般是先判定一個(gè)四邊形是梯形，然后再用“兩腰相等”或“同一底上的兩個(gè)角相等”來判定它是等腰梯形判定一個(gè)四邊形是梯形時(shí)，根據(jù)梯形定義，判定另兩邊不平行比較困難，可以通過判定平行的兩邊不相等來說明梯形的畫圖：一般先畫出有關(guān)的三角形，在此基礎(chǔ)上再畫出有關(guān)的平行四邊形，最后得到所求圖形（三角形奠基法）三、例題的意圖分析本節(jié)課安排了三個(gè)例題，例1是教材P118中的例1它是等

8、腰梯形性質(zhì)的直接運(yùn)用題目比較簡(jiǎn)單，在教學(xué)中，最好讓學(xué)生分析、講解、解答同時(shí)也要注意引導(dǎo)學(xué)生，在證明EAD是等腰三角形時(shí)，要用到梯形的定義“上下底互相平行（ADBC）”這一點(diǎn) 例2與例3都是補(bǔ)充的題目，例2是一道計(jì)算題，例3是一道證明題，其用意一是為了鞏固其概念，二是輔助線添加方法的練習(xí)，這兩個(gè)題目的輔助線均是“平移一腰”，老師們?cè)诮虒W(xué)或練習(xí)中也可以再補(bǔ)充一些其它輔助線添加方法的題目，讓學(xué)生多了解多見識(shí)（但由于本教材在梯形這一部分知識(shí)中，并沒有添加輔助線的要求，因此所選的題目不要太難）通過題目的練習(xí)與講解應(yīng)讓學(xué)生知道：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉

9、的平行四邊形和三角形問題來解決在教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對(duì)于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助四、課堂引入11創(chuàng)設(shè)問題情境引出梯形概念【觀察】（教材P117中的觀察）右圖中，有你熟悉的圖形嗎？它們有什么共同的特點(diǎn)？2畫一畫：在下列所給圖中的每個(gè)三角形中畫一條線段，【思考】（1）怎樣畫才能得到一個(gè)梯形？（2）在哪些三角形中，能夠得到一個(gè)等腰梯形？梯形一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形（強(qiáng)調(diào)：梯形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系；上、下底的概念是由底的長(zhǎng)短來定義的，而并不是指位置來說的）（1）一些基本概念（如圖）：底、腰、高（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形：

10、有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形3做做探索等腰梯形的性質(zhì)（引入用軸對(duì)稱解決問題的思想）在一張方格紙上作一個(gè)等腰梯形，連接兩條對(duì)角線【問題一】圖中有哪些相等的線段？有哪些相等的角？這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？學(xué)生畫圖并通過觀察猜想；【問題二】這個(gè)等腰梯形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？結(jié)論：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，上下底的中點(diǎn)連線是對(duì)稱軸等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等等腰梯形的兩條對(duì)角線相等、課堂引入21復(fù)習(xí)提問：（1）什么樣的四邊形叫梯形，什么樣的梯形是直角梯形、等腰梯形？（2）等腰梯形有哪些性質(zhì)？它的性質(zhì)定理是怎樣證明的？（3）在研究解決梯形問題時(shí)的基本思想和方法是什么？常用的輔助線有哪幾種？我們已經(jīng)

11、掌握了等腰梯形的性質(zhì)，那么又如何來判定一個(gè)梯形是否是等腰梯形呢？今天我們就共同來研究這個(gè)問題 2【提出問題】：前面所學(xué)的特殊四邊形的判定基本上是性質(zhì)的逆命題等腰梯形同一底上兩個(gè)角相等的逆命題是什么？ 命題：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形問：這個(gè)命題是否成立？能否加以證明，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證啟發(fā)：能否轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，和求證已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=C求證：AB=CD分析：我們學(xué)過“如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊相等”因此，我們只要能將等腰梯形同一底上的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩個(gè)底角，命題就容易證明了證明方法1：過點(diǎn)D作DE

12、AB交BC于點(diǎn)F，得到DECABDE， B=1，B=C， 1=CDEDC又ADBC，DEAB=DC證明時(shí)，可以仿照性質(zhì)證明時(shí)的分析，來啟發(fā)學(xué)生添加輔助線DE證明方法二：用常見的梯形輔助線方法：過點(diǎn)A作AEBC， 過D作DFBC，垂足分別為E、F（見圖一）證明方法三： 延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E（見圖二） 圖一 圖二 通過證明：驗(yàn)證了命題的正確性，從而得到：等腰梯形判定方法 等腰梯形判定方法 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形幾何表達(dá)式：梯形ABCD中，若B=C，則AB=DC【注意】等腰梯形的判定方法：先判定它是梯形，再用“兩腰相等”“或同一底上的兩個(gè)角相等”來判定它是等腰梯形五、例習(xí)題分析1

13、例1（教材P118的例1）略（延長(zhǎng)兩腰 梯形輔助線添加方法三）例2（補(bǔ)充）如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=70，C=40，AD=6cm，BC=15cm求CD的長(zhǎng)分析：設(shè)法把已知中所給的條件都移到一個(gè)三角形中，便可以解決問題其方法是：平移一腰，過點(diǎn)A作AEDC交BC于E，因此四邊形AECD是平行四邊形，由已知又可以得到ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BCEC=BCAD=9cm 解（略） 例3（補(bǔ)充）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，D90，CABABC， BEAC于E求證：BECD分析：要證BE=CD，需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點(diǎn)

14、D作DFAB交BC于F，因此四邊形ABFD是平行四邊形，則DF=AB，由已知可導(dǎo)出DFC=BAE，因此RtABERtFDC（AAS），故可得出BE=CD證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構(gòu)造等腰梯形ABFD，證明ABEFDC即可五、例、習(xí)題分析2例1（教材P119的例2）例2（補(bǔ)充） 證明：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形已知：如圖，梯形ABCD中，對(duì)角線AC=BD求證：梯形ABCD是等腰梯形分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對(duì)角線相等的條件來構(gòu)造等腰三角形在ABC和DCB中，已有兩邊對(duì)應(yīng)相等，要能證1=2，就可通過證ABC DCB得到AB=DC證明：過點(diǎn)D作DEAC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，又 ADBC，

15、 四邊形ACED為平行四邊形， DE=AC AC=BD ， DE=BD 1=E 2=E ， 1=2 又 AC=DB，BC=CE， ABCDCB AB=CD 梯形ABCD是等腰梯形說明：如果AC、BD交于點(diǎn)O，那么由1=2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形對(duì)角線相交，可以得到以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)等腰三角形，這個(gè)結(jié)論雖不能直接引用，但可以為以后解題提供思路問：能否有其他證法，引導(dǎo)學(xué)生作出常見輔助線，如圖，作AEBC，DFBC，可證 RtABCRtCAE，得1=2例3（補(bǔ)充） 已知：如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，CFBE交BD于G，F(xiàn)是垂足求證：四邊形ABGE是等腰梯形分析：先證明O

16、EOG，從而說明OEG45，得出EGAB，由AE，BG延長(zhǎng)交于O，顯然EGAB得出四邊形ABGE是梯形，再利用同底上的兩角相等得出它為等腰梯形例4 （補(bǔ)充）畫一等腰梯形，使它上、下底長(zhǎng)分別4cm、12cm，高為3cm，并計(jì)算這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)和面積分析：梯形的畫圖題常常通過分析，找出需添加的輔助線，歸結(jié)為三角形或平行四邊形的作圖，然后，再根據(jù)它們之間的聯(lián)系，畫出所要求的梯形如圖，先算出AB長(zhǎng)，可畫等腰三角形ABE，然后完成AECD的畫圖畫法：畫ABE，使BE=124=8cm. 延長(zhǎng)BE到C使EC=4cm. 分別過A、C作ADBC ，CDAE，AD、CD交于點(diǎn)D四邊形ABCD就是所求的等腰梯形解

17、：梯形ABCD周長(zhǎng)4125226cm 答：梯形周長(zhǎng)為26cm，面積為24六、隨堂練習(xí)11填空（1）在梯形ABCD中，已知ADBC，B=50，C=80，AD=a，BC=b，,則DC=（2）直角梯形的高為6cm，有一個(gè)角是30，則這個(gè)梯形的兩腰分別是和（3）等腰梯形 ABCD中，ABDC，A C平分DAB，DAB=60，若梯形周長(zhǎng)為8cm，則AD=2已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD，AD=BC，BD平分ABC，A=60，梯形周長(zhǎng)是20cm，求梯形的各邊的長(zhǎng) （AD=DC=BC=4，AB=8）3求證：等腰梯形兩腰上的高相等六、隨堂練習(xí)21下列說法中正確的是（ ）（A）等腰梯形兩底

18、角相等 （B）等腰梯形的一組對(duì)邊相等且平行（C）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角都等于90度（D）等腰梯形的四個(gè)內(nèi)角中不可能有直角2已知等腰梯形的周長(zhǎng)25cm,上、下底分別為7cm、8cm，則腰長(zhǎng)為cm3已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一條對(duì)角線和一腰垂直，求這個(gè)梯形的各個(gè)角的度數(shù)4已知，如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，1=2，AC=BD，求證：四邊形ABCD是等腰梯形（略證，AD=BC， ABDC）5已知，如圖，E、F分別是梯形ABCD的兩底AD、BC的中點(diǎn)，且EFBC，求證：梯形ABCD是等腰梯形七、課后練習(xí)11填空：已知直角梯形的兩腰之比是12，那么該梯形的最大角為，最小角為2已知等腰梯形的銳角等于60它的兩底分別為15cm和4