概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：第19講 正態(tài)總體的區(qū)間估計(二)

1、7.5 正態(tài)總體的區(qū)間估計(二) 在實際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題。 于是，評價新技術(shù)的效果問題，就歸結(jié)為研究兩個正態(tài)總體均值之差 1-2 的問題。 例如：考察一項新技術(shù)對提高產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)的作用，將實施新技術(shù)前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(1, 12)，實施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(2, 22)。 定理1：設(shè) X1, X2, , Xm是抽自正態(tài)總體X 的簡單樣本，XN(1, 12)，樣本均值與樣本方差為Y1, Y2, , Yn 是抽自正態(tài)總體 Y 的簡單樣本，Y N(2, 22)，樣本均值與樣本方差為當(dāng)兩樣本相互獨立時，有證明:I.由基本定理(見定理6.4

2、.1)，知 故，(1) 式成立；且二者相互獨立。且(3)式與(4)式中的隨機(jī)變量相互獨立。由 t 分布的定義，得N(0,1) 2m+n-2換形式 t m+n -2 . 分母互換 利用該定理，我們可以得到 1-2 的置信系數(shù)為 1- 的置信區(qū)間。例1 (比較棉花品種的優(yōu)劣)：假設(shè)用甲、乙兩種棉花紡出的棉紗強(qiáng)度分別為 XN(1, 2.182)和Y N(2, 1.762)。試驗者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 , X200 和 Y1, Y2, , Y100，樣本均值分別為: 求 1-2 的置信系數(shù)為 0.95 的區(qū)間估計。 解: 1=2.18, 2=1.76, m=200, n=100,

3、=0.05,由(5)式，得 1- 2 的置信系數(shù)為 1- 的置信區(qū)間為例2：某公司利用兩條自動化流水線灌裝礦泉水。設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積 (單位:毫升) XN(1, 2) 和 YN(2, 2)。現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取 X1, X2, X12 和 Y1, Y2, , Y17，樣本均值與樣本方差分別為:求 1- 2 的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計。解：m=12, n=17, = 0.05，再由其他已知條件及(7)式，可算出查 t 分布表，得 tm+n-2( /2) = t27(0.025)=2.05.再由(6)式，得 1- 2 的置信系數(shù)為 1- 的置信區(qū)間 在這兩個例子中， 1- 2 的置

4、信區(qū)間都包含了零，也就是說： 1可能大于 2，也可能小于 2。這時我們認(rèn)為二者沒有顯著差異。 7.6 非正態(tài)總體的區(qū)間估計 前面兩節(jié)討論了正態(tài)總體分布參數(shù)的區(qū)間估計。但是在實際應(yīng)用中，我們有時不能判斷手中的數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，或者有足夠理由認(rèn)為它們不服從正態(tài)分布。這時，只要樣本大小 n 比較大，總體均值 的置信區(qū)間仍可用正態(tài)總體情形的公式 或2已知時2未知時所不同的是：這時的置信區(qū)間是近似的。 這是求一般總體均值的一種簡單有效的方法，其理論依據(jù)是中心極限定理，它要求樣本大小 n 比較大。因此，這個方法稱為大樣本方法。 設(shè)總體均值為 , 方差為2 , X1, X2, , Xn 為來自總體的樣本

5、。因為這些樣本獨立同分布的，根據(jù)中心極限定理，對充分大的 n, 下式近似成立因而，近似地有 于是， 的置信系數(shù)約為1- 的置信區(qū)間為當(dāng)2未知時，用2的某個估計，如 S2 來代替，得到只要 n 很大，(2)式所提供的置信區(qū)間在應(yīng)用上是令人滿意的。 那么，n 究竟多大才算很大呢？ 顯然，對于相同的 n , (2)式所給出的置信區(qū)間的近似程度隨總體分布與正態(tài)分布的接近程度而變化，因此，理論上很難給出 n 很大的一個界限。 但許多應(yīng)用實踐表明：當(dāng) n30時，近似程度是可以接受的；當(dāng) n50時，近似程度是很好的。例1：某公司欲估計自己生產(chǎn)的電池壽命?，F(xiàn)從其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 50 只電池做壽命試驗。這些電池

6、壽命的平均值為 2.266 (單位：100小時)，標(biāo)準(zhǔn)差 S=1.935。求該公司生產(chǎn)的電池平均壽命的置信系數(shù)為 95% 的置信區(qū)間。 解：查正態(tài)分布表，得 z /2= z0.025=1.96，由公式 (2)，得電池平均壽命的置信系數(shù)為 95% 的置信區(qū)間為 設(shè)事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率為 p， 現(xiàn)在做 n 次試驗，以Yn記事件 A 發(fā)生的次數(shù),則 Yn B(n, p)。依中心極限定理，對充分大的 n，近似地有 7.6.1 二項分布 (3)式是(1)式的特殊情形。 (4)式就是二項分布參數(shù) p 的置信系數(shù)約為1- 的置信區(qū)間。例2：商品檢驗部門隨機(jī)抽查了某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品100件，發(fā)現(xiàn)其中

7、合格產(chǎn)品為84件，試求該產(chǎn)品合格率的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間。解：n=100, Yn=84, =0.05, z/2=1.96, 將這些結(jié)果代入到(4)式，得 p 的置信系數(shù)為0.95的近似置信區(qū)間為 0.77, 0.91。例3：在環(huán)境保護(hù)問題中, 飲水質(zhì)量研究占有重要地位， 其中一項工作是檢查飲用水中是否存在某種類型的微生物。假設(shè)在隨機(jī)抽取的100份一定容積的水樣品中有20份含有這種類型的微生物。試求同樣容積的這種水含有這種微生物的概率 p 的置信系數(shù)為0.90的置信區(qū)間。解：n=100, Yn=20, =0.10, z/2=1.645, 將這些結(jié)果代入到(4)式，得 p 的置信系數(shù)為0.

8、90的近似置信區(qū)間為 0.134, 0.226。7.6.2 泊松分布 設(shè) X1, X2 , Xn 為抽自具有泊松分布P()的總體的樣本，因為 E(X)=Var(X) =，應(yīng)用(2)式，并用7.6.2 泊松分布 例4：公共汽車站在一單位時間內(nèi) (如半小時,或1小時, 或一天等) 到達(dá)的乘客數(shù)服從泊松分布 P(), 對不同的車站, 所不同的僅僅是參數(shù) 的取值不同?，F(xiàn)對一城市某一公共汽車站進(jìn)行了100個單位時間的調(diào)查。這里單位時間是20 分鐘。計算得到每 20 分鐘內(nèi)來到該車站的乘客數(shù)平均值為 15.2 人。試求參數(shù) 的置信系數(shù)為 95%的置信區(qū)間。 解: n=100, =0.05, z/2=1.96, 將這些結(jié)果代入到 (5)