數(shù)學(xué)：3.1-《回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用二》課件新人教a版選修

1、2022/7/13鄭平正 制作3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（二）2022/7/13鄭平正 制作回歸分析的內(nèi)容與步驟：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測因變量。 回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。 其主要內(nèi)容和步驟是：首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；2022/7/13鄭平正 制作例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157

2、170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。2022/7/13鄭平正 制作分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量2.回歸方程：1. 散點(diǎn)圖；本例中, r=0.7980.75這表明體重與身高有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的。2022/7/13鄭平

3、正 制作探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。即，用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測值，只能給出她們平均體重的值。2022/7/13鄭平正 制作例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172c

4、m的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。2022/7/13鄭平正 制作我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e， (3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 在線性回歸模型(4)中，隨機(jī)誤差e的方差 越小，通過回歸直線 (5)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高。隨機(jī)誤差是引

5、起預(yù)報(bào)值 與真實(shí)值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機(jī)誤差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。2022/7/13鄭平正 制作思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高 y 的觀測誤差。 以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。2022/7/13鄭平正 制作函數(shù)模型與回歸模型

6、之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準(zhǔn)則2022/7/13鄭平正 制作函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型： 線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。所以，對于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 思考：如何刻畫預(yù)報(bào)變量（體重）的變化？這個(gè)變化在多大程度上與解析變量（身高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？ 假設(shè)身高和隨機(jī)誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)

7、下，設(shè)8名女大學(xué)生的體重都是她們的平均值，即8個(gè)人的體重都為54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號54.5kg在散點(diǎn)圖中，所有的點(diǎn)應(yīng)該落在同一條水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如此。這就意味著預(yù)報(bào)變量（體重）的值受解析變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響。對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)2022/7/13鄭平正 制作5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號 例如，編號為6的女大學(xué)生的體重并沒有落在水平直線上

8、，她的體重為61kg。解析變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)。 編號為3的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，這時(shí)解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg。用這種方法可以對所有預(yù)報(bào)變量計(jì)算組合效應(yīng)。數(shù)學(xué)上，把每個(gè)效應(yīng)（觀測值減去總的平均值）的平方加起來，即用表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和。在例1中，總偏差平方和為354。2022/7/13鄭平正 制作594361645450

9、5748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號 那么，在這個(gè)總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？有多少來自于隨機(jī)誤差？ 假設(shè)隨機(jī)誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒有完全落在回歸直線上。這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線上“推”開了。在例1中，殘差平方和約為128.361。 因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。例如，編號為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：對每名女大學(xué)生

10、計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。表示為：即，類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作為 的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。2022/7/13鄭平正 制作 由于解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機(jī)誤差的效應(yīng)為128.361，所以解析變量的效應(yīng)為解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和） =解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和）354-128.361=225.639這個(gè)值稱為回歸平方和。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是離差平方和的分解 （三個(gè)平方和的意義）總偏差平方和(SST

11、)反映因變量的 n 個(gè)觀察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和2022/7/13鄭平正 制作樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) R2 ）1.回歸平方和占總離差平方和的比例2022/7/13鄭平正 制作反映回歸直線的擬合程度取值范圍在 0 , 1 之間 R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2(r)22022/7

12、/13鄭平正 制作顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。 R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是2022/7/13鄭平正 制作1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225

13、.639隨機(jī)誤差比例平方和來源表1-3 從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R2 0.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是2022/7/13鄭平正 制作表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱

14、為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。2022/7/13鄭平正 制作殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)

15、樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。2022/7/13鄭平正 制作例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：2022/7/13鄭平正 制作例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y

16、件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.42022/7/13鄭平正 制作用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。這些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值

17、范圍對模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)2022/7/13鄭平正 制作一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。什么是回歸分析？ （內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出

18、發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度2022/7/13鄭平正 制作回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機(jī)變量，自變量 x 可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線

19、性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制 2022/7/13鄭平正 制作 爹忍不住惆悵起來，好一會兒不說一句話?？吹降绱诉@般，耿直和耿蘭也就不再說什么了，乖乖地坐在一邊兒聽爹的安排。耿正看這兩個(gè)小家伙老實(shí)了，就對耿老爹說：“爹，就按照英子說的，讓小直子今兒個(gè)下午教蘭蘭打算盤哇！”耿老爹點(diǎn)點(diǎn)頭說：“行。小直子，召集人馬的事兒就不用你了，但明兒個(gè)破土動工，你可必須得放鞭炮去哇！對了，蘭蘭，還有他娘，這破土動工儀式，你 們也得去??！”耿蘭說：“去，俺當(dāng)然要去了啊！”耿直終于笑了，說：“爹，你忘記了嗎？俺最喜歡放鞭炮啦！”郭氏也笑著說：“看你那正而八經(jīng)的樣兒，咱們家這建學(xué)堂蓋戲臺的要破土動工了，俺還能不去！”耿老爹“嘿嘿”地笑了，說：“好啦，各干各的去哇！”看到耿直和耿蘭去西廂房炕角上放的那個(gè)小書桌前扒拉算盤兒去了，妻子郭氏和耿英也開始收拾做午飯，耿老爹對耿正說：“今兒個(gè)下午，爹和你分頭 去召集人馬哇！也是啊，咱鎮(zhèn)子上的人，小直子現(xiàn)在還不認(rèn)識幾個(gè)呢！”耿正說：“就是啊爹，有好些人的名字連俺也叫不上來了呢。這召集人馬