材料力學(xué)教材(PDF)_cl03

1、第三章材料的力學(xué)性質(zhì)拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算第一節(jié)應(yīng)力-應(yīng)變曲線材料的力學(xué)性質(zhì)是指材料在外力的作用下在強(qiáng)度和變形方面表現(xiàn)出的性能， 它是構(gòu)件設(shè)計(jì)的重要資料。為研究這些性質(zhì)所進(jìn)行的材料試驗(yàn)，是在國(guó)標(biāo)的嚴(yán)格 規(guī)定下進(jìn)行的，具體試驗(yàn)方法可參閱材料力學(xué)試驗(yàn)書(shū)籍。材料試驗(yàn)有很多種類(lèi)， 最具有代表性的是拉伸試驗(yàn)。按國(guó)標(biāo)制作一定形狀、尺寸的試樣，如圖2-la所示 將試樣安裝在材料試驗(yàn)機(jī)上，在緩慢的加載中，測(cè)定試樣的變形，得到載荷一 變形曲線，由此繪出反映應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱(chēng)為應(yīng)力一應(yīng)變曲線或bs 曲線。這里使用的應(yīng)力是用載荷除以試樣原橫截面面積得到的名義應(yīng)力，而不是 用載荷除以伴隨試樣伸長(zhǎng)而逐漸縮小的真實(shí)橫截面

2、面積得到的真實(shí)應(yīng)力。圖3-la所示的實(shí)線是工業(yè)材料中最常用的低碳鋼的拉伸名義應(yīng)力一應(yīng)變曲 線?？梢钥闯?，整個(gè)拉伸過(guò)程大致分成四個(gè)階段。拉伸開(kāi)始的段是第一階段 彈性階段。最初，應(yīng)力與應(yīng)變成比例，即呈線性關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系的極限 點(diǎn)d的應(yīng)力值稱(chēng)為比例極限，用帀表示。前面講述過(guò)的胡克定律適用的最大應(yīng)力 必須不超過(guò)帀。超過(guò)比例極限，應(yīng)力與應(yīng)變不再是直線關(guān)系，但若應(yīng)力不超過(guò)B 點(diǎn)，則試樣仍然僅發(fā)生彈性變形，B點(diǎn)的應(yīng)力值稱(chēng)為彈性極限，用be表示。bp 和be雖然意義不同，但數(shù)值接近，在工程上通常不作區(qū)分。應(yīng)力超過(guò)彈性極限，進(jìn)入第二階段一一屈服階段。應(yīng)力在較小的范圍內(nèi)波動(dòng), 而應(yīng)變卻顯著增加，應(yīng)力一應(yīng)變曲線

3、呈現(xiàn)水平鋸齒狀，這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為屈服。此時(shí) 的應(yīng)力值稱(chēng)為屈服應(yīng)力或屈服點(diǎn)，用bs表示。其中屈服階段內(nèi)的最髙應(yīng)力值稱(chēng)為 上屈服點(diǎn)（C點(diǎn)）；最低應(yīng)力值稱(chēng)為下屈服點(diǎn)（D點(diǎn)）。屈服是由于材料內(nèi)部晶體滑 移而致，這是低碳鋼（多晶體）和具有與其類(lèi)似組織的金屬所特有的現(xiàn)象。超過(guò)屈服點(diǎn)，進(jìn)入第三階段一一強(qiáng)化階段。此時(shí)應(yīng)力隨應(yīng)變的增加再次增加， 但不再是線性關(guān)系，這種現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)變硬化。在強(qiáng)化階段的末端F點(diǎn)，應(yīng)力達(dá)到 最大值，稱(chēng)為抗拉強(qiáng)度，用bb表示。此后，進(jìn)入第四階段一一頸縮破壞階段。在試樣的局部范圍內(nèi)，橫截面面積 急劇變小，發(fā)生所謂的頸縮現(xiàn)象。變形集中在頸縮處，該處的真實(shí)應(yīng)力大大增加，直至試樣斷裂。在試驗(yàn)過(guò)程中，

4、若在強(qiáng)化階段的某點(diǎn)F停止加載，并將載荷逐漸減少至零（稱(chēng) 為卸載），可以看到，卸載過(guò)程中的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系仍保持線性關(guān)系，稱(chēng)為彈性卸 載定律。即而1幾乎與刃平行，如圖3-1所示。如果卸載后立即加載，加載路 徑$可基本上沿而1上升，這時(shí)新的b &曲線為01F/G。從圖3-1上可以看 出，預(yù)先受到超過(guò)屈服點(diǎn)載荷的試樣，其比例極限bp得到提髙，而斷裂時(shí)的塑性 變形將減小，這種現(xiàn)象稱(chēng)為冷作硬化。工藝過(guò)程中的輾軋、冷軋、沖剪、噴丸處 理都會(huì)對(duì)材料造成不同程度的冷作硬化。工程中常借此提髙某些構(gòu)件在彈性階段 的承載能力。如圖2-1a所示，若試驗(yàn)前試樣的標(biāo)距為Z,拉斷后的試樣標(biāo)距改變?yōu)閺S。則 比值l-lX 100

5、%(3-1)稱(chēng)為伸長(zhǎng)率。若原橫截面面積為4拉斷后的最小橫截面面積為A,則(3-2)稱(chēng)為斷面收縮率。3和都是表示材料具有塑性程度的標(biāo)志，它和屈服點(diǎn)、抗拉 強(qiáng)度等都是選材的重要指標(biāo)。一般認(rèn)為3 $5%的材料為塑性材料，3 5%的材 料為脆性材料。圖3-2a所示為其它一些塑性金屬材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線。圖中曲線1、 2、3、4分別對(duì)應(yīng)于猛鋼、硬鋁、退火球墨鑄鐵和低碳鋼，前三種材料沒(méi)有明顯的屈服階段。由于工程上一般不允許構(gòu)件產(chǎn)生較大的塑性變形，常取屈服點(diǎn)作為 塑性材料強(qiáng)度的極限應(yīng)力指標(biāo)，對(duì)于無(wú)明顯屈服階段的塑性材料，將產(chǎn)生不影響 實(shí)用的塑性變形量的應(yīng)力值作為屈服點(diǎn)，稱(chēng)為條件屈服強(qiáng)度，用C0.2表示

6、，即取塑性應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值作為6.2,見(jiàn)圖3-2b所示的S點(diǎn)。圖3-2其它塑性金屬材料的拉伸應(yīng)力一應(yīng)變曲線低碳鋼材料壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線見(jiàn)圖3-1所示的虛線，與拉伸（實(shí)線） 相比，在屈服階段以前，兩曲線表現(xiàn) 出來(lái)的性質(zhì)相同，低碳鋼壓縮時(shí)的比 例極限帀、屈服點(diǎn)沢、彈性模量F均 與拉伸時(shí)大致相同。屈服階段以后， 試樣越壓越扁，并不斷裂，由于兩端 的摩擦力使其橫向變形受阻，圓柱形 試樣成為腰鼓形。脆性材料的典型代表是灰鑄鐵， 其應(yīng)力一應(yīng)變曲線如圖3-3所示，實(shí) 線為拉伸曲線，虛線為壓縮曲線。由 于沒(méi)有明顯的屈服現(xiàn)象，通常用抗拉（壓）強(qiáng)度作為其強(qiáng)度指標(biāo)。灰鑄鐵拉伸時(shí)， 由于其抗拉能力

7、很差，在拉應(yīng)力作用下沿橫截面斷裂；壓縮時(shí)，破壞斷面的法線 大致與軸線成45 -55的傾角，表明試樣是由于切應(yīng)力引起斜截面相對(duì)錯(cuò)動(dòng)而破 壞。灰鑄鐵的抗壓強(qiáng)度冊(cè)。是抗拉強(qiáng)度中的45倍，抗壓能力比抗拉能力強(qiáng)是脆 性材料的特點(diǎn)。表3-1列出了工業(yè)上常用金屬材料在軸向拉壓時(shí)的主要力學(xué)性能指標(biāo)。表3-1幾種常用金屬材料的力學(xué)性質(zhì)材料名稱(chēng)牌號(hào)屈服點(diǎn)os /MPa抗拉強(qiáng)度ob /MPa抗壓強(qiáng)度obc /MPa伸長(zhǎng)率矗5(%f用途普通碳素鋼Q23523537550021 26普通零件Q27527549063015 20優(yōu)質(zhì)碳素鋼3531553020轉(zhuǎn)軸、螺釘、 連桿等4535560016齒輪、軸等低合金鋼15M

8、nV39053018起重機(jī)、吊鉤、 容器、車(chē)架16Mn34551021合金鋼40Cr7859809連桿、重要兇輪、軸30CrMnSi885108010球墨鑄鐵QT4503304505曲軸、齒輪、 活塞QT6004206002灰鑄鐵HT150150650軸承蓋、機(jī)座、E輪HT250250750壬自PI .tfe.LY1111024021042018航空構(gòu)件、挪釘LD92804203內(nèi)燃機(jī)、活塞銅合金Qal9230045020 40船舶零件QA19420050060040齒輪、軸套S5表示標(biāo)距l(xiāng)=5d的標(biāo)準(zhǔn)試樣的伸長(zhǎng)率。第二節(jié)高溫下材料的性質(zhì)一般金屬材料隨著使用狀態(tài)溫度的升髙，其彈性模量、抗拉強(qiáng)度

9、等指標(biāo)會(huì)降 低，而伸長(zhǎng)率、斷面收縮率則變大，最終成為非彈性狀態(tài)。圖3-4所示的是低碳 鋼在短時(shí)間髙溫拉伸試驗(yàn)時(shí)的結(jié)果，可以看出，有關(guān)強(qiáng)度和變形的諸性質(zhì)由于溫 度不同而產(chǎn)生了復(fù)雜變化。在某一溫度下，對(duì)構(gòu)件施加一定的應(yīng)力時(shí)，隨著時(shí)間的增加應(yīng)變不斷增長(zhǎng)的 現(xiàn)象稱(chēng)為蠕變，圖3-5所示為一般的蠕變曲線。應(yīng)力和溫度越髙，蠕變的速度即蠕變速率越髙，蠕變速率為一定值的穩(wěn)定蠕變階段逐漸消失。另一方面，如果應(yīng) 力變小，蠕變速率降為零，使用壽命幾乎可以看成無(wú)窮大，在某應(yīng)力中最大的蠕 變稱(chēng)為相應(yīng)溫度下的蠕變極限。圖3-4高溫下低碳鋼力學(xué)性質(zhì)的變化圖3-5蠕變曲線與蠕變有密切關(guān)系的現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力松弛。這是在施加應(yīng)力后，將

10、應(yīng)變保持為 一定值時(shí)，所加應(yīng)力隨時(shí)間的增加而逐漸減少的現(xiàn)象。蠕變與松弛的計(jì)算將在材 料力學(xué)(II)中介紹。溫度變化是影響材料性質(zhì)的一種因素，即使外部沒(méi)有載荷作用，由于材料自 身的膨脹或收縮也會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變，這種應(yīng)變稱(chēng)為熱應(yīng)變。當(dāng)膨脹或收縮完全自由進(jìn) 行時(shí)，不產(chǎn)生應(yīng)力。如因某種原因約束了材料的膨脹或收縮，則在內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生抵 抗熱應(yīng)變的應(yīng)力，這種應(yīng)力稱(chēng)為熱應(yīng)力。例如在溫度為時(shí)長(zhǎng)度為/的直桿，在溫度變化到T時(shí)，桿自由伸縮量/可 用下式計(jì)算Al = a(T - T0)l(3-3)其中a是線膨脹系數(shù)，對(duì)于不同的材料有不同的a值，在彈性范圍內(nèi)，當(dāng)溫度變 化不大時(shí)可認(rèn)為其為定值。這里，若將圖3-6所示的桿兩端固定

11、，熱應(yīng)變 Al/l = a(T - T0)完全受到阻礙時(shí)，在桿中產(chǎn)生的熱應(yīng)力b可用下式表示o = -E牛=-Ea(T 一 T0)(3-4)當(dāng) CTo時(shí)，a是壓應(yīng)力，當(dāng)TTI 1+a (TTo)圖3-6直桿的熱變形若試樣缺口處的橫截面面積為d,則沖第三節(jié)加載速率對(duì)材料力學(xué)性質(zhì)的影響加載速率對(duì)材料的力學(xué)性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生較大的影響。變形速率用de/d/表示。如 果變形速率太大，由于材料的塑性變形來(lái)不及進(jìn)行，材料的斷裂過(guò)程將要更加復(fù)雜。但材料的彈性變形不受變形速率的 影響，這是因?yàn)椴牧蟽?nèi)彈性波的傳播遠(yuǎn) 大于一般受力物體的變形速率。圖3-7 所示的是不同變形速率下低碳鋼的應(yīng)力 應(yīng)變曲線。由圖可見(jiàn)，隨著變形速率

12、 的提髙，材料的屈服點(diǎn)、抗拉強(qiáng)度6 也提髙，但材料的塑性變化不大。對(duì)于 低塑性材料，隨著加載速率的提髙，其 塑性降低，脆性斷裂的傾向增大。由沖擊試驗(yàn)可看到加載速率對(duì)材料 力學(xué)性能的影響。沖擊試驗(yàn)的目的是測(cè) 定在單位面積上材料對(duì)沖擊載荷的抵抗 能力，這種能力稱(chēng)為沖擊韌度。圖3-8 所示為沖擊試驗(yàn)簡(jiǎn)圖，有關(guān)試樣和沖擊 試驗(yàn)機(jī)的詳細(xì)資料參看材料力學(xué)試驗(yàn)書(shū) 籍。由試驗(yàn)機(jī)可測(cè)得試樣吸收的能量E, 擊韌度氐為aKE_A(3-5)圖3-8沖擊試驗(yàn)簡(jiǎn)圖OK值越大，表明材料的抗沖擊能力 愈強(qiáng)。由試驗(yàn)知，脆性材料的沖擊 韌度值遠(yuǎn)比塑性材料的低。另外， OK值與試樣的尺寸、缺口的形狀有 關(guān)，因此必須統(tǒng)一用標(biāo)準(zhǔn)試樣測(cè)

13、定 的值才能相互比較。應(yīng)該指出，溫度對(duì)OK值的影響 最大。圖3-9所示為低碳鋼的aK值 隨溫度的變化規(guī)律。由圖可見(jiàn)，沖 擊韌度aK值隨溫度的降低而減小。 當(dāng)溫度降至某一數(shù)值時(shí)，aK值突然 降低，這種現(xiàn)象稱(chēng)為材料的冷脆性。 發(fā)生冷脆性現(xiàn)象時(shí)的溫度稱(chēng)為臨界.UOO丿%0 _1_1_L-80 -60 -40 -2002040t/ C圖3-9低碳鋼的沖擊韌度隨溫度變化的曲線溫度。材料的冷脆性反映了沖擊載荷對(duì)材料性質(zhì)的影響。在常溫、靜載下具有良 好塑性的材料，在低溫沖擊載荷下卻表現(xiàn)出脆性。第四節(jié)材料的疲勞強(qiáng)度前面介紹的屈服點(diǎn)和抗拉（壓）強(qiáng)度是在靜載荷作用下材料能承受的應(yīng)力。 但是構(gòu)件在隨時(shí)間變化的載荷即

14、交變動(dòng)載荷的長(zhǎng)期作用下，即使應(yīng)力低于屈服點(diǎn) 也會(huì)發(fā)生破斷現(xiàn)象。長(zhǎng)期受到這種交變動(dòng)載荷作用的材料所能承受的應(yīng)力比受靜 載時(shí)要低的現(xiàn)象稱(chēng)為疲勞，因疲勞引起的破壞稱(chēng)為疲勞破壞。疲勞強(qiáng)度是材料的 另一個(gè)重要的力學(xué)性質(zhì)。為了研究材料的疲勞強(qiáng)度，通常給試樣加一個(gè)如圖3-10所示的以時(shí)間為變量 的正弦波交變應(yīng)力，通過(guò)疲勞試驗(yàn)可求出材料到破壞時(shí)能經(jīng)受的循環(huán)數(shù)N。設(shè)圖 中交變應(yīng)力的最大值為Omax,最小值為Olrnn,則=(CTmax - CTmln ) / 2稱(chēng)為應(yīng)力幅， bm = Omax + 0)/2稱(chēng)為平均應(yīng)力。Om = 0這種特殊情況稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)應(yīng)力循環(huán)。 另外Oax = 0或Omin= 0情況稱(chēng)為脈沖應(yīng)

15、力。疲勞試驗(yàn)雖有許多類(lèi)型，但最有代表 性的是旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗(yàn)，將靜彎曲載荷作用于圓截面直桿，同時(shí)使其旋轉(zhuǎn)，這 樣就對(duì)試樣表面的點(diǎn)交替地施加最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，而在中心保持為零應(yīng)力。 詳盡的試驗(yàn)方法參看材料力學(xué)試驗(yàn)書(shū)籍。對(duì)同一種材料，用一組光滑小試樣，承受大小不同的應(yīng)力，進(jìn)行多次疲勞試 驗(yàn)，可求得交變應(yīng)力的Omax與試樣破斷的循環(huán)次數(shù)N之間的關(guān)系。若在橫軸表示 N的對(duì)數(shù)，縱軸表示omax的方格紙上畫(huà)出試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于鋼材就有如圖3-11所示 的曲線，稱(chēng)為應(yīng)力一壽命曲線或S_N曲線。曲線趨于水平時(shí)的最大應(yīng)力omax 被當(dāng)作臨界應(yīng)力，稱(chēng)為疲勞極限或持久極限。應(yīng)力在這個(gè)極限值以下時(shí)可認(rèn)為試 樣經(jīng)過(guò)無(wú)限次

16、循環(huán)也不破斷。圖3-10交變應(yīng)力波形圖3-11應(yīng)力一壽命曲線常溫下的試驗(yàn)表明，若鋼試樣經(jīng)歷107次循環(huán)仍未破壞，則再增加循環(huán)次數(shù) 也不會(huì)破壞。所以就把107次循環(huán)仍未破壞的最大應(yīng)力規(guī)定為鋼的疲勞極限。有 色金屬的SN曲線無(wú)明顯趨于水平的直線部分，通常規(guī)定108次循環(huán)仍未破壞的 最大應(yīng)力作為“條件”疲勞極限。疲勞極限和條件疲勞極限統(tǒng)稱(chēng)為疲勞強(qiáng)度。疲勞強(qiáng)度還受材料的表面狀態(tài)、構(gòu)件形狀和尺寸、載荷種類(lèi)、周?chē)h(huán)境條件 等許多因素的影響。另外，飛機(jī)、汽車(chē)等所受的往往不是如圖3-10所示的應(yīng)力幅 為常數(shù)的簡(jiǎn)單交變應(yīng)力，而是應(yīng)力幅隨時(shí)間復(fù)雜變化的變應(yīng)力作用。用應(yīng)力幅一 定時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果，去推定這種情況下疲勞強(qiáng)

17、度的方法是邁因納提出的線性累積損 傷定律，稱(chēng)為邁因納(M. Miner)定律。該定律是在假定疲勞損傷成線性累積的 情況下被導(dǎo)出的。所以可表示為：對(duì)不同的應(yīng)力幅6, 02,，o的疲勞破壞循環(huán)數(shù)分別為Ni, N2,，M時(shí)，如果在對(duì)應(yīng)的應(yīng)力幅下連續(xù)循環(huán)ni 2, %次，這時(shí)發(fā)生疲勞損壞的準(zhǔn)則是 = t命=弗+養(yǎng)+俞二1(3-6)稱(chēng)為疲勞損傷。雖然上式并非所有情況下都成立，但在推定實(shí)際工作應(yīng)力下的 疲勞壽命時(shí)具有重要意義。對(duì)疲勞破壞的詳細(xì)論述見(jiàn)材料力學(xué)（II）。第五節(jié)許用應(yīng)力和安全因數(shù)為了使機(jī)械和結(jié)構(gòu)物在使用過(guò)程中不發(fā)生破壞，也不產(chǎn)生損害其性能的變形, 載荷在各構(gòu)件上產(chǎn)生的應(yīng)力必須限制在某個(gè)數(shù)值以下，

18、這個(gè)被容許的最大應(yīng)力值 稱(chēng)為許用應(yīng)力。確定許用應(yīng)力時(shí)要考慮載荷的種類(lèi)、溫度等環(huán)境狀況和其它許多 使用條件。在一定的條件下，材料的強(qiáng)度按一定的標(biāo)準(zhǔn)確定。材料的標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度一般是指屈服點(diǎn)、抗拉（壓）強(qiáng)度、疲勞極限、蠕變極限等。 例如，塑性材料在常溫下受靜載作用時(shí)取屈服點(diǎn)作為標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度，受交變載荷作用 時(shí)取疲勞極限作為標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度等等?？傊仨毟鶕?jù)使用情況選擇適當(dāng)?shù)牟牧蠌?qiáng)度 作為標(biāo)準(zhǔn)。但是，實(shí)際使用中還不能以標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度作為許用應(yīng)力。由于無(wú)法預(yù)料到使用中 可能出現(xiàn)的問(wèn)題和環(huán)境狀態(tài)的變化，構(gòu)件可能承受比預(yù)期略大的載荷，加上構(gòu)件 應(yīng)力計(jì)算的不準(zhǔn)確性、材料的不均勻性、加工和裝配的缺陷等因素，所以，只有 將許用應(yīng)力取得

19、比標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度小才能保證構(gòu)件安全工作。標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度與許用應(yīng)力的比 值稱(chēng)為安全因數(shù)，其值必須大于1。安全因數(shù)的選取，涉及到安全與經(jīng)濟(jì)的關(guān)系。 安全因數(shù)過(guò)大將造成結(jié)構(gòu)笨重、材料浪費(fèi)和成本提髙；過(guò)小的安全因數(shù)又會(huì)使安 全得不到保證，甚至?xí)l(fā)生事故，因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中必須采用適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)。 確定安全因數(shù)的數(shù)值一般應(yīng)參照類(lèi)似結(jié)構(gòu)物以往所取得的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值，按照不同情 況來(lái)決定。對(duì)于飛機(jī)、船舶、建筑物、壓力容器等分別有不同的標(biāo)準(zhǔn)，可供設(shè)計(jì) 時(shí)參考。第六節(jié)軸向拉壓桿的強(qiáng)度及變形計(jì)算在求得軸向拉壓桿橫截面上的最大正應(yīng)力Eax后，令其小于或等于材料的許 用應(yīng)力b就可以保證軸向拉壓桿安全工作而不破斷，故軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件

20、 可用下式表示omaxW b(3-7)使用上式可對(duì)構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面尺寸和確定結(jié)構(gòu)的許用載荷三方面的 強(qiáng)度計(jì)算。例3-1圖3-12a所示的托架，為圓截面桿，直徑d=32mm, 桿由兩根 N巧槽鋼組成。材料均為Q235鋼，其許用應(yīng)力b =120MPa,求該托架的許用載 荷F。若Q235鋼的彈性模量=210GPa,試計(jì)算F作用下B點(diǎn)的位移。解：(1)求許用載荷鬥取結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，受力如圖3-12b所示。由平衡條件易得Fni=1.67F, Fn2=1.33F按dB桿計(jì)算，根據(jù)強(qiáng)度條件有11n x322F W 丄bd =丄 x 120 xN = 57.8kN1.6711.674按BC桿計(jì)算，

21、查型鋼表啞5槽鋼橫截面面積d=6.928cm2,根據(jù)強(qiáng)度條件有F W bd2 =占 x 120 x (2 x 6.928 x 102)N = 125.0kN故該托架的許用載荷FW57.8kN。(2)求許用載荷F作用下B點(diǎn)的位移為了求解B點(diǎn)的位移，將兩桿假想地從B點(diǎn)拆開(kāi)，各桿沿所受軸力方向分別 自由縮伸至B1和B2點(diǎn)，如圖3-13所示，由于兩桿在B點(diǎn)應(yīng)該錢(qián)接，因此B點(diǎn)的 最終變形位置應(yīng)該是分別以C、d點(diǎn)為圓心，CB1、亟為半徑作出圓弧的交點(diǎn) B。為簡(jiǎn)化計(jì)算，考慮到小變形假設(shè)，在實(shí)際計(jì)算中可以用過(guò)B- B2點(diǎn)的兩條切 線亞和B；歹分別代替兩條弧線，交點(diǎn)也就相應(yīng)地變成B 點(diǎn)。B點(diǎn)的位移就是 |BB在

22、載荷F作用下，dB和BC桿內(nèi)力分別為JFN1 = 1.67F = 96.5kNFN2 = 1.33F = 76.9kN利用胡克定律計(jì)算兩桿的變形量F l l1=96.5 x 103 x J1.82 + 2.42 x 103 x 4210 x 103 xnx 322mm = 1.71mm（伸長(zhǎng)）AI276.9 x 103 x 2.4 x 103210 x 103 x 2 x 6.928 x 102mm = 0.63mm (壓纟筍maxA得到等直桿的橫截面面積為YlW Qc3 000 x 103AN / y 廠 106 - 25 x 103 x 30m2 = 12 m2利用圖3-13所示的變形圖，

23、可以采用圖解法量出B點(diǎn)的位移3=|BB|,也可用解 析法計(jì)算得到3Bx = Al2 = B1 b = 0.63mm3By = |B1 B31 + |B3 B = Al1 sin a + (Al2 + Al1 cos a) cot amm = 3.69mm1.71 x18 + (0.63 +1.71 x 耳)x 24331.8SB =32x + 32y =yj0.632 + 3.692mm = 3.74mm這種在小變形下，用切線代替弧線計(jì)算 結(jié)構(gòu)位移的方法在求解超靜定問(wèn)題，特別是 軸向拉壓超靜定問(wèn)題中使用較為廣泛。例3-2石橋墩的頂面作用軸向壓力F=3 OOOkN，已知橋墩高度為l =30m,材

24、料 的許用壓應(yīng)力為oc=1MPa ,彈性模量 E=8GPa,重度Y=25kN/m3,試按照等截面直 桿和各橫截面應(yīng)力相等的變截面桿，分別設(shè) 計(jì)所需要的橫截面面積，并分別計(jì)算橋墩的 總重和兩者的軸向變形。解：（1）按等直桿設(shè)計(jì)橋墩（如圖3-14a 圖3-13所示）顯然危險(xiǎn)截面為軸力最大的底面，由強(qiáng)度條件橋墩總重為Gi = ViY = AY = 12 x 30 x 25kN = 9 OOOkN軸向變形為A li你i EA(2)按各橫截面應(yīng)力相等設(shè)計(jì)橋墩(如圖3-14b所示)從x截面截取dx微段為研究對(duì)象，如圖3-14c所示。根據(jù)題意，dx段上下兩 截面上的應(yīng)力均為oc,由平衡條件有工 Fx = ：

25、oc A(x) + YA(x)dx - ocA(x) + dA(x) = 0對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分，得到In A(x) = Y x + Coc積分常數(shù)C可利用桿頂端的邊界條件確定，即F 2 x = ： A() = A =3m2 oc得到積分常數(shù)C = InA,代入式(b),即得橫截面沿桿長(zhǎng)的變化規(guī)律為Y25x13(a)(b)(c)(d)A(x) = A=3e 后 =3e o025x橋墩總重為(30G? = V?Y = YI A(x)dx = 3 351 kNJ 0軸向變形為A12 = |ddx = d |dx = dl = 3.75mm2 Ji EA Ji EE Ji E任意橫截面上應(yīng)力都相等的桿

26、件稱(chēng)為等強(qiáng)度桿。由上題可以知道，從節(jié)省材 料的角度來(lái)看，等強(qiáng)度桿最經(jīng)濟(jì)。但由于加工困難，工程上常采用階梯桿或錐形 桿來(lái)代替等強(qiáng)度桿。第七節(jié)簡(jiǎn)單拉壓超靜定問(wèn)題由理論力學(xué)可知，所有約束反力能通過(guò)靜力平衡條件求解的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為靜定結(jié) 構(gòu)，否則稱(chēng)為超靜定結(jié)構(gòu)(或靜不定結(jié)構(gòu))，如圖3-15a、圖3-16a所示的結(jié)構(gòu)。超 靜定次數(shù)可通過(guò)約束反力的個(gè)數(shù)減去獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)得到，圖3-15、圖3-16 所示的結(jié)構(gòu)均為一次超靜定結(jié)構(gòu)。求解超靜定結(jié)構(gòu)約束力問(wèn)題稱(chēng)為超靜定問(wèn)題。 下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明拉壓超靜定問(wèn)題的解法。例3-3三桿桁架結(jié)構(gòu)如圖3-15a所示，已知1、2桿尺寸及材料相同，抗拉 壓剛度為E1A1, 3桿的

27、抗拉壓剛度為EA 試求在垂直力尸作用下各桿的內(nèi)力。解：由圖3-15b所示的受力圖列靜力平衡方程工 Fx = 0 ： FN2 sin a - f sin a = 0工 F = 0 = FN3 + 2FN1 cos a- F = 0可見(jiàn)，憑兩個(gè)靜力平衡方程無(wú)法求得三個(gè)未知力耳1、Fn2、Fn3,必須尋求補(bǔ)充 方程。由于1、2兩桿材料相同，結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱(chēng)，所以桁架變形也對(duì)稱(chēng)，仿照例3-1的“以切代弧”法作出桁架的變形圖，如圖3-15c所示。有如下變形協(xié)調(diào)方程A I、= AI3 cos a（b）All和A/3可以由胡克定律求得A1、=你11, A l3 =厶1Ei Ai cos aE3 A3這兩個(gè)表示變形與軸力關(guān)系的式子稱(chēng)為物理方程，將其代入式（b）,得到Ei Acos aFn3_E3 A3cos a(c)(d)這是在靜力平衡方程之外得到的補(bǔ)充方程。將式（a）和式（d）聯(lián)立，可解出FE1A1 cos E1A1 cos3 a + E3 A3 aFE3 A32E1A1 cos3 a + E3A3計(jì)算結(jié)果表明，各桿的內(nèi)力分配與各桿的剛度有關(guān)，這是超靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)之