2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

1、2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 第二章 第七講 一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及性質(zhì)二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1. 連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及性質(zhì)定義1. 設(shè) F(x) 是隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)(1) 概率密度的定義，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x 有函數(shù)則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為 X 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。常記為(2) 概率密度的性質(zhì)（6條） 非負(fù)性 歸一性可由下圖表示f (x)x面積為1由于這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函的概率密度函數(shù)的充要條件。是否為某隨機(jī)變量X數(shù)f (x)x圖中陰影部分在該區(qū)間上的改變量，等于在該區(qū)間上的積分(與端點(diǎn)是否在內(nèi)無關(guān)) 對(duì)于任意的數(shù)有連續(xù)型隨機(jī)變量 X 落在某

2、區(qū)間a, b上的概率為F(x) 分布函數(shù)上連續(xù)，且密度函在數(shù)不唯一（在個(gè)別點(diǎn)的值可不同）。 概率密度在點(diǎn)x處連續(xù)，則有的高度反映了隨機(jī)點(diǎn)集中在該點(diǎn)附近的密集程度。注意:密度函數(shù) f (x)在這個(gè)高度越大，則X 取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線f(x)0 x1某點(diǎn)a 處的高度 f (a)并不是的概率。這是因?yàn)?對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，有稱A 為幾乎不可能事件，B 為幾乎必然事件.這里事件并非不可能事件，但可見，連續(xù)解：判斷下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的概率密度故 f(x) 可以作為某隨機(jī)變量的概率密度。是顯然的；例1解:設(shè)X 的分布函數(shù)為求例2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求 (1) 確

3、定常數(shù)A的值；(2) F(x);解：(1)例3離散型r.v.的分布函數(shù)連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)分布律與分布函數(shù)的關(guān)系概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系分布函數(shù)2.幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量(1) 均勻分布定義 若隨機(jī)變量X 的概率密度為：則稱X服從區(qū)間a, b上的均勻分布，記作均勻分布的密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)，其中是其密度函數(shù)，則有因?yàn)榫鶆蚍植嫉母怕时尘罢f明：r.v X 取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。均勻分布的分布函數(shù)圖形如下abxF (x) 01解:依題意，XU 0, 30 以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即 7:00

4、，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站.如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X 是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量，試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.例4所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.(2)指數(shù)分布若隨機(jī)變量X 的概率密度為：指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù)為概率密度的圖形為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的其中指數(shù)分布的密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)，其中是其密度函數(shù)，則有(2) 已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩 電子元件的壽命X(年）服從3的指數(shù)分布(1) 求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？解：由已知得 X 的概率密度為例5上面的結(jié)果顯示了指數(shù)分布具有

5、無記憶性，即(3) 正態(tài)分布例：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動(dòng)，但總是以某個(gè)常數(shù)為中心。離中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對(duì)稱性。此隨機(jī)變量是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布： 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。 大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)。正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。首次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高德莫佛高斯德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布。. 正態(tài)分

6、布的定義定義1 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱 X 服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，記為定義2若X 的概率密度為則稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為其圖形分別如下所示：以上鐘形曲線叫做正態(tài)曲線，滿足以下特性。概率密度的驗(yàn)證. 正態(tài)分布概率密度的性質(zhì)曲線關(guān)于直線對(duì)稱。 當(dāng)時(shí)，f (x) 取得最大值x離越遠(yuǎn)，f (x) 的值就越小。 曲線在處有拐點(diǎn)。 曲線以x軸為水平漸近線。 若 固定，而改變的值，則 f (x) 的圖形沿x軸形的位置完全由參數(shù)所決定，稱為位置參數(shù)。（如右圖）平行移動(dòng)，但不改變其形狀，因此的圖正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和唯一確定，當(dāng)和不同時(shí)，正態(tài)分布也不同。 若固定，而改變的值，由于f

7、(x)的最大值為可知，越小該圖形越陡，X的取值越集中;越大該圖形越平坦，X的取值越分散。決定了圖形中峰的陡峭程度，稱為形狀參數(shù)。. 正態(tài)分布的分布函數(shù) 設(shè)，X 的分布函數(shù)是 而，即 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為x0 x-x易得 227頁當(dāng) 時(shí), 可直接查表求當(dāng) 時(shí), 如右圖由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間內(nèi)，當(dāng)XN(0,1) 時(shí)，3準(zhǔn)則超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%。將3準(zhǔn)則推廣到一般的正態(tài)分布， 可以認(rèn)為, Y 的取值幾乎全部集中在的區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為“3準(zhǔn)則”。解:設(shè)隨機(jī)變量，試求例6. 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化一般地，若，只要通過一個(gè)線性變換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理1 若隨機(jī)變量 ，則證:要求的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)所以結(jié) 論 若，則它的分布函數(shù)可以寫成例解:設(shè)隨機(jī)變量，試求：例7解：查表得查表得已知求d, c例8解:設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求因?yàn)楣什楸淼霉受囬T高度