《自動(dòng)控制原理》_胡壽松___自動(dòng)控制原理簡(jiǎn)明教程4

1、第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4.1 根軌跡法的基本概念4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則4.3 廣義根軌跡4.4 系統(tǒng)性能的分析自動(dòng)控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu) 特點(diǎn)： （1）圖解方法，直觀、形象； （2）適用于研究當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)變化時(shí)， 系統(tǒng)性能的變化趨勢(shì)； （3）近似方法，不十分精確。 根軌跡法是控制系統(tǒng)的三大分析校正方法之一。 4.1.1 根軌跡概念 根軌跡(root locus)簡(jiǎn)稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)（如開環(huán)增益）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在s平面上的變化軌跡。 4.1 根軌跡法的基本概念例4-1：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，分析l 隨開環(huán)增益K變化的趨勢(shì)。 解： K : 開環(huán)增

2、益K*: 根軌跡增益4.1.2 根軌跡與系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、動(dòng)態(tài)性能。 4.1.3 閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如右圖，相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 一般傳遞函數(shù)可寫為則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) G(s)C(s)R(s)H(s) 由上式可以得到如下關(guān)系1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益；2）閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)；3）閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益 均有關(guān)。根軌跡法的基本任務(wù)在于，如何由已知的

3、開環(huán)零、極點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解法找出閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩邊的幅值和相角應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng)根軌跡的基本條件，即幅值條件：相角條件：G(s)C(s)R(s)H(s)4. 1. 4 根軌跡方程圖示系統(tǒng) ，閉環(huán)特征方程為即 根軌跡方程式中， 分別代表所有開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)到根軌跡上某一點(diǎn)的向量相角之和。相角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件；當(dāng)需要確定根軌上各點(diǎn)的 值時(shí)，使用幅值條件。 4.2 根軌跡繪制的基本規(guī)則180根軌跡的繪制規(guī)則（ ） 規(guī)則1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)，終于系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有(n-m)條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)

4、。規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性 根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m、開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。 根據(jù)根軌跡的對(duì)稱性，只需要作出上半s平面的根軌跡，然后利用對(duì)稱關(guān)系，即可畫出下半s平面的根軌跡。p1j p2z規(guī)則3 根軌跡的漸近線(與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角) 當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n 大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m 時(shí)，有n-m條趨向無限零點(diǎn)的根軌跡的走向。 （1）漸近線與實(shí)軸的傾角（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)式中， 分別為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。 注：只有在 時(shí)，需要計(jì)算漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角。 j 0K= 0K= 0KK 0j 0jKg Kg Kg 0 j 0 j-1-2 j1規(guī)則4 根

5、軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 j 例4-2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根跡。-1，-2 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3-4，-6 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7j -6 -5 - 4 -3 -2 -1 0解：無零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)其根軌跡有兩條分支趨向無窮遠(yuǎn)漸近線傾角：例4-3： ， 繪制根軌跡。漸近線與實(shí)軸只交點(diǎn)：wjs0-0.5a兩條根軌跡分別從極點(diǎn)0、0.5出發(fā)匯合于a點(diǎn)，然后分離，分別沿90，90的漸近線趨向無窮遠(yuǎn)。例 4-4設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。 解：開環(huán)

6、極點(diǎn) p1= 0、p2= 1、p3= 5。 系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg 時(shí)，沿著三條漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn) 0 j 實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，1)和(5， )的實(shí)軸段上。60三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：-2規(guī)則5 根軌跡的分離點(diǎn)與分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)），它對(duì)應(yīng)于特征方程中的二重根。分離角定義為根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)的切線方向的夾角。 分離點(diǎn)坐標(biāo)d： 分離角： 式中， 分別為開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn); 為在s平面上相遇又立即分

7、開的根軌跡的條數(shù)， 。分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)l=2時(shí)，分離角必為直角。分離點(diǎn)的性質(zhì)： 1）分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)重根； 2）由于根軌跡是對(duì)稱的，所以分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上； 3）實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)； 4）在一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。 j 0例4-5 求例4-4系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。 解：根據(jù)例4-4，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段（1，0），位于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則 3d 2 + 12d + 5 = 0 d1 = 0.472

8、 d2 = 3.53(不在根軌跡上，舍去，也可代入幅值方程看Kg0否？) 分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為90。 0j 如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。d1 = 0.472 例4-6 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解： 0jd = 2.47d = 2.47規(guī)則6 根軌跡的起始角和終止角(開環(huán)極點(diǎn)的出射角和開 環(huán)零點(diǎn)的入射角)起始角 ：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸 的夾角；終止角 ：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸 的夾角。 根軌跡的出射角根軌跡的入射角 出射角對(duì)復(fù)極點(diǎn)，入射角對(duì)復(fù)零點(diǎn)。起始角： 例：起始角終止角： 0 j-1-2 j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：例4

9、-7 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為起始角與終止角123132= 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 0 j-1-2 j1=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn) p1= 0、p2,3 = 1 j 漸近線： 3條 0 j例4-8 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 勞斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令s1系數(shù)為0，得 K

10、g = 4代入輔助方程 2s2 + Kg= 0 實(shí)軸上根軌跡：(，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。出射角：繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。 0 j12Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4-45規(guī)則7 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 當(dāng)根軌跡增益K*增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能越過虛軸進(jìn)入右半平面，出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根。根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。根軌跡與虛軸交點(diǎn)的求法：1）勞斯判據(jù)法 應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值K， 由K值求出相應(yīng)的值。2）代數(shù)法把 代入特征方程聯(lián)立求解方程，得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)值和相應(yīng)的臨界K值。方法1Routh判據(jù)法Routh表：S3

11、 1 2S2 3 kS1 0S0 k 0K=6時(shí)，S1行全為0輔助方程：3S260解方程得：例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 解：方法2代數(shù)法解方程得：將 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程法則8 根之和。 當(dāng) 時(shí)，無論 K* 取何值，開環(huán)n個(gè)極點(diǎn)之和總是等于閉環(huán)特征方程n個(gè)根之和。(4-25) 在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個(gè)不變的常數(shù)。所以，當(dāng)開環(huán)增益K*增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在s平面上向左移動(dòng)，則另一部分根必向右移動(dòng)。式中，si為閉環(huán)特征根。規(guī)則9 開環(huán)增益的求取 利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K*值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點(diǎn)的K*

12、值。例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 試?yán)L制根軌跡的大致形狀。解：開環(huán)極點(diǎn)：P1=0，P2=-3，P3=-1+j，P4=-1-j無開環(huán)零點(diǎn)， n-m =4 實(shí)軸上0，-3為根軌跡漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸正方向的夾角：根軌跡實(shí)軸的分離點(diǎn)（舍去）分離角根軌跡在開環(huán)極點(diǎn)p3處的起始角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)（勞斯法）解得臨界穩(wěn)定的條件：K=8.16代入s2行無素構(gòu)成的輔助方程-1.25-2.3p1p2p3p4135026.602 閉環(huán)極點(diǎn)的確定 利用幅值條件，可求特定K*值的閉環(huán)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)常用試探法先求閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)值，然后用綜合除法得到其余的閉環(huán)極點(diǎn)。 在特定的K*值下，如果有一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)

13、極點(diǎn)，也可以直接在概略根軌跡圖上用此方法求取。例4-9求已知開環(huán)傳遞函數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)的開環(huán)增益為：根軌跡圖如示，分離點(diǎn)d=-0.423，對(duì)應(yīng)K*=0.385虛軸的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)K*=6。-20-11j因此，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)有一對(duì)共軛復(fù)根。由于閉環(huán)系統(tǒng)為3階，同時(shí)還有一個(gè)實(shí)根，下面先用試探法求實(shí)根。-20-11j可得：在s= -2的左側(cè)選s1點(diǎn)，由幅值條件：s1= -2.34閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為：應(yīng)用綜合除法可求得：s2=-0.33+j0.58 ， s3=-0.33-j0.58利用試探法可近似求得滿足上述方程的閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)：更換課件4-3 4.3 廣義根軌跡4. 3. 1 參數(shù)根軌

14、跡 在控制系統(tǒng)中， K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡。其他參數(shù)的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。除根軌跡增益 以外的其他參量（開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等）從零變化到無窮大時(shí)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。研究參數(shù)根軌跡的目的：分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。繪制參數(shù)根軌跡圖基本原理：引入“等效開環(huán)傳遞函數(shù)”，將繪制參數(shù)根軌跡的問題化為繪制常規(guī)根軌跡的問題。 常規(guī)根軌跡方程：參數(shù)根軌跡方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)A為除 外，系統(tǒng)任意的變化參數(shù)，而 和 為兩個(gè)與A無關(guān)的首一多項(xiàng)式。 例：已知某位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制參數(shù) a 由零連續(xù)變化到正無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

15、等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）起點(diǎn)： 。（2）終點(diǎn)：三條根軌跡都趨向于無限零點(diǎn)。（3）實(shí)軸上的根軌跡：含坐標(biāo)原點(diǎn)在內(nèi)的整個(gè)負(fù)實(shí)軸。（4）分離點(diǎn)：分離點(diǎn)的計(jì)算公式為 其中 （5）根軌跡的漸近線 漸近線的傾角 漸近線的交點(diǎn)（6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 解得交點(diǎn)為 可繪制系統(tǒng)根軌跡如下圖所示 勞斯表：-1/6-0.50.5繪制參數(shù)根軌跡的一般步驟（1）寫出原系統(tǒng)的特征方程；（2）以特征方程式中不含參量的各項(xiàng)除特征方 程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中 原系統(tǒng)的參量即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益；（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。4. 3. 2 附加開環(huán)零點(diǎn)的作用附加零點(diǎn)

16、對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的作用體現(xiàn)在改變根軌跡的形狀和走向；適當(dāng)?shù)母郊恿泓c(diǎn)減少漸近線條數(shù)，能夠改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；附加零點(diǎn)位置的選擇應(yīng)兼顧穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。4. 3. 3 零度根軌跡如果所研究的控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，則有時(shí)不能采用常規(guī)根軌跡的繪制法則來繪制系統(tǒng)的根軌跡。因?yàn)槠湎嘟亲裱?條件，故一般稱之為零度根軌跡。 零度根軌跡的來源有兩個(gè)方面：其一是非最小相位系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；其二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。前者是由于被控對(duì)象，如飛機(jī)、導(dǎo)彈的本身特性所產(chǎn)生，或者是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換過程中所產(chǎn)生的；后者是由于某種性能指標(biāo)要求，使得在復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，必須包含正反饋回路所致。 零度根軌

17、跡的繪制，原則上可參照常規(guī)根軌跡的繪制法則，但在與相角條件有關(guān)的一些法則中，需作適當(dāng)調(diào)整。繪制0度根軌跡的基本規(guī)則：規(guī)則1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)對(duì)稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；規(guī)則3 漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為： ，有n-m個(gè)角度； 規(guī)則4 實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域；規(guī)則5 分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；規(guī)則7 與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；規(guī)則8 閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。規(guī)則6 起始角和終止角(出射角和入射角)：起始角為其它零、極點(diǎn)到所求起始角復(fù)數(shù)極點(diǎn)的諸向量相角只差，即 終

18、止角等于其它零、極點(diǎn)到所求終止角復(fù)數(shù)零點(diǎn)的諸向量相角之差的負(fù)值，即 4.4 系統(tǒng)性能的定性分析（1）穩(wěn)定性。穩(wěn)定性只與閉環(huán)極點(diǎn)位置有關(guān)，而與閉環(huán)零點(diǎn)位置無關(guān)。（2）運(yùn)動(dòng)形式。如果閉環(huán)系統(tǒng)無零點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；如果閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則時(shí)間響應(yīng)一般是振蕩的。（3）超調(diào)量。主要取決于閉環(huán)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率 ，并與其它閉環(huán)零、極點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度有關(guān)。（4）調(diào)節(jié)時(shí)間。主要取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值 ；如果實(shí)數(shù)極點(diǎn)距虛軸最近，且它附近沒有實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則調(diào)節(jié)時(shí)間主要取決于該實(shí)數(shù)極點(diǎn)的模值。4. 4. 1 閉環(huán)零極點(diǎn)位置對(duì)時(shí)間響應(yīng)性能的影響（5）實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)影響。零點(diǎn)減小系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間提前，超調(diào)量增大；極點(diǎn)增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時(shí)間滯后，超調(diào)量減小。它們的作用，隨著其本身接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)。（6）偶極子及其處理。如果零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則它們就構(gòu)成了偶極子。遠(yuǎn)離原點(diǎn)的偶極子，其影