概率論與數(shù)理統(tǒng)計第2章隨機變量習(xí)題庫及答案

1、第 1 頁：第二章隨機變量及其分布習(xí) 題 課*第二章隨機變量及其分布習(xí) 題 課第 2 頁：*隨 機 變 量離 散 型隨機變量連 續(xù) 型隨機變量分 布 函 數(shù)分 布 律密 度 函 數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點分布二項分布泊松分布隨機變量的函數(shù)的 分 布定義知識結(jié)構(gòu)特征數(shù)第 3 頁： 隨機變量與普通的函數(shù)不同* 隨機變量與普通的函數(shù)不同隨機變量 隨機變量的取值具有一定的概率規(guī)律設(shè) =為某隨機現(xiàn)象的樣本空間， 稱 定義在上的實值函數(shù) X=X() 為隨機變量.用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量。第 4 頁：隨機變量的分類*隨機變量的分類隨機變量的分類第 4 頁：隨機變量的分類*隨機變量的分類離散型隨機變量的

2、分布律第 6 頁：設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為*設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為則稱 X 服從(0-1)分布或兩點分布.兩點分布第 7 頁：稱這樣的分布為二項分布.記為*稱這

3、樣的分布為二項分布.記為稱這樣的分布為二項分布.記為稱這樣的分布為二項分布.記為稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布二項分布兩點分布二項分布二項分布二項分布二項分布第 7 頁：稱這樣的分布為二項分布.記為*二項分布泊松分布第 9 頁：(2)說明*(2)說明(2)說明(2)說明隨機變量的分布函數(shù)(1)定義分布函數(shù)主要研究隨機變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.第 9 頁：(2)說明*即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(3)性質(zhì)第 9 頁：(2)說明*離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)(4)重要公式第 9 頁：(2)說明*(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4

4、)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式(4)重要公式注意:隨機變量在 a 點處取值的概率為分布函數(shù)在 a點的函數(shù)值減去在 a 點的左極限。注意:隨機變量在 a 點處取值的概率為分布函數(shù)在 a點的函數(shù)值減去在 a 點的左極限。離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點對應(yīng)離散型隨機變量的可能取值點,跳躍高度對應(yīng)隨機變量取對應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機變量必為離散型.第 9 頁：(2)說明*離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布

5、函數(shù)的跳躍點對應(yīng)離散型隨機變量的可能取值點,跳躍高度對應(yīng)隨機變量取對應(yīng)值的概率;反之,如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機變量必為離散型.連續(xù)型隨機變量的概率密度(1)定義第 9 頁：(2)說明*(1)定義(1)定義(1)定義(1)定義(1)定義(2)性質(zhì)第 9 頁：(2)說明*若X是連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能事件, 則有若X是連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能事件, 則有若X是連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能事件, 則有若X是連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能事件, 則有若 X 為離散型隨機變量連續(xù)型連續(xù)型離散型離散型(3)注意第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)

6、 f.*在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f(x) 而求分布函數(shù)F(x)時，如果 f (x) 是分段函數(shù), 則積分要分段進行計算.這時的 F(x) 是連續(xù)函數(shù), 盡管它以分段函數(shù)的形式出現(xiàn). 它的定義域中各子區(qū)間的端點, 只要求表達清楚, 屬于哪一個區(qū)間無關(guān)緊要, 也沒必要與 f (x) 一致.已知連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù) F(x) 求 f(x). 如果 F(x) 是分段函數(shù)，在其各個子開區(qū)間中可直接用初等函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo)而得到 f(x)。在分段點上，按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)時，可能出現(xiàn)不可導(dǎo)的情況。但由于連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)改變?nèi)舾牲c的值并不影響其在一個區(qū)間上的積分值，故由F(x) 求 f(x)

7、時, 就直接按求導(dǎo)公式求導(dǎo), 在分段點處按 f(x) 的連續(xù)性定義, 或一律令 f(x)0.第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f.*已知連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù) F(x) 求 f(x). 如果 F(x) 是分段函數(shù)，在其各個子開區(qū)間中可直接用初等函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo)而得到 f(x)。在分段點上，按導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)時，可能出現(xiàn)不可導(dǎo)的情況。但由于連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)改變?nèi)舾牲c的值并不影響其在一個區(qū)間上的積分值，故由F(x) 求 f(x) 時, 就直接按求導(dǎo)公式求導(dǎo), 在分段點處按 f(x) 的連續(xù)性定義, 或一律令 f(x)0.均勻分布第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f

8、.*分布函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f.*指數(shù)分布正態(tài)分布(或高斯分布)(1)定義(1)定義第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f.*標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第 16 頁：在已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù) f.*(3)重要公式一個量只要它是許多微小的、獨立的隨機因素作用的總和或結(jié)果，而各種因素在正常情況下都不起壓倒一切其他因素的主導(dǎo)作用，一般都認(rèn)為服從正態(tài)分布。第 22 頁：正態(tài)變量的線性不變性*正態(tài)變量的線性不變性定理 設(shè) X N (,

9、 2)，則當(dāng)a 0 時， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2), 則 Y = (X )/ N(0, 1).注: 正態(tài)變量的線性變換仍為正態(tài)變量.第 23 頁：對數(shù)正態(tài)分布*對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布設(shè) X N (, 2)，則 Y = e X 服從設(shè) X N (, 2)，則 Y = e X 服從設(shè) X N (, 2)，則 Y = e X 服從第 24 頁：隨機變量的函數(shù)的分布*隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(

10、1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量的函數(shù)的分布第 25 頁：(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布*(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布第 25 頁：(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布*定理第 27 頁：注 意 點*注 意 點問2.1 引入隨機變量有何意義？隨機變量的引入是概率論發(fā)展走向成熟的一個標(biāo)志，它彌補了隨機試驗下的隨機事件種類繁多，不易一一總結(jié)它們?nèi)≈狄?guī)律的缺陷

11、，因為如果知道隨機變量的分布，隨機試驗下任一隨機事件的概率也隨之可以得到；另則引入隨機變量后，可以使用數(shù)學(xué)中的微積分工具討論隨機變量的分布。第 28 頁：問2.2 隨機變量的分布函數(shù)、分.*問2.2 隨機變量的分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)有何聯(lián)系與區(qū)別？隨機變量的分布函數(shù)刻劃了隨機變量的取值規(guī)律，不管是連續(xù)型還是離散型或既不是連續(xù)型又不是離散型隨機變量都可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律；(1) 而分布律只能描述離散型隨機變量的取值規(guī)律；(2) 密度函數(shù)只能描述連續(xù)型隨機變量的取值規(guī)律。第 29 頁：它們的聯(lián)系: 對離散型隨機變量 X，.*它們的聯(lián)系:對離散型隨機變量 X，當(dāng)知道了 X 的分布律，可通

12、過求概率 P (X x)（x 取任意的值）求得 X 的分布函數(shù) F(x)；反之也一樣。對連續(xù)型隨機變量 X, 當(dāng)知道了 X 的密度函數(shù) f (x)，可通過積分求得分布函數(shù) F(x)；反之，當(dāng)知道了分布函數(shù)F(x)，可通過對 F(x) 求導(dǎo)，即 (對一切的連續(xù)點處)求得密度函數(shù) f (x)。第 30 頁：問2.3 二項分布的背景是什么.*問2.3 二項分布的背景是什么？做 n 次重復(fù)獨立的試驗，在每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p，如果記隨機變量 X 為 n 次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量 X 服從二項分布 B(n,p).在實際生活中有很多問題都可歸結(jié)為二項分布。例有一張試卷印有十道題

13、目，每個題目都為四個選項的選擇題，四個選項中只有一項是正確的。某位學(xué)生在做每道題時都是隨機的選擇，X表示該學(xué)生十道題中答對的題數(shù)，則 X 服從n=10, p=1/4 (每道題答對的概率）的二項分布。該學(xué)生得零分的概率為問2.3 二項分布的背景是什么？做 n 次重復(fù)獨立的試驗，在每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p，如果記隨機變量 X 為 n 次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機變量 X 服從二項分布 B(n,p).在實際生活中有很多問題都可歸結(jié)為二項分布。例有一張試卷印有十道題目，每個題目都為四個選項的選擇題，四個選項中只有一項是正確的。某位學(xué)生在做每道題時都是隨機的選擇，X表示該學(xué)生十道題中答

14、對的題數(shù)，則 X 服從n=10, p=1/4 (每道題答對的概率）的二項分布。該學(xué)生得零分的概率為第 31 頁： *問2.4 離散型分布的最可能值是否唯一 ？問2.4 離散型分布的最可能值是否唯一 ？問2.4 離散型分布的最可能值是否唯一 ？問2.4 離散型分布的最可能值是否唯一 ？若,則稱一般離散型分布的最可能值不唯一，比如：二項分布 B(n,p)中，當(dāng)(n+1)p為非負(fù)整數(shù)時,恰有兩個最可能值 (n+1)p與(n+1)p-1.如二項分布B(8,1/3), 其最可能值為 k=2 或 3.離散型分布的最可能值指的是該隨機變量取值中那些使概率達到最大的值,即對任意一個離散型分布為此分布的最可能值

15、.可以證明，任何離散型分布的最可能值一定存在，而且至少有一個。證明見王梓坤概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用 科學(xué)出版社）第 32 頁： 由分布函數(shù)的定義又知 F(x) 是.*由分布函數(shù)的定義又知 F(x) 是分布函數(shù).與 F(x) 對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列多個值，故 F(x) 不是離散型的分布函數(shù).又由分布函數(shù)的定義又知 F(x) 是分布函數(shù).與 F(x) 對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列多個值，故 F(x) 不是離散型的分布函數(shù).又由分布函數(shù)的定義又知 F(x) 是分布函數(shù).與 F(x) 對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列多個值，故 F(x) 不是離散型的分布函數(shù).又故 F(x) 也不是連續(xù)的分布函

16、數(shù).問2.5 既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)是否存在?設(shè)第 33 頁：問2.6 無記憶性的分布?*問2.6 無記憶性的分布? 對于連續(xù)型分布來說，指數(shù)分布是唯一的具有無記憶性的。（證明可見 復(fù)旦大學(xué)概率論 人們教育出版社 P.125-126）在可靠性問題中，把 X 理解為某元件的壽命，則無記憶性表示某元件的壽命如果已知大于 5 年，則其壽命再延長 7年的概率與年齡無關(guān)。具有無記憶性的離散型分布也是存在且唯一的，那就是幾何分布 對于連續(xù)型分布來說，指數(shù)分布是唯一的具有無記憶性的。（證明可見 復(fù)旦大學(xué)概率論 人們教育出版社 P.125-126）在可靠性問題中，把 X 理解為某元件的壽命，則無記憶性

17、表示某元件的壽命如果已知大于 5 年，則其壽命再延長 7年的概率與年齡無關(guān)。具有無記憶性的離散型分布也是存在且唯一的，那就是幾何分布幾何分布是一種等待分布，例如, 在事件 A 發(fā)生的概率為 p 的貝努里試驗之中，A 首次出現(xiàn)時的等待次數(shù) X 的分布為幾何分布.第 34 頁：問2.7 不幾乎相等的隨機變量是否有相同的分布?*問2.7 不幾乎相等的隨機變量是否有相同的分布?若兩個隨機變量 X, Y 滿足 P(X=Y)=1例如，設(shè) X 與 Y 具有相同的分布例如，設(shè) X 與 Y 具有相同的分布并設(shè) X 與 Y 相互獨立，據(jù)此可算得并設(shè) X 與 Y 相互獨立，據(jù)此可算得從而從而則稱 X 與 Y 幾乎相

18、等。可以證明：幾乎相等的隨機變量具有相同的分布，反之都不成立。所以不幾乎相等的隨機變量可以有相同的分布。, 即X與Y不幾乎相等。第 35 頁：求隨機變量X 其函數(shù)g(X)的概率分布 *求隨機變量X 其函數(shù)g(X)的概率分布給出隨機試驗或條件, 求與其有關(guān)的隨機變量的分布利用分布計算概率或給出某個概率值求與其有關(guān)的未知參數(shù)第 36 頁：例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律*例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律第 36 頁：例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分

19、布律*例2. 1 已知隨機變量 X 的概率分布律第 38 頁：思路 首先根據(jù)概率分布的性.*思路 首先根據(jù)概率分布的性質(zhì)求出常數(shù) a 的值, 然后確定概率分布律的具體形式,最后再計算條件概率. 利用概率分布律的性質(zhì)解解解解解解例2. 2第 39 頁：因此 X 的分布律為*因此 X 的分布律為因此 X 的分布律為從而從而從而從而第 39 頁：因此 X 的分布律為*從而思路 首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù) a, b, 再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.例2. 3第 39 頁：因此 X 的分布律為*例2. 3例2. 3例2. 3例2. 3例2. 3例2. 3例2. 3解解解從而 X 的分布律為從而 X

20、 的分布律為從而 X 的分布律為從而 X 的分布律為從而 X 的分布律為從而 X 的分布律為從而 X 的分布律為從而 X 的分布律為第 39 頁：因此 X 的分布律為*從而 X 的分布律為例2. 4第 39 頁：因此 X 的分布律為*例2. 4第 39 頁：因此 X 的分布律為*例2. 4設(shè)X (2,2), 且 P(2X4)=0.3, 求P(X0).設(shè)X (2,2), 且 P(2X4)=0.3, 求P(X0).設(shè)X 服從參數(shù)為的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X23).第 39 頁：因此 X 的分布律為*設(shè)X 服從參數(shù)為的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X2

21、3).設(shè)X 服從參數(shù)為的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X23).設(shè)X 服從參數(shù)為的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X23).設(shè)X 服從參數(shù)為的泊松分布，P(X=1)= P(X=2), 求P(0X20, b 0, c 0,則不能有結(jié)論 例2. 11 假設(shè)隨機變量 X1 , X2 的分布函數(shù)分別為 F1(x)， F2(x)，密度函數(shù)分別為 f1 (x)，f2 (x). 如果 a 0, b 0, c 0,則不能有結(jié)論(A) a F1(x)+bF2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(B) c F1(x)F2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條

22、件是 c=1.(C) a f1(x)+bf2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(D) c f1(x) f2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 c=1.第 53 頁： 例2. 11 假設(shè)隨機變量 .*(A) a F1(x)+bF2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(B) c F1(x)F2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條件是 c=1.(C) a f1(x)+bf2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(D) c f1(x) f2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 c=1.(A) a F1(x)+bF2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(B) c F1(x)F2(x)為某一隨機變量分布函數(shù)的充要條件是 c=1.(C) a f1(x)+bf2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 a +b=1.(D) c f1(x) f2(x)為某一隨機變量密度函數(shù)的充要條件是 c=1.第