LMS算法波束形成的基礎(chǔ)仿真分析

1、LMS算法應(yīng)用于波束形成的仿真分析1實(shí)驗(yàn)原理LMS最小均方誤差的方法是由最速下降法推導(dǎo)而出。最速下降法需要求出 其梯度的精確值，要求輸入信號(hào)和期望信號(hào)平穩(wěn)，且V = 2R W - 2Rx (Rak=抽 頭輸入向量u(n)與期望響應(yīng)d(n)的互相關(guān)向量；Rxx=抽頭輸入向量u(n)的相關(guān)矩 陣；W=抽頭權(quán)向量)要首先估計(jì)R 和R.，這給具體實(shí)現(xiàn)帶來(lái)很大困難，因此 該算法還不是真正意義的自適應(yīng)濾波算法，但討論最陡下降法是有意義，由最陡 下降法可以很直觀地導(dǎo)出一類(lèi)自適應(yīng)濾波算法-LMS算法。LMS算法的基本思想：調(diào)整濾波器自身參數(shù)，使濾波器能夠自適應(yīng)地跟蹤 這種輸入信號(hào)的變化，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。當(dāng)橫向?yàn)V

2、波器運(yùn)行在實(shí)數(shù)據(jù)的情況下， 該算法大體上可描述為：抽頭權(quán)向量更新值=老的抽頭權(quán)向量值+學(xué)習(xí)速率參數(shù)*抽頭輸入向量*誤差 信號(hào)其中誤差信號(hào)定義為期望向量與抽頭輸入向量所產(chǎn)生的橫向?yàn)V波器的實(shí)際向量 之差設(shè)輸入信號(hào)為u(n),LMS算法理論推導(dǎo)過(guò)程如下： TOC o 1-5 h z 濾波器輸出y(n)為：y(n) = 1 wu(n-k) n = 0,1,2.(1)k = 0由誤差定義得：e(n) = d(n)- y(n)(2)使用最小均方誤差法，得代價(jià)函數(shù)為均方誤差為： HYPERLINK l bookmark8 o Current Document J = Ee2(n)(3)式(3)中/是濾波器的

3、系數(shù)kw (k = 0,1,2,.)的函數(shù)。通過(guò)選擇最優(yōu)的系數(shù)，使J 達(dá)到最小值。定義梯度向量為VJ，(4)(5)V J = J = Ee2(n) = 2 E ) e(n) = -2 Eu (n k )e(n)k = 0,1,2.dwdwdwk kk另外，最陡下降迭代方程為：w(n +1) = w (n)-VJ (n)LMS是直接利用單次采樣數(shù)據(jù)獲得的e2(n)來(lái)代替均方誤差J(n)，從而進(jìn)行梯度 估計(jì)，每次迭代時(shí)計(jì)梯度估計(jì)為：de2(n)3 _ 一一一一J(n) =d2(n) + wt (n)u(n)uT (n)w(n) - 2d(n)uT (n)w(n)3w(n)3w(n)=2u(n)uT

4、 (n)w(n) - 2d(n)u(n)(6)(7)=-2d(n) - ut (n)w(n)u(n) - -2 e(n)u(n)式(6)代入式(5),得到系數(shù)向量自適應(yīng)迭代法:w(n +1) = w (n)- VJ (n)= w (n)+ 2pe (n)u (n )式(7)稱(chēng)最小均方自適應(yīng)算法LMS。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容假定陣元間距為d = X/2的M = 8陣元天線陣，接收信號(hào)到達(dá)角為00 = 30， 干擾信號(hào)的到達(dá)角為0 = 60。利用MATLAB編寫(xiě)LMS程序求解期望的權(quán)值。1假定期望接收的信號(hào)向量為* (k) = as(k)，其中s(k) = cos(2* pi * t(k)/ T)，T = 1

5、ms，t = (1:100)* T /100。假定干擾信號(hào)向量為xk) = ai (k)，其中 i(k) = randn(1,100)。兩個(gè)信號(hào)在時(shí)間間隔t幾乎是正交的。令期望信號(hào)為 d (k) = s(k)。設(shè)初始的天線陣權(quán)值全為零。采用100次迭代。使用MATLAB：令步長(zhǎng) R = 0.02 ；計(jì)算100次迭代的8個(gè)天線陣權(quán)值；畫(huà)出權(quán)值幅度與迭代次數(shù)的關(guān)系；畫(huà)出期望信號(hào)s(k)和天線陣輸出信號(hào)y(k)；畫(huà)出平方誤差|e|2 ；利用計(jì)算出的最終權(quán)值畫(huà)出陣因子方向圖。實(shí)驗(yàn)得出最有天線陣的權(quán)值為：Ihe weights for the K = 8 UUL are:M = L- 0. 27-IM.

6、 0ni|崩=-1. 28+Cl L09i= 0. 03-1. Qiito - l.Cl-O.240iM = 0. 16-hl. 281v7 - -1.09-0. 04611審8 = -CL 2L-O. 979i權(quán)的幅度與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖1所示，可以看出隨著迭代次數(shù)的增加， 權(quán)值的幅度逐漸上升，在迭代次數(shù)60次左右后，權(quán)值的幅度逐漸趨于穩(wěn)定。圖2所示是經(jīng)過(guò)約60次迭代后，天線陣輸出信號(hào)如何獲得并跟蹤期望信號(hào)的，在 迭代過(guò)程中，開(kāi)始天線陣輸出信號(hào)并沒(méi)有跟蹤上期望信號(hào)，隨著迭代次數(shù)的增 加，天線陣輸出信號(hào)逐漸跟蹤上期望信號(hào)，獲得很好的輸出效果。圖3表示，在經(jīng)過(guò)60次迭代之后，均方誤差收斂到接近于

7、零。開(kāi)始的時(shí)候 均方誤差值達(dá)到最大，隨著迭代次數(shù)的增加，均方誤差值逐漸下降。最終在迭 代大概60次后，均方誤差值趨近于0。圖4表明加權(quán)后的天線陣在30的期望 方向上達(dá)到了峰值，在-60的干擾方向上為零值。圖2期望信號(hào)的獲得與跟蹤圖4陣因子方向圖3項(xiàng)目源碼%- Givens -%N = 8; d = .5;thetaS = 30*pi/180; thetal = -60*pi/180;%Desired Signal & Interferer%T = 1E-3; t = (1:100)*T/100; it = 1:100;S = cos(2*pi*t/T);I = randn(1,100);%Cr

8、eate Array Factors fOr each users signal fOr linear array%vS = ; vI =;i = 1:N;vS = exp(1j*(i-1)*2*pi*d*sin(thetaS).;vI = exp(1j*(i-1)*2*pi*d*sin(thetaI).;%Solve fOr Weights using LMS%w = zeros(N,1);X = vS + vI;Rxx = X*X;mu = 1/(4*abs(trace(Rxx);wi = zeros(N,max(it);for n = 1:length(S)x = S(n)*vS + I

9、(n)*vI;y(n) = w*x;e = conj(S(n) - y(n);esave(n) = abs(e)人2;w = w + mu*conj(e)*x;wi(:,n) = w;endw = w/w(1);% normalize results to first weight%Display Weights%disp( )disp(%)disp( )disp( The weights for the N = ,num2str(N), ULA are:)disp( )for m = 1:length(w)disp( w,num2str(m), = ,num2str(w(m),3)enddi

10、sp( )%- Plot Results -% 1.) Plot Weights vs. Iteration No.wi = wi.;figure(1), plot(it,abs(wi(:,1),kx,it,abs(wi(:,2).,ko,it,abs(wi(:,3),ks,it,abs(wi(:,4),k+,.it,abs(wi(:,5),kd,markersize,2)xlabel(迭代次數(shù)),ylabel(| 權(quán)值 |)% 2.) Plot Signal acquisition and trackingfigure(2)plot(it,S,k,it,real(y),k-)xlabel(迭代次數(shù)),ylabel(信號(hào))legend(期望信號(hào)，陣列輸出)% 3.) Plot MSEfigure(3), plot(it,esave,k)xlabel(迭代次數(shù)),ylabel(|e|A2)% 4.) Plot Array Factortheta = -pi/2:.01:pi/2;AF = 0;for i = 1:NAF = AF + w(i) .*exp(j*(i-1)*2