lr第六章方差分析

1、第六章方差分析概述一、方差分析（analysis of variance，簡(jiǎn)寫為 ANOVA）.由來：.用途:（1）比較一個(gè)因素（factor）的兩個(gè)或多個(gè)水平（levels）的效應(yīng)（effect） ； （2）比較兩個(gè)或多個(gè)因素 以及它們之間的交互作用（3）回歸方程線性假設(shè)檢驗(yàn)3.應(yīng)用條件：（1）各個(gè)樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本（2） 各樣本來自正總體（3）各總體方差相等，即方差齊。第一節(jié)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析一、全隨機(jī)設(shè)計(jì)（completely random design）的定義：見p 6二、全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)的目的：是通過兩個(gè)或多個(gè)樣本來推斷 相應(yīng)的總體均數(shù)是否相等。三、全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的基本原

2、理：變異原因變異表現(xiàn)TR處理因素一組間變異（可以從各組均數(shù)間的差異看出來） E隨機(jī)因素一組內(nèi)變異（即各組組內(nèi)數(shù)據(jù)之間的差異）備注：隨機(jī)因素包括個(gè)體差異，測(cè)量及化驗(yàn)誤差等。方差分析原理的直觀理解：f = TREE若F=1或F21時(shí)，各種處理方案間的差別可能無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。若F值明顯大于1時(shí)，各種處理方案間的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義四、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的基本步驟和方法建立假設(shè)：H0： = = 二H1： R. (i=1,，c)不全相等確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)a和對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)Fa計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F用統(tǒng)計(jì)量F和Fa作比較，以作出統(tǒng)計(jì)推斷，判斷規(guī) 則如下：(1)若FVFa，根據(jù)a水準(zhǔn)判斷總體均數(shù)間 的差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，記為Pa。

3、(2)若FNFa， 根據(jù)a水準(zhǔn)判斷總體均數(shù)間的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，記為 PWa。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(見P46表6-1)水平：在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中常把因素的不同狀態(tài)稱為水平用i (i=1，2，c)表示c個(gè)不同的處理(treatment)分組（即水平）；第i組的樣本容量為牛 （各可以不相等）, 總樣本容量為N = n1 + n2 + . + n ；用X,.表示第i組的第j個(gè)觀 察值（j=1,2,*）。七是第i組的均值；x是總均值。表6-1完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)處理分組觀察值組均值樣本容量1XX12,X inx1n12X疽 X22，X2，2x2n2cX1 X 2- Xcncxcnc列表計(jì)算：（1）表計(jì)算各

4、組的Z x，Z x 2及總的 x和 x 2 /、2一 一（2）算校正數(shù)C = ZZ X /N 簡(jiǎn)記為C = （SX） 2/NJ（3）計(jì)算SSt （總的離均差平方和）SST= Z 勺（X” - x）2 =z x 2 -（Z x ）2. N =（N D S總2（6-1），=1 j=1自由度V T=N -1（4）計(jì)算SS（組內(nèi)離均差平方和）:eSS =赧勺（X -X ）2 =z S 2（n 1）（6-2）eij illi=1 j=1自由度 v = N - c由于sse的大小與自由度有關(guān)，能夠客觀反映組內(nèi)變異的 是組內(nèi)均方ms = ss /v（6-3）計(jì)算ss tr （組間離均差平方和）ss =Y n

5、 （x, - x）2，（6-4）i=1自由度 V TR = c - 1 o顯然，組間離均差平方和的大小與自由度有關(guān)。能夠客觀 反映組間變異的是組間均方 TOC o 1-5 h z msr = ssR /v tr ,（6-5）（在數(shù)學(xué)上可以證明ss廣ssR + sse（6-6）v =v +v（6-7）（6） f = 土（6-8）mse完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料方差分析的計(jì)算表6-2 （見P 47）表6-2完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析表變異來源平方和自由度 均方 F總變異 Z X 2 C組間一 Cni=1iSS /VTR TRMStr / MSSS /Ve e組內(nèi)SST-SSTR方差分析的F檢驗(yàn)拒絕檢驗(yàn)假設(shè)H

6、0時(shí)，只能認(rèn)為被推斷的各個(gè) 總體均數(shù)不全相等。差異究竟出現(xiàn)在哪兩個(gè)總體之間并不清 楚。如果需要進(jìn)一步明確哪兩個(gè)總體均數(shù)之間存在差異，還需 要作均數(shù)間的兩兩比較（將在本章第三節(jié)介紹）。第二節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析一、機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)（randomized block design ）的定義：二、機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)用途：考察兩個(gè)因素（處理因素A和區(qū)組因 素B）的作用三、機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的總平方和可以分解為三項(xiàng)：(6-10)SST =氣 + SSB + SS隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析的計(jì)算見表6-7（P51）表6-7隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析表變異來源平方和自由度均方F總變異 X 2 - CN-1 或 cr-1因素A (

7、X,)以 r-Cc-1SS/(c-1)AMS/MSeA因素B (X c - Cr-1SS/(r-1)BMS/MSeB誤差j 1SSY - SSA-SSB(c-1)(r-1)SSe/ve其中校正項(xiàng)C共X如n。c為因素A的水平數(shù)，r為因素B 的水平數(shù)。在隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)中因素A每個(gè)水平觀察的例數(shù)恰好 等于因素B的水平數(shù)r；而因素B每個(gè)水平觀察的例數(shù)恰好為 因素A的水平數(shù)c。例6.3備注：有學(xué)者建議，當(dāng)區(qū)組因素沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，把區(qū)組的 變異平方和并入誤差平方和（自由度同時(shí)作相應(yīng)的合并），重 新計(jì)算誤差均方及F統(tǒng)計(jì)量，以期提高檢驗(yàn)的精度。表6-12下方列出了合并誤差平方和之后的檢驗(yàn)結(jié)果。（見p56）第三

8、節(jié)多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩（多重）比較均數(shù)間多重比較（multiple comparison ）的目的：是推 斷差別究竟存在于哪些總體均數(shù)之間。一、q-檢驗(yàn)法（Newman-Keuls test，NK）用于對(duì)多個(gè)樣本均 數(shù)每?jī)蓚€(gè)作比較，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:（6-11）q =（族）/f 與（土 +） a b 2 n nv = ve式中n, n為兩個(gè)對(duì)比組的樣本均數(shù)，MS。是方差分析中的誤差 均方（或組內(nèi)均方），nA,nB相應(yīng)為兩對(duì)比組的樣本例數(shù)。V e 為方差分析中誤差均方的自由度。例6.5對(duì)例6.4中三組PAM存活率均值作兩兩比較。（1）將三組樣本均數(shù)從大到小排列，并編組次：（2）建立檢驗(yàn)假設(shè)，H0：七=

9、% （兩對(duì)比組PAM總體存活率相同）H1：七七（兩對(duì)比組PAM總體存活率不同）a = 0.05應(yīng)用q-檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)過程歸納為表6-13（見P57）。a是排序后兩對(duì)比組間（含兩對(duì)比組）包含的組數(shù)。二、新復(fù)極差法（Duncans new multiple range method,Duncan 新法） 新復(fù)極差法可用于對(duì)照組與各處理組比較。（6-12）v = ve式中,可為兩個(gè)對(duì)比組的樣本均數(shù)，MS。是方差分析中的誤差 均方（或組內(nèi)均方），nA,nB相應(yīng)為兩對(duì)比組的樣本例數(shù)。V e 為方差分析中誤差均方的自由度。例6.6用新復(fù)極差法將例6.2中兩組腎缺血?jiǎng)游锏腘O均值與 對(duì)照組分別作比較。（1）樣

10、本均數(shù)從大到小排列并標(biāo)識(shí)組別 （2）建立假設(shè)檢驗(yàn)H0：旦.=四B （正常對(duì)照組與腎缺血60分鐘組的NO總體均值相 同）H1：旦.七（正常對(duì)照組與腎缺血60分鐘組的NO總體均值不 同）a = 0.05計(jì)算統(tǒng)計(jì)量q，查p值并統(tǒng)計(jì)推斷(二)腎缺血60分鐘再灌流組的NO均值與正常對(duì)照組比較(計(jì) 算方法如上所述)第四節(jié)析因設(shè)計(jì)的方差分析一、析因設(shè)計(jì)(factorial design )如果把不同因素間的每 一種因素水平組合分別看作是一種處理，應(yīng)用前述的完 全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析方法只能對(duì)各種組合的總體均數(shù) 作比較。二、析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析用途：不僅可以分析每個(gè)因素的 單獨(dú)效應(yīng)、主效應(yīng)，還可以考察實(shí)驗(yàn)因素

11、之間交互作用的效應(yīng)。通過析因設(shè)計(jì)可以篩選最佳治療方案、最佳藥物配方以及最佳 試驗(yàn)條件等等最簡(jiǎn)單的析因設(shè)計(jì)方案可以考察兩個(gè)因素(分別記為A與B),每個(gè)因素考察兩個(gè)水平，共有2X2=4種不同的因素水平組合。單獨(dú)效應(yīng)(simple effect) 是指其他因素固定在一 個(gè)水平時(shí)，余下的一個(gè)因素不同水平之間均數(shù)的差別。 主效應(yīng)(main effect)是指某一因素各水平間的平均差別。它與單獨(dú)效應(yīng)的區(qū)別是，主效應(yīng)所指的某因素各水平 間的平均差別是綜合了其他因素各水平與該因素每一水平所 有組合的情況。交互效應(yīng)（interaction）如果一個(gè)處理因素各單獨(dú)效 應(yīng)隨另一因素水平變化而變化，而且變化的幅度超出

12、隨機(jī)波動(dòng) 的程度，則稱兩個(gè)因素間存在交互效應(yīng)或交互作用。在臨床實(shí) 踐中，不同藥物間的協(xié)同作用或拮抗作用都可以看成是交互作 用的實(shí)例為了分析交互效應(yīng)，兩因素析因設(shè)計(jì)的方差分析要求因素 間各水平的每種組合觀察的例數(shù)一定要相等三、析因設(shè)計(jì)中的因素分類：（1）隨機(jī)效應(yīng)兩種類型：如果某 一試驗(yàn)因素的水平很多，析因設(shè)計(jì)采用的是從該因素所有可能 的水平中隨機(jī)抽取的若干個(gè)水平（即所有水平的一個(gè)隨機(jī)樣 本），試驗(yàn)的目的是通過設(shè)計(jì)方案中出現(xiàn)的水平（即樣本）去 推斷該因素所有水平（即全局）的狀況，這樣的因素屬于隨機(jī) 效應(yīng)型。（2）固定效應(yīng)：如果一個(gè)因素的每個(gè)水平的總體均數(shù) M】，M 2,，M c是固定的數(shù)值（雖然未

13、知），則該因素屬于 固定效應(yīng)型。例如，血型作為一個(gè)因素時(shí)，血型的四個(gè)水平（A、B、AB、O）的效應(yīng)總體均數(shù)是固定的。所以它屬于固定效應(yīng)型。 例如，為了推斷某大學(xué)30余所學(xué)院之間學(xué)生的英語等級(jí)考試 成績(jī)是否平衡，把學(xué)院作為因素，從30余所學(xué)院中隨機(jī)抽取 5所作為學(xué)院的樣本。從而設(shè)計(jì)方案中學(xué)院因素具有5個(gè)水平 （因?yàn)檫M(jìn)入設(shè)計(jì)方案的5所學(xué)院需要通過抽樣來確定，這5個(gè) 水平的效應(yīng)的總體均數(shù)是隨機(jī)變量。這與固定效應(yīng)型因素不 同）。同時(shí)把性別作為具有兩個(gè)水平的另一個(gè)因素。在這項(xiàng)設(shè) 計(jì)中，學(xué)院就是隨機(jī)效應(yīng)型因素，性別是固定效應(yīng)型因素四、析因設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)模型分類：（1）隨機(jī)效應(yīng)型 （random-effect

14、model）（因素A、B均為隨機(jī)效應(yīng)型）、（2） 固定效應(yīng)型（fixed-effectmodel）（因素A、B均為固定效應(yīng) 型）（3）混合型（mixed model）（因素A為固定效應(yīng)型，B為 隨機(jī)效應(yīng)型）。備注（1）在不同類型的模型之間，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量f的構(gòu)造是有區(qū)別的。（2）不論哪一種效應(yīng)模型，方差分析 中變異的計(jì)算都是相同的。用sst表示總離均差平方和，sstr為處理因素離均差平 方和（反映的是因素水平的所有組合之間的變異），SSA與SSB 分別為因素A與B的離均差平方和，SS為交互效應(yīng)的離均差 AB平方和。兩因素析因設(shè)計(jì)資料的總離均差離均差平方和SST可 分解為四項(xiàng)：sst = ssa

15、+ ssb + ssab + ss （6-13）其中SS. + SSB + ssLtr。如果因素A具有c個(gè)水平，因素B 具有r個(gè)水平，每個(gè)因素水平組合有n例觀察值，兩因素析因設(shè)計(jì)中各變異的計(jì)算方法如表6-14，其中校正數(shù) C = （SX）2 /N。表6-14兩因素析因設(shè)計(jì)方差分析變異的計(jì)算變異來源平方和（SS）自由度（V） 均方盛）處理因素A因素B(S Xk )2k2一nXk)2Cnrnc-Cj因素 Ax因素 B SSR - SS - SSB誤差SS = sst - SSr總變異 Z X 2 - Ccr - 1c - 1r (c-1) (r-1)cr(n-1)crn - 1 或 N-1SSJ*

16、 A ASSMSS ab/VabSS /ve e作析因方差分析時(shí)應(yīng)首先檢驗(yàn)交互作用。各種模型所用的統(tǒng)計(jì)量均是：%瑚S/葉（SSJ%）/ （ SS）， （6-14）分子與分母的自由度分別為（c-1）（r-1）和cr（n-1）。一、隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析隨機(jī)效應(yīng)型析因設(shè)計(jì)：（1）如果對(duì)交互作用的檢驗(yàn)結(jié)論為 有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對(duì)因素A和B適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為FA=MSA/MSAB，A，V2=VAB（ 6-15）和FB=MSB/MSAB，V1=VB，V2=VAB（ 6-16）（2）如果對(duì)交互作用的檢驗(yàn)結(jié)論為沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對(duì)因素A和B適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為FA=MSA/MSW，V1=VA，V2=VW（6

17、-17）和FB=MSb/MSw，Vi=Vb，w（6-18）其中MS = （SS +SS&R） / 3 +*r）, vw=v +v .（6-19）W e AB e AB We AB 方差分析見表6-16（七）二、固定效應(yīng)模型的方差分析對(duì)于固定效應(yīng)型析因設(shè)計(jì)：（1）如果對(duì)交互作用的檢驗(yàn)結(jié) 論為有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對(duì)因素A和B適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為FA=MSA/MSe, v1=Vk v2=ve（ 6-20）和FB=MSB/MSe，官B，V2=Ve（6-21）（2）如果對(duì)交互作用的檢驗(yàn)結(jié)論為沒有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對(duì)因素 A和B適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為FA=MSA/MSwV1=A，V2=Ve（6-22）和 FB=MS

18、B/MSw，V1=VB，V2=VW（ 6-23）其中MSW及其自由度仍按（6-19）式計(jì)算。方差分析見表6-18（七）三、混合模型的方差分析對(duì)于混合模型，不論交互作用是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，對(duì)固定效應(yīng)型因素適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均為F = % , v =v a，v =v ab.(6-24)B對(duì)隨機(jī)效應(yīng)因素適用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F =郵 ,v =v , v =v .(6-25)b MS 1 B 2 e e將隨機(jī)效應(yīng)型、固定效應(yīng)型和混合型析因設(shè)計(jì)方差分析的檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量歸納成表6-21(見P67)。注意，在所有三種模型中檢驗(yàn) 交互作用的統(tǒng)計(jì)量均為F=MS急MSe。表6-21二因素析因設(shè)計(jì)不同模型的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵蛩亟换?因素A 隨機(jī)型 固定型 固定型作用 因素B 隨機(jī)型 固定型 隨機(jī)型因素A有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義因素B有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義F =竺MSMS F =AMSMSF = -MSMSMSMSF a-F a-F = 4MSMSMSWWAB廣 MSMSMSF B-F BF BMSMSMSABeeMSMSMSF BF BF BMSMSMSWWeABABe第五節(jié)多個(gè)方差齊性檢驗(yàn)建立假設(shè)檢驗(yàn)H0： Q2