2022年習題常數(shù)項級數(shù)收斂性的判定

1、習題 9-2 1. 判斷下列級數(shù)的斂散性 . 1）； 2）； 3）；）4）； 5）； 6 ）解： 1）；方法一： 利用正項級數(shù)的比較判別法）因為，而調和級數(shù) 發(fā)散，從而也發(fā)散；由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 發(fā)散。方法二： 利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）因為，而調和級數(shù)發(fā)散，發(fā)散。則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)2）；方法一： 利用正項級數(shù)的比較判別法）因為，而級數(shù) 收斂 級數(shù)的結論）；由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 收斂。方法二： 利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）因為，而級數(shù)收斂 級數(shù)的結論），1 / 14 則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。3）；方法一：

2、 利用正項級數(shù)的比較判別法）因為 ），且調和級數(shù) 發(fā)散；則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 發(fā)散。方法二： 利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）因為，而，所以，即，又調和級數(shù)發(fā)散，則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 發(fā)散。4）；方法一： 利用正項級數(shù)的比較判別法）因為，而級數(shù) 收斂 級數(shù)的結論），由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 收斂。方法二： 利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）2 / 14 因為，而級數(shù)收斂 級數(shù)的結論），則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。5）；因為，而調和級數(shù)發(fā)散，則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 發(fā)散。注：本題中，級數(shù)的一般項要進行適當?shù)目s

3、小不易，所以采用正項級數(shù)的比較判別法做起來相對比較困難一些，而采用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式相對容易一些。6），則由級數(shù)收斂的必要條件，得級數(shù)當時，）發(fā)散；當時，則由級數(shù)收斂的必要條件，得級數(shù)）發(fā)散；當時，且級數(shù)是公比為）的等比級數(shù)，是收斂的，則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。3 / 14 綜上，當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)收斂。2. 判斷下列級數(shù)的斂散性 . 1）；2）；3）；4）； 5）； 6）；7）； 8 ）； 9），；10）； 11 ）其中均為正數(shù)） . 解： 1）；方法一： 利用正項級數(shù)的比較判別法）因為，且收斂，收斂。由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù)方法二： 利用正

4、項級數(shù)的比較判別法的極限形式）因為，且級數(shù)收斂，由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。2）；方法一： 利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）4 / 14 因為，且等比級數(shù) 收斂，由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。方法二： 利用正項級數(shù)的比值判別法）因為，收斂。由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)3）；因 為），而，利用級數(shù)收斂性的結論，得當即時 級 數(shù)是 發(fā) 散 的 ； 當即時 級 數(shù)是收斂的；由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得當時級數(shù)發(fā)散；當時級數(shù)收斂。5 / 14 4）；，且級數(shù)收斂，因為由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂。注：本題不能用正項級數(shù)的比值判別法。

5、5）；，因為則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 發(fā)散。6）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。7）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。6 / 14 8）；，因為則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。9）；，因為則由正項級數(shù)的根值判別法，得級數(shù) 收斂。10）；因為，則由正項級數(shù)的根值判別法，得級數(shù) 收斂。11）；因為，由正項級數(shù)的根值判別法，當即時級數(shù)收斂；當即時級數(shù)發(fā)散；當即時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。3. 判斷下列級數(shù)的斂散性 . 7 / 14 1 ）；2 ）；3 ）；4 ）；5 ）；6 ）；7）；8）；9）解： 1）；，因為則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。(

6、2 ）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。3）；因為，8 / 14 則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。4）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。5）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。6）；因為，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 收斂。7）；因為，而調和級數(shù)發(fā)散，9 / 14 則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 發(fā)散。8）；因為，所以，而調和級數(shù)發(fā)散，則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 發(fā)散。9）；因為，此時由正項級數(shù)的比值判別法不能得到級數(shù) 的斂散性。但 是 由 于 數(shù) 列是 單 調 遞 增 的 ， 且， 所 以，從而，即，從而，此時，

7、利用收斂級數(shù)的必要條件，可知級數(shù) 是發(fā)散的。4. 判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？10 / 14 1 ）； 2 ）； 3 ）；4 ）；5）； 6 ）； 7 ）. 解： 1）；發(fā)散 級數(shù)的結論），所以級數(shù)不絕因為對收斂；對交錯級數(shù)，由于，且，則由萊布尼茲定理，得交錯級數(shù)收斂；從而級數(shù)條件收斂。2）；因為，而，且 調和級數(shù)發(fā)散，則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 發(fā)散，即級數(shù)不絕對收斂；對交錯級數(shù)，由于收斂；從而級數(shù)，且， 則由萊布尼茲定理，得交錯級數(shù)條件收斂。3）；對 級 數(shù)， 因 為， 且 級 數(shù)收 斂 級 數(shù) 的 結11 / 14 論 ） ， 則 由 正 項 級 數(shù) 的 比 較 判 別 法 ， 得 級 數(shù) 收 斂 ， 即 級 數(shù)絕對收斂。4）；因為，而，則由正項級數(shù)的根值判別法，得級數(shù) 收斂，即級數(shù)；絕對收斂。，且發(fā)散 5），而因為級數(shù)的結論），則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 發(fā)散，所以級數(shù) 不絕對收斂；對交錯級數(shù)，令，則， 從 而 當時， 即 當時單調遞減；故，又因為12 / 14 則由萊布尼茲定理，得交錯級數(shù)，所以），條件收斂。收斂，從而也收斂。故級數(shù)6）；因為，而，則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)收斂，即級數(shù)絕對收斂。7）