數(shù)學(xué)二次函數(shù)與三角形綜合題型

1、6/622如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)20如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNy軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是

2、否存在點(diǎn)P，使PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由23已知拋物線C1的頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)（0，）將拋物線C1向下平移h個(gè)單位（h0）得到拋物線C2一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線AB與x軸的距離是m2（m0）（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；（2）當(dāng)m=2時(shí)，求h的值；（3）若拋物線C1的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，與拋物線C2交于點(diǎn)F求證：tanEDFtanECP=22解：（1）B（4，m）在直線y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx

3、+6上，解得，拋物線的解析式為y=2x28x+6（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，當(dāng)n=時(shí)，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則APC=90由題意易知，PCy軸，APC=45，因此這種情形不存在；ii）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則PAC=90如答圖31，過點(diǎn)A（，）作ANx軸于點(diǎn)N，則ON=，AN=過點(diǎn)A作AM直線AB，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+

4、b，則：，解得，直線AM的解析式為：y=x+3 又拋物線的解析式為：y=2x28x+6 聯(lián)立式，解得：x=3或x=（與點(diǎn)A重合，舍去）C（3，0），即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合當(dāng)x=3時(shí)，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2如答圖32，作點(diǎn)A（，）關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)C，則點(diǎn)C在拋物線上，且C（，）當(dāng)x=時(shí)，y=x+2=P2（，）點(diǎn)P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，綜上所述，PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）23已知拋物線C1的頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)（0，）將拋物線C1向下平

5、移h個(gè)單位（h0）得到拋物線C2一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線AB與x軸的距離是m2（m0）（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；（2）當(dāng)m=2時(shí)，求h的值；（3）若拋物線C1的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，與拋物線C2交于點(diǎn)F求證：tanEDFtanECP=考點(diǎn)二次函數(shù)綜合題專題代數(shù)幾何綜合題；壓軸題分析（1）設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x1）2，（a0），然后把點(diǎn)（0，）代入求出a的值，再化為一般形式即可；（2）先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)

6、稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)一樣求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C2的解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可；（3）先把直線AB與x軸的距離是m2代入拋物線C1的解析式求出C的坐標(biāo)，從而求出CE，再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性表示出ED，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C2的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式整理即可得證解答（1）解：設(shè)拋物線C1的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x1）2，（a0），拋物線過點(diǎn)（0，），a（01）2=，解得a=，拋物線C1的解析式為y=（x1）2，一般形式為y=x2x+；（2）解：當(dāng)m=2時(shí)，m2=4，

7、BCx軸，點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4，（x1）2=4，解得x1=5，x2=3，點(diǎn)B（3，4），C（5，4），點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，4），設(shè)拋物線C2的解析式為y=（x1）2h，則（51）2h=4，解得h=5；（3）證明：直線AB與x軸的距離是m2，點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m2，（x1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=12m，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，m2），又拋物線C1的對(duì)稱軸為直線x=1，CE=1+2m1=2m，點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12m，m2），AE=ED=1（12m）=2+2m，設(shè)拋物線C2的解析式為y=（x1）2h，則（12m1）2h=m2，解得h=2m+1，EF=h+m2=m2+2m+1，tanEDFtanECP=，tanEDFt