數(shù)學物理方法課件：14 保角變換法

1、第十四章 保角變換法14.1 保角變換的基本性質(zhì)14.2 某些常用的保角變換 （重點）- 復函數(shù)變換的幾何解釋 線性變換、冪函數(shù)變換和根式變換、指數(shù)變換和對數(shù)變換、反演變換、分式線性變換、儒可夫斯基變換、施瓦茲-克里斯多菲變換。- 解析函數(shù)變換的保角特性 難點在于：沒有一個統(tǒng)一公式、需按例分別討論處理。- 解析函數(shù)變換的保拉特性 1- 若將點 f = + i 描繪在另一復平面上，則從視覺上來看有- 考慮一由復變函數(shù) f(z) 定義的變換：14.1 保角變換的基本性質(zhì)此變換將復平面上的點 z = x + iy 變換到另一點 f = + i。xyz平面f平面一、復函數(shù)變換的幾何解釋2 當點z在z平

2、面上延一閉合路徑變化時，點 f 在 f 平面上的變 化軌跡將也構成一閉合路徑。(假定 f 無支點）也即復變函數(shù) f(z) 將 z 平面上的閉曲線 l 變換為 f 平面上的閉曲線 。xyz平面f平面這就引入了兩個問題？3問題1：z 平面上由閉曲線 l 所包圍的區(qū)域 B 變換為 f 平面上的什么？xyz平面B問題2：當點 z 在閉曲線 l 上逆時針運動時，點 f 在閉曲線 上的運動方向如何？xyz平面這兩個問題的答案取決于 f(z)在區(qū)域 B上的性質(zhì)。4內(nèi)域B 變?yōu)閮?nèi)域，點運動方向相同。xyz平面Bf平面當 f(z) 在 B 內(nèi)解析時：內(nèi)域B 變?yōu)橥庥?，點運動方向相反。xyz平面Bf平面當 f(z

3、) 在 B 內(nèi)含一個孤立單極點時：5二、解析函數(shù)變換的保角特性以上的幾何學討論是針對一般的復變函數(shù)而進行的，當所選取的復變函數(shù)為解析函數(shù)時，可以證明此時的變換具有保角特性，也即在z平面上兩個線段的夾角經(jīng)變換后，在f平面上保持不變。xyz平面f平面f(z) 在z點解析，則6保角性的證明：xyz平面f平面解析故導數(shù)存在且與方向無關7三、解析函數(shù)變換的保拉特性由解析函數(shù)給出的復變換除了保角以外，還具備另一極重要的性質(zhì)：在z平面上的拉普拉斯方程經(jīng)變換到f平面后，其拉普拉斯方程的形式保持不變。 - 保拉特性解析函數(shù)變換的保拉特性，為我們提供了一種求解復雜邊界條件下二維拉普拉斯方程的有效途徑，在電磁學、流

4、體力學、以及微波工程等方向上發(fā)揮著不可替代的作用！8保拉性的證明：從可得出利用偏微分法則對 進行變量代換后有故可將,視為x,y的函數(shù)f(z) 解析（CR 條件）9再根據(jù)因此得出同理拉普拉斯方程形式不變 - 保拉特性所以10注意：解析變換 f(z) 保角保拉特性不適用于 f(z)的零點。- 在保角性的證明時用到了：當f(z)=0時，上式失效。應改為- 在保拉性的證明時用到了：當f(z)=0時，不能由上式推出11四、運用解析變換保拉特性解題時的要點能夠求解的問題一般只限于2維，且待求的物理量必須滿足拉普拉斯方程。靜電學問題流體力學問題u : 靜電勢u : 速度勢待求解的問題一般具備以下表述形式：

5、給定一區(qū)域B，在B內(nèi)待求物理量u滿足拉氏方程，并且 在B的邊界線l上，u的值已知，試求在B上u的解。困難：由于B的形狀較為復雜，故待求物理量u的解較難求出。Bl12考慮一由解析函數(shù)f(z)定義的變換，此變換將曲線l變 換到曲線，并將區(qū)域B變換到區(qū)域：Bl由于解析變換的保拉性，在區(qū)域上，物理量仍滿拉 氏方程。若變換選擇合適， 可被變?yōu)橐灰?guī)則曲線， 則在區(qū)域 上物理量的值可立即求出。z平面f平面5. 做自變量代換 (x,y), (x,y) 后則知原問題的解。1314.2 某些常用的保角變換本節(jié)利用解析函數(shù)的保拉性，對一些二維靜電學與流體力學的問題進行求解。難度在于，對不同的問題需提出不同的變換，并

6、不存在一個似留數(shù)定理一樣的萬能公式。一、線性變換a, b為復常數(shù)從可看出變換由兩部分組成14由于第一步和第二步均為線性，在變換后區(qū)域的形狀保持不變。故單獨使用線性變換意義為零，一般均和其他變換聯(lián)合使用。第一步：這就意味著延實軸平移 ,延需軸平移第二步：這就意味著延半徑拉伸 ，延徑角轉(zhuǎn)動15二、冪函數(shù)和根式變換n 1變換不保角是由于 在原點處為零。利用極坐標 ，可得逆變換為根式函數(shù)：也即這里重要的是第二條，它說明變換后輻角變?yōu)樵瓉淼膎倍。z平面f平面16可利用經(jīng)冪函數(shù)變換后，輻角變?yōu)閚倍這一特性解題。例1. 一個甚大導體，挖去一個二面角，角的大小為60度。將導體充電到電勢V0，求二面角內(nèi)電場的電

7、勢分布。甚大導體解：問題簡化為二維，并可略去邊緣效應。若將左圖中的輻角放大到三倍，則60度劈形變成180度直線，問題便簡單了許多。因此考慮17在f平面中, 由于保拉性(原點除外), 電勢依然滿足拉氏方程結合簡化的邊界條件后可得：f代回z平面后有:18例2. 研究平底水槽中水的流動，槽底有一豎立薄片阻擋。在流體力學中，流體的流速V可表達為一標量函數(shù)U的梯度而速度勢則滿足拉氏方程問題的難點在于底部的障礙薄片，由于速度勢滿足拉氏方程，可考慮利用解析變換的方法來消除這一障礙。為此需要分三步進行操作。解：1912320為此需求出 與 x, y 之間的關系。由于在f平面上無任何障礙，流體速度向右且處處均勻

8、, 此平面上的速度勢為容易驗證：延 方向。下面求在z 平面上原問題的解。并將 f = + i，z = x + iy 代入上式左邊與右邊，再取實部后得到 從出發(fā)21代入速度勢的解，得到注意當 x2, y2 遠遠大于 h2 時，有故從而看出C的意義為遠離障礙處流體的速度。22三、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)變換逆變換為指數(shù)函數(shù)：由于可見因而指數(shù)變換將z平面上平行于虛軸的直線，變?yōu)閒平面上以原點為圓心的圓。 反之對數(shù)變換將f平面上以原點為圓心的圓，變?yōu)閦平面上平行于虛軸的直線。 zf注意變換的周期性：圓中正向轉(zhuǎn)一圈相當于延線向上爬一格。 23例3. 兩個同軸圓柱構成電容器，內(nèi)外圓柱的半徑分別為R1和 R2求單位長度上的電容