數(shù)學(xué)物理方法課件：數(shù)理方法在量子物理中的應(yīng)用

1、數(shù)理方法在量子物理中的應(yīng)用求解無(wú)限深勢(shì)阱-復(fù)變函數(shù)求解諧振子問(wèn)題 -Hermitian厄密多項(xiàng)式求解氫原子的問(wèn)題-球諧函數(shù)求解無(wú)限深勢(shì)阱-復(fù)變函數(shù)一維無(wú)限深勢(shì)阱的勢(shì)能函數(shù)是： |x|a; |x|a .U(x)=在勢(shì)阱外，必有： |x|a0+這是一個(gè)比0,a無(wú)限深勢(shì)阱更一般化的問(wèn)題在勢(shì)阱內(nèi)，滿(mǎn)足方程(Schrodinger) 顯然E必須0，所以記那么方程變成： 它的一般解是： 這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)問(wèn)題這三段的解必須在 x=a 處銜接起來(lái)。在勢(shì)能有無(wú)限大跳躍的地方，銜接條件只有 本身的連續(xù)性。所以現(xiàn)在因而，有兩種情形的解： 所以，（1） (2) 所以，二者合起來(lái)可寫(xiě)為：波函數(shù)的歸一化是：所以，（與n無(wú)

2、關(guān)）最后，波函數(shù)是： 眾所周知，當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)的平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)，勢(shì)場(chǎng)V(x) 總可作泰勒展開(kāi)并只取到最低階不為零的項(xiàng)。設(shè)平衡位置x0=0，并選取能量尺度的原點(diǎn)使V（0）=0，則 這里，含V (0) 的一次項(xiàng)由于平衡位置V (0)=0而消失， 求解諧振子問(wèn)題-Hermitian厄密多項(xiàng)式也由于是穩(wěn)定振動(dòng)而有V (0)0。除非振動(dòng)的幅度較大，否則不必考慮展開(kāi)式中非簡(jiǎn)諧的高階項(xiàng)。這類(lèi)問(wèn)題的物理例子比如，原子核內(nèi)核子（質(zhì)子或中子）的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、原子和分子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、固體晶格上原子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、甚至一個(gè)多自由度系統(tǒng)在其平衡態(tài)附近的小漲落小振動(dòng)，在通過(guò)引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)后也可以化為一系列退耦的一維振子之和，即

3、可近似為線性諧振動(dòng)的迭加。一. 方程的化簡(jiǎn) 線性諧振子的勢(shì)能函數(shù)是： 其中是諧振子的固有圓頻率。所以薛定諤方程是： 在方程中做如下的無(wú)量綱化變換： 則方程變成： 當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋何覀儼l(fā)現(xiàn)它有近似解： 但是 應(yīng)該舍去。所以再進(jìn)行變換： 可得關(guān)于H()的如下方程：二. Hermitian厄密多項(xiàng)式 可以用級(jí)數(shù)法求解H()的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H()是“真”無(wú)窮級(jí)數(shù)，那么在x的時(shí)候H()就 e ,仍然使()發(fā)散。能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級(jí)數(shù)“中止” 或“退化”為多項(xiàng)式，而這就要求只能取一些特殊的值。 設(shè)要求H()是的n次多項(xiàng)式，那么就必須讓 =2n+1 n=0,1,2,3 這樣，我們首先得到了能量本征值：現(xiàn)在H()的方程成為： 常點(diǎn)而不難驗(yàn)證下面的函數(shù)正滿(mǎn)足這個(gè)方程:它稱(chēng)為n次Hermitian多項(xiàng)式。頭五個(gè)Hermitian多項(xiàng)式是:三. 線性諧振子的能級(jí)和波函數(shù) 1.我們把線性諧振子的能級(jí)和波函數(shù)總結(jié)如下。能級(jí)是：對(duì)應(yīng)的波函數(shù)是： Nn是歸一化常數(shù)，利用