§16.6測(cè)不準(zhǔn)原理

1、yw16.6測(cè)不準(zhǔn)原理在本教程即將結(jié)束時(shí)，再次強(qiáng)調(diào)微觀粒子與宏觀質(zhì)點(diǎn)的不同特點(diǎn)（一）宏觀質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)與動(dòng)量的關(guān)系在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)宏觀質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可用位置坐標(biāo)、動(dòng)量，以及運(yùn)動(dòng)軌道等概念來(lái)描述.已知一質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量，以及它所在力場(chǎng)的性質(zhì)，則可按牛頓運(yùn)動(dòng)定律求得它在任一時(shí)刻的坐標(biāo)和動(dòng)量，以及任一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌道.I,看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如（圖16.6a）,設(shè)有一高壓丿K水槍?zhuān)涑鲆皇?，沿著y軸方向，垂直投射在一一個(gè)寬為b的單縫中.這束水珠穿過(guò)單縫后，沖擊在垂0p=Pv（圖16.6a）束水珠穿過(guò)單縫直于y軸的屏上Q0點(diǎn)附近.（假設(shè)不計(jì)水珠所受重力，以及被縫的邊緣阻擋的水珠）.當(dāng)縫

2、的寬度b縮小一些時(shí)，通過(guò)縫的水珠的位置總的來(lái)說(shuō)都是互相接近一些的.增大一些時(shí)，穿過(guò)縫的水珠的位置卻是互相離開(kāi)一些的.但是，不論縫中水珠的位置互相接近或離開(kāi)，對(duì)它們的動(dòng)量的大小和方向不會(huì)有影響.這是我們的常識(shí)可以得出的結(jié)論，也與經(jīng)典力學(xué)一致.（二）光子的位置坐標(biāo)與動(dòng)量的關(guān)系如（圖16.6b）,設(shè)有一束光子穿過(guò)寬度為a的單狹縫.在屏上相當(dāng)寬的范圍，將出現(xiàn)衍射條紋.這就是第三篇12.5所說(shuō)的光的單縫衍射條紋，這是光的波粒二象性應(yīng)有的結(jié)果.如（圖16.6b），設(shè)Q與Q_1為此單縫衍射條紋的第一級(jí)極小位置，則Q1至Q_1范圍內(nèi)便是中央亮紋的位置.光波的大部分能量投射在中央亮紋，也就是說(shuō)，穿過(guò)狹縫的光子，

3、大多數(shù)到達(dá)中央亮紋設(shè)Q1所對(duì)應(yīng)的偏角為1，此束光子的波長(zhǎng)為入，則按單縫衍射公式可得如下關(guān)系：?jiǎn)慰p衍射第一級(jí)極小位置的偏角1asin1=入（16.6.1）當(dāng)縫的寬度b此式表明：a值較小，則值較大.也就是說(shuō),（圖狹縫當(dāng)光子通過(guò)狹縫時(shí)，彼此的位置比較靠近，則它們射到屏上的分散范圍就比較從光子的動(dòng)量變化，也可看出它們的衍射情況.在進(jìn)入：夾縫時(shí)，光子大.Q的動(dòng)量都等于p，方向都與y軸一致，即、px.穿過(guò)狹縫射寸向中央亮紋的光子，它們的方向分散在偏角一耳到-范圍內(nèi).也就是說(shuō)，從狹縫穿出的光子,它們的動(dòng)量的軸分量px，其數(shù)值的分布范圍為0WPxWPsin.光子的Px值之間的最大差值Px=Psin-0=Psi

4、n1.此Px稱(chēng)為Px的測(cè)不準(zhǔn)量.如果考慮到還有光子會(huì)射到中央亮紋以外，則Px的測(cè)不準(zhǔn)量厶Px的關(guān)系式應(yīng)寫(xiě)成：Px三Psin1.光子在狹縫中的位置坐標(biāo)x之間的最大差值A(chǔ)x,顯然等于縫寬a.也就是說(shuō)，x的測(cè)不準(zhǔn)量x=a.測(cè)不準(zhǔn)量a,pxBpsi（16.6.2）x與昨BBpapsiBp（16.6.3）xx1最后一式用到（16.6.1）式：asin=入.按德布羅意公式（16.1.5）,p=h/入，可將（16.6.3）式寫(xiě)成：x與厶px的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系A(chǔ)xpx三p入=h（16.6.4）現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)一下這個(gè)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式的重要意義.此式表明，x很小時(shí)，px很大，Ax與厶px的乘積必定大于常量h.這就是說(shuō)，如果縮小狹

5、縫的寬度a,使得穿過(guò)狹縫光子的位置測(cè)不準(zhǔn)量x縮小，則必定使得這些光子的動(dòng)量分量測(cè)不準(zhǔn)量厶px增大.簡(jiǎn)單地說(shuō)，光子的坐標(biāo)x測(cè)得越準(zhǔn)確.它的動(dòng)量分量px就測(cè)得越不準(zhǔn)確.反過(guò)來(lái)，如果增大狹縫的寬度a,按（16.6.1）式可知，a增大，則-、sin-、玖和厶px都會(huì)縮小.a增大，Ax=a也增大.這表明，光子的動(dòng)量分量px測(cè)得準(zhǔn)確，它的坐標(biāo)x就測(cè)得不準(zhǔn)確.（三）海森伯的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（或稱(chēng)不確定關(guān)系）如果用電子束代替上述的光子束，令電子束通過(guò)相應(yīng)的單狹縫，也可測(cè)到電子波的單狹縫衍射條紋，也可從電子的波粒二象性關(guān)系式，導(dǎo)出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.4）.由于微觀粒子都具有波粒二象性，因此，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6

6、.4）對(duì)所有微觀粒子都適用.比較（圖16.6a）與（圖16.6b）可知，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.4）不適用于宏觀質(zhì)點(diǎn).對(duì)宏觀質(zhì)點(diǎn)，可同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定它的位置坐標(biāo)與動(dòng)量，可應(yīng)用軌道的概念描述它的運(yùn)動(dòng).宏觀質(zhì)點(diǎn)不具有波粒二象性，它的運(yùn)動(dòng)可用經(jīng)典力學(xué)描述.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.4）乃是只講數(shù)量級(jí)的估算式子，式子中的普朗克常量可用h，也可用=h/2n表示.這個(gè)關(guān)系式不限于單狹縫衍射的簡(jiǎn)單例子，它可推廣于微觀粒子的一般運(yùn)動(dòng)情況：微觀粒子的jxpxh或xpx=h/2n,不準(zhǔn)關(guān)系p；2，z.pZ（16.6.5）這就是1927年初，德國(guó)年青物理學(xué)家海森堡提出的測(cè)不準(zhǔn)原理.有的課本稱(chēng)上式為不確定度關(guān)系（四）微觀粒

7、子的能量與時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系設(shè)想有一束微觀粒子，沿x軸自由運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量為p.按測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.5）可知：xpx三,pSpx（16.6.6）設(shè)此自由微粒的速度xvc，則其能量E與動(dòng)量p的關(guān)系為：vc，E=mv2/2=p2/2m,E=pp/m=vp.此式代入（16.6.6）式得：xp=AxE/v=AtAE三微觀粒子的能量與時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系ZE（16.6.7）這個(gè)結(jié)論表明，微觀粒子的能量與時(shí)間不可能同時(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確的測(cè)量比方說(shuō)，氫原子在激發(fā)態(tài)的時(shí)間為10-8秒，可認(rèn)為它的時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)量t=10-8秒.代入（16.6.7）式便可得到英漢物理學(xué)詞匯367頁(yè)，科學(xué)出版社1975年版.它的能量測(cè)不準(zhǔn)量AE：

8、E三/t=1.05X10-34/108=1.05X10-26焦耳.這就是說(shuō)，能量測(cè)不準(zhǔn)量AE大于10-26焦.在（表15.3）已列出，可見(jiàn)光光子的能量約為10-19焦.因此，氫原子發(fā)出的光譜線必定有一定的寬度.這結(jié)論已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí).（五）量子力學(xué)發(fā)展的艱辛歷程1900年，普朗克為了從理論上說(shuō)明熱輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了能量子的假設(shè).這是牛頓以后自然哲學(xué)所經(jīng)受的最巨大、最深刻的變革.從此以后人們不斷地、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)靥剿魑⒂^粒子的客觀性質(zhì).微觀粒子的波粒二象性，它的波函數(shù)可表達(dá)幾率密度，它的波動(dòng)方程可導(dǎo)出四個(gè)量子數(shù)，它的位置坐標(biāo)與動(dòng)量、它的能量與時(shí)間都具有測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，這一些主要結(jié)論互相一致，并都能納入系統(tǒng)

9、嚴(yán)密的量子力學(xué)中去.但是由于經(jīng)典物理的輝煌成就，經(jīng)典概念的深入人心，量子力學(xué)的發(fā)展過(guò)程是相當(dāng)艱辛的.普朗克提出量子假設(shè)后，徘徊觀望十幾年，他企圖把量子假設(shè)與經(jīng)典理論調(diào)和起來(lái)，他首先起來(lái)反對(duì)愛(ài)因斯坦勇敢地推廣量子理論.愛(ài)因斯坦是20世紀(jì)物理學(xué)兩大重要發(fā)現(xiàn)（量子論與相對(duì)論）的元?jiǎng)?，是最受人們尊重的天才之?但他與玻爾對(duì)量子力學(xué)的爭(zhēng)論，是物理學(xué)史上持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)、爭(zhēng)論最激烈和最富有哲學(xué)意義的爭(zhēng)論之一.玻爾是哥本哈根（丹麥?zhǔn)锥迹W(xué)派的領(lǐng)導(dǎo)人，他身邊集結(jié)了一批極有才華的年青人，例如對(duì)波函數(shù)提出統(tǒng)計(jì)解釋的玻恩，對(duì)微粒運(yùn)動(dòng)提出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的海森伯等.玻爾曾經(jīng)提醒愛(ài)因斯坦，位置與動(dòng)量、能量與時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，與他

10、的相對(duì)論所說(shuō)的時(shí)間要隨運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)而確定一樣，都是人們不熟悉的客觀規(guī)律.然而，愛(ài)因斯坦仍然認(rèn)為一種完備的理論應(yīng)該是決定論的，不應(yīng)該用幾率和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系來(lái)表達(dá)微粒的運(yùn)動(dòng).他多次設(shè)計(jì)理想實(shí)驗(yàn)，想證明測(cè)不準(zhǔn)原理有錯(cuò)誤，可是這些實(shí)驗(yàn)卻證明測(cè)不準(zhǔn)原理并無(wú)錯(cuò)誤.由于對(duì)大多數(shù)學(xué)者接受的、哥本哈根學(xué)派量子理論的解釋深感不滿(mǎn)，愛(ài)因斯坦晚年，將自己置身于物理學(xué)發(fā)展的主流之外，一個(gè)人孤獨(dú)而又艱難的跋涉著.哥本哈根學(xué)派的量子理論解釋?zhuān)膊皇峭昝罒o(wú)缺的.物理學(xué)總要不斷地向前發(fā)展，人類(lèi)對(duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)過(guò)程，總是不平坦的.例題16.6A試比較電子和質(zhì)量為10g的子彈，在確定它們的位置時(shí)的不準(zhǔn)量Axe和厶xb.假定它們都沿x方向、

11、以v=200ms的速度運(yùn)動(dòng)，速度的測(cè)量誤差在0.01%以?xún)?nèi).解（1）由于vc，可知電子的質(zhì)量me=9.1X10-31kg.按題意，此電子的速度不準(zhǔn)量v=0.01%Xv=10-4X200=2X10-2m/s，此電子的動(dòng)量不準(zhǔn)量pe=meAv=18.2X10-33kgm/s.v比v小得多，pe也比pe=mv小得多.e代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.5）可得：x三/pe=1.05X10-34/18.2X10-33=5.77X10-3m.e已知原子的大小為10-10m數(shù)量級(jí)，上述電子的位置測(cè)不準(zhǔn)量Ax比原子約大107倍.可e知此電子的pe較小，Ax就較大.此電子的動(dòng)量測(cè)得準(zhǔn)，位置就測(cè)不準(zhǔn).e（2）按題意所

12、述子彈的動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)量pb可計(jì)算如下：楊建鄴、止戈編著杰出物理學(xué)家的失誤113115,136142頁(yè)，1986年版.周世勛編量子力學(xué)399405頁(yè)，1961年版.pb=10X10-3X2X10-2=2.0X10-4kgm/s.按測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.5）,可求得此子彈的位置測(cè)不準(zhǔn)量厶xb：bx三/pb1.05X10-34/2X10-4=5.25X10-31m.b可知此子彈的Axb與厶pb都很小，子彈的xb與pb可同時(shí)準(zhǔn)確地測(cè)量.子彈是宏觀物體,bb不具有波粒二象性，不受微觀粒子測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.5）的限制.16.6B已知原子核線度的數(shù)量級(jí)為10-14米.假設(shè)電子被束縛在原子核內(nèi)，試應(yīng)用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算此電子的動(dòng)能有多大?解電子如果在原子核內(nèi)，電子的位置不準(zhǔn)量可認(rèn)為是厶x=10-14米.按照測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式（16.6.5）,此電子的動(dòng)量不準(zhǔn)量p三h/Ax，即ph/x=6.63X10-34/10-14=6.63X10-20千克米/秒.此電子的動(dòng)量p不應(yīng)小于Ap,即p三Ap三6.63X10-20千克米/秒.按狹義相對(duì)論公式（見(jiàn)第一編附錄4F）有：總能2=c2p2+E0,動(dòng)能Ek=E0.由于cp三3X108X6.63X10-20=1.99X10-11焦.此電子的靜能