2020屆福建省泉州市高三第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)2020屆福建省泉州市高三第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】求解集合，計(jì)算即可.【詳解】由得，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，集合的交集運(yùn)算.2若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（ ）A0B3C1D4【答案】C【解析】計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.3記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則（ ）A5B3C12D13【答案】B【解析】

2、由題得，解得，計(jì)算可得.【詳解】，解得，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.4已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由題知，又，代入計(jì)算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（ ）A4B5C6D7【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.6已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)

3、分別為，過(guò)的直線與軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若，則的方程為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，所以橢圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.7已知函數(shù)，則，的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】B【解析】可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8中，為的中點(diǎn)，則（ ）ABCD2【答案】D【解析】在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理

4、可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9若時(shí)，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】由題得對(duì)恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞增，的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問(wèn)題，可采用參變量分離法去求解.10若雙曲線：繞其對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（ ）ABC2或D2或【答案】C【解

5、析】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.二、多選題11是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo).下圖是某地9月1日到10日的日均值（單位：）的折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A這10天中日均值的眾數(shù)為33B這10天中日均值的中位數(shù)是32C這10天中日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)D這10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差【答案】ABD【解析】

6、對(duì)折線圖信息進(jìn)行分析，逐一判斷檢驗(yàn)即可.【詳解】由折線圖得，這10天中日均值的眾數(shù)為33，中位數(shù)為，中位數(shù)小于平均數(shù)；前4天的數(shù)據(jù)波動(dòng)比后4天的波動(dòng)大，故前4天的方差大于后4天的方差.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了折線圖，考查了學(xué)生的識(shí)圖能力與數(shù)據(jù)分析能力.解題的關(guān)鍵是正確理解眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的概念.12已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）AB平面C三棱錐的體積為D異面直線與所成的角為【答案】AB【解析】判斷平面，可得；由得，平面；計(jì)算三棱錐的體積可得三棱錐；異面直線與所成的角即為直線與所成的角【詳解】對(duì)于A，易證平面，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以平?/p>

7、，故B正確；對(duì)于C，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，又為等邊三角形，故直線與所成的角為，故D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定，幾何體體積的計(jì)算，考查了空間中異面直線所成角的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.三、填空題13已知向量，則_.【答案】2【解析】由得，算出，再代入算出即可.【詳解】，解得：，則.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計(jì)算.14若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，符合；當(dāng)時(shí)，不滿足.故

8、答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算，考查了分類(lèi)討論的思想.15正四棱柱中，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為_(kāi).【答案】2.【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時(shí)，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了直線與平面所成角的計(jì)算.對(duì)于這類(lèi)題，一般是建立空間直角坐標(biāo)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，

9、考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和直觀想象能力.四、雙空題16函數(shù)的最大值為_(kāi)，所有零點(diǎn)之和為_(kāi).【答案】 【解析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)得，可得；（2）令，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)求解，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求解.【詳解】（1），又，；（2）令，則即可轉(zhuǎn)化為，作出與，由圖知：交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則有，.故答案為：(1). (2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想.五、解答題17記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）利

10、用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，算出公比，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)檫m合上式，所以.（2）由（1）得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.18唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類(lèi)工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩(shī)分成7大類(lèi)別，并從全唐詩(shī)48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類(lèi)別及各類(lèi)別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛(ài)情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)1006455999173185

11、00含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從全唐詩(shī)含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類(lèi)別的可能性最大，屬于哪個(gè)類(lèi)別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類(lèi)別的概率；（2）已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類(lèi)別”有關(guān)系，則“某字”為“某類(lèi)別”的關(guān)鍵字；若“某字”被選為“某類(lèi)別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大，排名就越靠前；設(shè)“山”“簾”“花”和“愛(ài)情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為，.已知，請(qǐng)完成下面列聯(lián)表，并從上述三個(gè)字中選出“愛(ài)情婚

12、姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)不屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635【答案】（1）該唐詩(shī)屬于“山水田園”類(lèi)別的可能性最大，屬于“其他”類(lèi)別的可能性最小；屬于“山水田園”類(lèi)別的概率約為；屬于“其他”類(lèi)別的概率約為（2）填表見(jiàn)解析；選擇“花”，“簾”作為“愛(ài)情婚姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，“簾”【解析】?）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率，比較大小即可判斷；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表，算出觀測(cè)值，查表判斷.【詳解】（1）由上表可知，該唐詩(shī)屬于“山水田園”類(lèi)別的可能性最大，屬于“其他”類(lèi)別的可能性最

13、小屬于“山水田園”類(lèi)別的概率約為；屬于“其他”類(lèi)別的概率約為；（2）列聯(lián)表如下：屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)不屬于“愛(ài)情婚姻”類(lèi)共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得：；因?yàn)?，所以有超過(guò)95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛(ài)情婚姻”有關(guān)系，故“花”和“簾”是“愛(ài)情婚姻”的關(guān)鍵字，而“山”不是；又因?yàn)?，故選擇“花”，“簾”作為“愛(ài)情婚姻”類(lèi)別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，“簾?【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn).考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與計(jì)算能力，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).19如圖1

14、，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離；解法二：由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足，證明平面，計(jì)算出即可.【詳解】解法一：（1）依題意知，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱錐的體積.在中

15、，得，由（1）知，平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積，得.解法二：（1）同解法一；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，在中，得.又，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解：等體積法；作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計(jì)算即可.20已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交

16、于另一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，.若，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn)，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設(shè)的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，則由拋物線定義，得，因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設(shè)直線方程為，由消去，得，設(shè)，則，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn)，斜率問(wèn)題時(shí)，可采用

17、韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.21已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）在為增函數(shù)；證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類(lèi)討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.記，則，當(dāng)時(shí)，.所以，所以在單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，所以，所以在為增函?shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當(dāng)時(shí)，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.當(dāng)，令，因?yàn)?，所以，故在單調(diào)遞增，故，即.故，又在單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理知，存在

18、唯一實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，所以，此時(shí)在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)及不等式恒成立等問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、函數(shù)與方程思想，考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力，屬于難題.22在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn)，與交于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式，把參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的普通方程為，又，的極坐標(biāo)方程為，的方程即為，對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為.（2）由己知設(shè)，則，所以，又，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.所以，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，三角函數(shù)的值域求解等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.23記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，滿足，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）將函數(shù)