湖南省十三校2014屆高三第二次聯(lián)考(數(shù)學(xué)理)解析版

1、湖南省2014屆高三十三校聯(lián)考 第二次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷長(zhǎng)郡中學(xué);衡陽(yáng)八中;永州四中;岳陽(yáng)縣一中;湘潭縣一中;湘西州民中 石門一中;澧縣一中;郴州一中;益陽(yáng)市一中;桃源縣一中;株洲市二中 麓山國(guó)際由 聯(lián)合命題總分:150分 時(shí)量:120分鐘考試時(shí)間:2014年4月12日15:0017:00 得分: 【試卷綜析】 本套試卷是湖南省13校第二次聯(lián)考試題，試卷在題型、題量、分值、難度、知識(shí)點(diǎn)分布及覆蓋面上都和高考試題比較接近。從整體上看，試卷難度適當(dāng)，具有較好的區(qū)分度、效度和信度。試題注重考查了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查。例如第6題，第8題，9題都很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能

2、力。在學(xué)生熟悉的背景下進(jìn)行命題，進(jìn)行創(chuàng)新，這是高考的要求，也是中學(xué)教學(xué)的要求。在本套試卷中，有所體現(xiàn)，這是一大亮點(diǎn)。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將所選答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)位置.1.已知集合，,則( )本題已做修改 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】借助分式不等式和對(duì)數(shù)不等式考查集合的運(yùn)算?！敬鸢附馕觥緿 或，所以【思路點(diǎn)撥】解分式不等式時(shí)，要時(shí)刻注意，移項(xiàng)通分。利用數(shù)軸求集合的交集。2.已知,則“”是“復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)”的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必

3、要條件【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了復(fù)數(shù)知識(shí)和充分必要條件的判斷。開始是輸出k否k=1S100?S=S+2Sk=k+1結(jié)束S=1【答案解析】C 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)的充要條件是，所以?！舅悸伏c(diǎn)撥】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，必須保證實(shí)部等于0，虛部不等于0. 解決充分必要問題需要先求出充要條件，然后再把充要條件的范圍放大或縮小。3.(2013肇慶二模改編)若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖問題?！敬鸢附馕觥緼 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，依次求出即可。4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則過點(diǎn)和的直線的斜率是( ) A. 1 B. 2 C

4、. 4 D. 【知識(shí)點(diǎn)】 考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，基本量的計(jì)算?！敬鸢附馕觥緾 由 求出公差?！舅悸伏c(diǎn)撥】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)形式，其圖像是一些孤立的點(diǎn)，它的斜率就是等差數(shù)列的公差。5.若函數(shù)的圖象如圖,則函數(shù)的圖象大致為( )O、yx、1O、yx、1AO、yx、-1B-22、yx、1DOO、yx、-1C【知識(shí)點(diǎn)】本題考查了函數(shù)圖象的變換?！敬鸢附馕觥緼 函數(shù) 的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，再把的圖象向右平移一個(gè)單位即可。正視圖側(cè)視圖俯視圖4335【思路點(diǎn)撥】函數(shù)，先把的圖象作關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，然后再平移?！镜湫涂偨Y(jié)】函數(shù)圖象的平移，一定要注意把的系數(shù)提出。6.(2013嘉興一模)如

5、圖,給定由10個(gè)點(diǎn)(任意相鄰兩點(diǎn)距離為1)組成的正三角形點(diǎn)陣,在其中任意取三個(gè)點(diǎn),以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 16【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)問題【答案解析】C 按順序查即可【思路點(diǎn)撥】依次查可得 7.若某棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該棱錐的體積等于( ) A. 10cm3 B. 20cm3 C. 30cm3 B. 40cm3【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)問題【答案解析】C 按順序查即可【思路點(diǎn)撥】依次查可得 8.已知雙曲線,為實(shí)軸頂點(diǎn),是右焦點(diǎn),是虛軸端點(diǎn),若在線段上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn),使得構(gòu)成以為斜邊的直角三角形,則雙曲線離心率的取值范圍是(

6、 ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】考查雙曲線的性質(zhì)和基本量的計(jì)算（離心率的求法）?！敬鸢附馕觥緿 ，由題意知，圓心O到直線的距離小于半徑，即，解得。假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，求得。故選D?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以確定點(diǎn)在以為直徑的圓上，再利用特殊點(diǎn)可求。9.(2013金山區(qū)一模改編)若實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,點(diǎn)在,點(diǎn),則的最大值是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程?！敬鸢附馕觥緼 2b=a+c，所以a-2b+c=0，可知直線恒過定點(diǎn)（1，-2）。又 在動(dòng)直線上的射影為,所以，此時(shí)圓心（0，-1），?！舅悸伏c(diǎn)撥】此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，恒過

7、定點(diǎn)的直線方程，圓周角定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點(diǎn)10.已知點(diǎn)是的重心,且,則實(shí)數(shù)的值為( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】考查三角形的重心，三角基本關(guān)系式。【答案解析】B 以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，以GA、GB分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系。不妨設(shè)A(1，0), B(0，1)，依題意，G為的重心，則點(diǎn)C(1，1). 所以可得tanA=tanB=3,tanC=4/3. 可得的值為 ?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用點(diǎn)是的重心, 且AG與BG垂直，用特值法，建立平面直角坐標(biāo)系，再應(yīng)用重心坐標(biāo)公式求出tanA=tanB=3,ta

8、nC=4/3.二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.（一）選做題(請(qǐng)考生在11、12、13三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分)ACEBFD11.(2011天津卷改編)如圖,已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,若與圓相切,且,則= .【知識(shí)點(diǎn)】相交弦定理，切割線定理【答案解析】 由得,又,得.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用相交弦定理，切割線定理解題，屬容易題。12.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.則與的交點(diǎn)直角坐標(biāo)為 .【知識(shí)點(diǎn)】考查拋物線的參數(shù)方程

9、，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線與拋物線的位置關(guān)系?！敬鸢附馕觥浚?,2） 曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程是，二者聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)?！舅悸伏c(diǎn)撥】把參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立求解。13.設(shè),則的最小值為 .【知識(shí)點(diǎn)】考查柯西不等式?！敬鸢附馕觥? 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件湊成柯西不等式的形式。（二）必做題（14 16題）14.定積分的值為 .【知識(shí)點(diǎn)】定積分運(yùn)算【答案解析】0 原式=【思路點(diǎn)撥】記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式15.(2013昌平區(qū)一模)在中,是的中點(diǎn),(1) .(2)是的中點(diǎn),是(包括邊界)內(nèi)任意一點(diǎn),則的取值范圍是 .【知

10、識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積運(yùn)算、線性規(guī)劃【答案解析】（1）2 （2） （1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(4，0), B(0,2)，D(0,1)，;(2) 根據(jù)題意知，點(diǎn)P所在的平面區(qū)域?yàn)?，令，畫出平面區(qū)域，可知。所以的取值范圍是?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算能使過程簡(jiǎn)單、易操作。16.(2013石景山區(qū)一模改編)給定有限單調(diào)遞增數(shù)列,數(shù)列至少有兩項(xiàng))且xi0（1in），此處已做修改定義集合.若對(duì)任意點(diǎn),存在點(diǎn)使得為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)給出下列四個(gè)命題,其中正確的是 .(填上所有正確命題的序號(hào)) 數(shù)列-2,2具有性質(zhì); 數(shù)列:-

11、2,-1,1,3具有性質(zhì); 若數(shù)列具有性質(zhì),則中一定存在兩項(xiàng),使得; 若數(shù)列具有性質(zhì),且,則.(2)若數(shù)列只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì),則的所有項(xiàng)和 .【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的函數(shù)特性本題考查新定義，考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大【答案解析】（1） （2） （1）對(duì)于數(shù)列xn，若A1（-2，2），則A2（2，2）；若A1（-2，-2）則A2（2，-2）；均滿足OA1OA2，所以具有性質(zhì)P對(duì)于數(shù)列yn，當(dāng)A1（-2，3）若存在A2（x，y）滿足OA1OA2，即-2x+3y=0，即，數(shù)列yn中不存在這樣的數(shù)x，y，因此不具有性質(zhì)P取A1（xi，xi），又?jǐn)?shù)列x

12、n具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1OA2，即xixi+xixj=0，又xi0，所以xi+xj=0。數(shù)列xn中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；又?jǐn)?shù)列xn是單調(diào)遞增數(shù)列且x20，所以1為數(shù)列xn中的一項(xiàng)假設(shè)x21，則存在k（2kn，kN*）有xk=1，所以0 x21此時(shí)取A1（x2，xn），數(shù)列xn具有性質(zhì)P，所以存在點(diǎn)A2（xi，xs）使得OA1OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以當(dāng)x1=-1時(shí)x2=xnxsxsx2，矛盾；當(dāng)xs=-1時(shí)x2=1，矛盾所以x2=1（2）x2=1若數(shù)列xn只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)P，可得x4=4，x5=8，猜想數(shù)列xn從第

13、二項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列所以S2013=-1+1+2+4+22012=22013-2【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)列an具有性質(zhì)P的概念，對(duì)數(shù)列xn：-2，2與數(shù)列yn：-2，-1，1，3分析判斷即可；取A1（xi，xi），數(shù)列xn具有性質(zhì)P，故存在點(diǎn)A2（xi，xj）使得OA1OA2，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算整理即可證得xi+xj=0；數(shù)列xn中一定存在兩項(xiàng)xi，xj使得xi+xj=0；數(shù)列xn是單調(diào)遞增數(shù)列且x20，1為數(shù)列xn中的一項(xiàng)，通過反證法可證得x2=1；若數(shù)列xn只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)P，可得x4=4，x5=8，猜想數(shù)列xn從第二項(xiàng)起是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可三、解答

14、題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知的三內(nèi)角分別為,向量,記函數(shù).()若,求的面積;()若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積運(yùn)算、輔助角公式的應(yīng)用，利用圖形判斷方程解的情況?！敬鸢附馕觥?)由 即, 又因?yàn)?所以代入上式得, 由,得,又,所以,且5分 也所以,即,從而為正三角形, 所以8分()由()知,令,Oxy 則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于在上有兩上不同實(shí)根,作出草圖如右, 可知當(dāng)或時(shí),直線與曲線 有兩個(gè)交點(diǎn),符合題意,故實(shí)數(shù)的取值范圍為 .12分【思路點(diǎn)撥】熟練應(yīng)用輔助角公式，正確畫出函數(shù)

15、的圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問題。18. (本小題滿分12分)甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試.在備選的10道題中,甲答對(duì)其中每道題的概率都是,乙能答對(duì)其中5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,答對(duì)一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,至少得15分才能入選.()求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;()求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.【知識(shí)點(diǎn)】概率問題，分布列、數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?！敬鸢附馕觥?)設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為,則的可能取值為.1分-1501530 且 5分 乙的得分的分布列如右表,且8分()由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選, 記甲、乙入選的事件分別為,則由()知,又

16、甲回答3題可以視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故,于是甲、乙至少有一人入選的概率12分【思路點(diǎn)撥】（1）求出的可能取值，并求出其概率，即可得到分布列。（2）是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題。利用對(duì)立事件求解。19. (本小題滿分12分)ABCDMP如圖,在四棱錐中,平面,且,點(diǎn)在上.()求證:;()若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.yAxBCzDMPE【知識(shí)點(diǎn)】空間線面的位置關(guān)系、二面角的大小?！敬鸢附馕觥?)如圖,設(shè)為的中點(diǎn),連結(jié), 則,所以四邊形為平行四邊形, 故,又, 所以,故, 又因?yàn)槠矫?所以, 且,所以平面,故有5分()如圖,以為原點(diǎn),分別以射線 為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 則, 設(shè),易得,

17、設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則, 令得,即. 又平面的一個(gè)法向量為, 由題知,解得, 即,而是平面的一個(gè)法向量, 設(shè)平面與平面所成的角為,則. 故直線與平面所成的角的正弦值為.12分【思路點(diǎn)撥】（1）熟練應(yīng)用線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解此類問題的關(guān)鍵。（2）建立平面直角坐標(biāo)系，用空間向量求出各面的法向量求解。BOxC(A)yDMNP20. (本小題滿分13分)如圖,矩形是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)分別為軸、軸,(百米),(百米)()觀光區(qū)中間葉形陰影部分是一個(gè)人工湖,它的左下方邊緣曲線是函數(shù)的圖象的一段.為了便于游客觀光,擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條穿越該觀光區(qū)的直

18、路(寬度不計(jì)),要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切(切點(diǎn)記為),并把該觀光區(qū)分為兩部分,且直線左下部分建設(shè)為花圃.記點(diǎn)到的距離為表示花圃的面積.()求花圃面積的表達(dá)式;()求的最小值.【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程、判斷單調(diào)性、求最值?！敬鸢附馕觥?)由題意可設(shè),又因,所以過點(diǎn)的切線方程為BOxC(A)yDEFMNP,即,切線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯侨切? 所以;FOxC(A)yDEBMNP當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪? 所以;FOxC(A)yEDBMN當(dāng),即時(shí),切線左下方區(qū)域?yàn)橹苯翘菪? 所以;綜上有,7分()當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 所以在上遞減,所以, 下面比較與的大小,由于, 所以可知即求.13分【思路點(diǎn)撥】解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問題中加以說(shuō)明F1OxMF2yBPN面 A21.(本小題滿分13分)已知分另為橢圓的上、下焦點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn), 且()求橢圓的方程;()與圓相切