(中文)第五章功率譜估計(jì)課件

1、第五章 功率譜估計(jì)功率譜-信號功率在頻域的分布規(guī)律內(nèi)容5.1 確定信號的譜估計(jì)5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì)5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)（高分辨譜估計(jì)）5.1 確定信號的譜分析連續(xù)時(shí)間信號首先通過一個(gè)低通（抗混疊）濾波器，然后采樣得到離散時(shí)間信號，選擇楨長為N交疊為N0的采樣數(shù)據(jù)，然后加窗，最后用加窗數(shù)據(jù)的一個(gè)合適長度的DFT作為譜估計(jì)(1)時(shí)域采樣和抗混疊濾波FTDTFT：(2) 頻域采樣和時(shí)域添零操作頻域采樣:DTFT-DFT補(bǔ)零操作 通過對采樣信號后面補(bǔ)零來得到更高密度的頻譜。低密度離散頻譜，在使用線性內(nèi)插重建連續(xù)頻譜時(shí)會產(chǎn)生誤差。提高頻譜密度可以

2、減少這個(gè)誤差。 (3) 能量泄漏，分辨率損失和加窗操作可用數(shù)據(jù)=完整數(shù)據(jù)矩形窗傅利葉變換：矩形窗幅頻特性分辨率損失 可以看出頻率分辨率決定于數(shù)據(jù)窗的持續(xù)時(shí)間（采樣點(diǎn)數(shù)-1）窗口函數(shù)對分辨率和泄漏的影響頻率分辨率：窗口函數(shù)頻譜的主瓣寬度。泄漏：旁瓣譜峰的水平（導(dǎo)致虛假譜峰出現(xiàn)） 因此要根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的窗口。矩形窗具有最窄的主瓣寬度。旁瓣振幅的減小只能以降低分辨率為代價(jià)。利用矩形窗口分辨兩個(gè)頻率，應(yīng)當(dāng)使兩個(gè)頻率的絕對差值大于矩形窗頻譜的主瓣寬度：|w1-w2|mainWin各種不同窗口的屬性比較和實(shí)域頻域特性窗口旁瓣峰值（db）近似主瓣寬度精確主瓣寬度矩形窗-134pi/(N-1)1.81p

3、i/(N-1)漢寧窗-328pi/(N-1)5.01pi/(N-1)漢明窗-438pi/(N-1)6.27pi/(N-1)凱撒窗-A(A-8)pi/(2.285N-1)多爾夫-切比雪夫窗-A5.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號的譜估計(jì)功率譜為自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換Wiener-Khintchine 定理自相關(guān)的估計(jì)值估計(jì)值的均值與方差(1)Wiener-Khintchine 定理1936年(2) 自相關(guān)估計(jì)unbiasedBiasedNonnegative definiteSmaller variance- 平穩(wěn)隨機(jī)信號的譜估計(jì)估計(jì)1：估計(jì)2：估計(jì)量的均值和方差Mean:Variance:是一個(gè)漸進(jìn)無

4、偏5.2.2 非參數(shù)功率譜密度估計(jì)方法周期圖法Bartlett法（平均多個(gè)周期圖, 采用不同數(shù)據(jù)塊）Welch 法 (平均多個(gè)周期圖, 采用重疊的數(shù)據(jù)塊)Blackman-Tukey 法 (周期圖平滑)(1) 周期圖法Periodogram Sir Arthur Schuster in 1899MeanVariance一個(gè)無偏但不一致的估計(jì)An unbiased but not a consistent estimate(2) Bartlett 法平均多個(gè)不同數(shù)據(jù)塊的周期圖估計(jì)結(jié)果Mean:An asymptotically unbiasedVariance:1/k of the varian

5、ce of the periodogram(3) Welch 法 采用有重疊的數(shù)據(jù)塊Mean:An asymptotically unbiasedVariance:1/k of the variance of the periodogramWelch-Bartlett 方法(4) Blackman-Tukey 法 加窗的譜估計(jì)Mean:Variance:Uw/k of the variance of the periodogramUw相關(guān)窗口的能量相關(guān)窗譜為單位面積時(shí)，為漸進(jìn)無偏估計(jì)Blackman-Tukey 法方法理論和實(shí)踐的比較 對功率譜加窗平滑等價(jià)于對估計(jì)的自相關(guān)序列進(jìn)行加窗。對窗口有

6、一定要求：三角窗(Bartlett)和Parzen窗可以，但不適用于漢明，漢寧或凱瑟窗。5.3 參數(shù)功率譜密度估計(jì)Autoregressive (AR) Model（自回歸）Moving-Averatge (MA) Model（移動平均）Autoregressive Moving-Average (ARMA) Model（自回歸移動平均）估計(jì)步驟： (1) 信號建模 (2) 估計(jì)模型參數(shù) (3) 計(jì)算功率譜本節(jié)內(nèi)容5.3.1 信號模型及其功率譜5.3.2 AR,MA,ARMA 模型與 他們的功率譜5.3.3 AR 模型的功率譜估計(jì)Yule-Walker 方程AR 模型特性參數(shù)估計(jì)方法5.3.4

7、 MA模型的功率譜估計(jì)5.3.5 ARMA模型的功率譜估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)信號白噪聲線性移不變系統(tǒng)有理函數(shù)模型:5.3.1 信號模型及其功率譜(1) Autoregressive-Moving Average (ARMA) 模型輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:零-極點(diǎn)模型(2) Moving Average 模型輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:全零點(diǎn)模型全極點(diǎn)模型(3) Autoregressive 模型輸入輸出關(guān)系:系統(tǒng)方程:功率譜密度:模型:模型:模型:模型參數(shù)5.3.2 AR 模型參數(shù)估計(jì)（1）Yule-Walker 方程求解上面方程式，即得到AR模型參數(shù)5.3.3 MA和ARMA模型的

8、功率譜估計(jì)ARMA 模型的 Yule-Walker 方程MA 模型的 Yule-Walker 方程（*1）MA 模型的功率譜估計(jì) 不需要估計(jì)模型參數(shù)bk, 只需根據(jù)已知數(shù)據(jù)估計(jì)出|m|q的自相關(guān)函數(shù)，代入上式計(jì)算即可。 （*2）首先計(jì)算AR模型參數(shù)。（*1）式利用AR模型對x(n)濾波得到v(n)利用v(n)計(jì)算MA模型功率譜。（*2）式ARMA模型的功率譜估計(jì)5.4 基于子空間特征值分析的功率譜估計(jì)目標(biāo)信號： 已知在白噪聲中的M個(gè)負(fù)指數(shù)序列和的N 個(gè)采樣值 和 需要估計(jì). where are uncorrelated random variables that uniformly distr

9、ibuted over the interval例1: 白噪聲中單個(gè)復(fù)指數(shù)序列Signal autocorrelation matrixNoise autocorrelation matrix信號矢量：信號的自相關(guān)矩陣：因?yàn)榫仃?的秩為1，所以僅有一個(gè)非零特征值 的非零特征值:-對應(yīng)的特征向量- 的非零特征值 是厄米共軛矩陣，所以其他的特征向量與e1 正交。 噪聲自相關(guān)矩陣是個(gè)滿秩矩陣設(shè) 為信號自相關(guān)矩陣 的特征值，則 的特征值 :- 的特征值- 的最大特征值- 的其他特征值 的特征向量與 的相同，為從 的特征值和特征向量中提取信號 參數(shù)的計(jì)算步驟:對自相關(guān)矩陣 進(jìn)行特征值分解。其最大特征值等

10、于 ，其他特征值等于使用這些特征值計(jì)算功率 和噪聲方差計(jì)算步驟3. 從最大特征值所對應(yīng)特征矢量 確定信號頻率 例如，令 為自相關(guān)矩陣 的噪聲特征矢量，即具有特征值 的一個(gè)特征矢量；并且令 為特征矢量 的第 i個(gè)成份。頻率估計(jì)方程 :正交條件: 頻率估計(jì)方程求取不同頻率點(diǎn)處的上述方程值。分母在 處將趨于0。因此頻率方程在 處將趨于無窮大。這樣，理論上講頻率方程的峰值位置可以用來估計(jì)指數(shù)序列的頻率。然而，由于這個(gè)方法僅使用了一個(gè)特征向量，因此可能對于矩陣 的估計(jì)誤差比較敏感。我們可以使用對所有噪聲特征矢量的加權(quán)平均來代替單個(gè)特征矢量。例2: 白噪聲中兩個(gè)復(fù)指數(shù)序列為更精確描述上面分解，可以使用矩陣

11、形式：P1,P2分別為第一個(gè)和第二個(gè)復(fù)正弦波的功率。令 和 為矩陣 的特征向量和特征值，并且把特征值按照降序排列：因 , 所以為特征值 of 由于信號自相關(guān)矩陣 秩為2，所以只有兩個(gè)非零特征值，并且他們都大于零（因 為非負(fù)定）。這樣 矩陣 的特征向量和特征值可以分為兩個(gè)部分：第一部分包含大于 的兩個(gè)特征值和對應(yīng)的特征向量（稱為信號特征向量）。兩個(gè)向量張成一個(gè)子空間信號子空間。第二部分包含那些等于 的兩個(gè)特征值和對應(yīng)的特征向量（稱為噪聲特征向量）。噪聲特征向量張成一個(gè)N-2維子空間噪聲子空間。上面的定義有一點(diǎn)誤導(dǎo)：因?yàn)樵肼暢煞萃瑫r(shí)影響信號子空間和噪聲子空間 因 厄米共軛，特征向量 相互正交。因此

12、，信號空間和噪聲空間是正交子空間。也就是說，對信號子空間中的任一向量 和噪聲子空間中的任一向量 有下面成立：不像單個(gè)復(fù)指數(shù)序列的例子，這里信號特征向量通常不再等于 和 . 然而， 和 同樣位于由 和 張成的信號子空間內(nèi)。由于信號子空間和噪聲子空間正交，那么 和 同樣與噪聲特征矢量 正交。（i2）我們?nèi)匀豢梢允褂蒙厦娴念l率方程得到對兩個(gè)頻率值的估計(jì)。通用情況: 一個(gè)廣義平穩(wěn)過程，在白噪聲中包含M個(gè)不同的復(fù)指數(shù)序列 M個(gè)線性獨(dú)立的向量 信號向量組成的NM矩陣關(guān)于各個(gè)信號能量的對角陣這里 為矩陣 的特征值。 由于矩陣 的秩為 M ，所以 前M個(gè)特征值將大于 ，后 個(gè)特征值將等于 。因矩陣 的特征值為

13、矩陣 的特征值和特征向量可以分為兩個(gè)部分：2. 噪聲特征向量1. 信號特征向量假設(shè)特征向量已經(jīng)被模歸一化, 我們可以以下面形式對矩陣 進(jìn)行分解： 所有信號向量 都位于信號子空間內(nèi)。由信號子空間和噪聲子空間的正交性可以推出，信號向量 正交于任何一個(gè)噪聲特征向量： 信號的頻率值可以使用頻率估計(jì)方程進(jìn)行估計(jì)： 有兩種不同類型的頻率估計(jì)方法基于以上的頻率估計(jì)方程: Pisarenko 諧波分解 MUltiple SIgnal Classification（MUSIC）(2) 基于頻率估計(jì)方程的方法思想：信號頻率值可以從自相關(guān)矩陣的對應(yīng)于最小特征值的特征向量處估計(jì)得到。Pisarenko Harmoni

14、c Decomposition ( PHD 方法 ) PHD 方法缺點(diǎn)在于對于噪聲敏感（由于僅使用了一個(gè)特征向量），這限制了它的廣泛使用. 假設(shè): 信號中復(fù)指數(shù)序列的數(shù)目M為已知 個(gè)自相關(guān)序列的采樣已知或者可以被估計(jì)出來當(dāng)不知道復(fù)指數(shù)序列的確切數(shù)目時(shí)，使用這個(gè)方法需要格外小心。 對于一個(gè)M+1M+1 維的自相關(guān)矩陣 ，噪聲子空間的維數(shù)顯然為1，噪聲子空間是被對應(yīng)于最小特征值的特征向量 所張成。 將與每一個(gè)信號向量正交：這樣對這個(gè)特征向量系數(shù)的傅利葉變換在每一個(gè)復(fù)指數(shù)序列的頻率點(diǎn) 處取值為0.相應(yīng)的，噪聲矢量的z變換具有M個(gè)零點(diǎn)在單位圓上 與求取 的零點(diǎn)相似，也可使用這是頻率估計(jì)方程的一個(gè)特殊形式， with and . 峰值點(diǎn)所對應(yīng)的頻率被作為復(fù)指數(shù)序列的頻率估計(jì).盡管寫為功率譜的形式， 被叫做偽譜（或特征譜）。因?yàn)樗话魏侮P(guān)于復(fù)指數(shù)序列或者噪聲功率的信息。如何估計(jì)噪聲和復(fù)指數(shù)序列的功率呢？假設(shè): 信號子空間的特征向量 已經(jīng)被規(guī)范化即功率估計(jì)對下式兩邊都左乘一個(gè)矢量得到Equation *注意，除