電磁場,矢量分析

1、第一章 矢量分析主 要 內(nèi) 容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理1. 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù):標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向 上的變化率。 例如標(biāo)量場 在 P 點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù) 定義為Pl1梯度:標(biāo)量場在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方 向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向?？梢?，梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場 的梯度可表示為式中g(shù)rad 是英文字母 gradient 的縮寫。若引入算符，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為2通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面積分稱為矢量 A 通過該有向曲 面 S 的通量，以標(biāo)量 表示，即 2. 矢量場

2、的通量與散度 通量可為正、或?yàn)樨?fù)、或?yàn)榱?。?dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場的洞（或匯）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為負(fù)。所以，前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。 3 由物理得知，真空中的電場強(qiáng)度 E 通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量 q 與真空介電常數(shù) 0 之比，即，可見，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿

3、過任一閉合面的通量為零。這一電學(xué)實(shí)例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無源的通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場的散度。 4散度：當(dāng)閉合面 S 向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量 A 通過該閉合面S 的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 A 在該 點(diǎn)的散度，以 div A 表示，即式中div 是英文字母 divergence 的縮寫， V 為閉合面 S 包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。 直角坐標(biāo)系中散度可表示為 5因此散度可用算符 表示為高斯定理或者寫為 從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積

4、分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域 V 中的場和包圍區(qū)域 V 的閉合面 S 上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 V 中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。6環(huán)量：矢量場 A 沿一條有向曲線 l 的線積分稱為矢量場 A 沿該曲 線的環(huán)量，以 表示，即3. 矢量場的環(huán)量與旋度可見，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場 A 的方向處處與線元 dl 的方向保持一致，則環(huán)量 0；若處處相反，則 0 ?？梢姡h(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。7 由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 沿任一閉合有向曲線 l 的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度 I 與真空磁導(dǎo)率 0 的乘積。即

5、 式中電流 I 的正方向與 dl 的方向構(gòu)成 右旋 關(guān)系。由此可見，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。 8旋度：旋度是一個(gè)矢量。若以符號 rot A 表示矢量 A 的旋度，則其 方向是使矢量 A 具有最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，其大小等于對 該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中 rot 是英文字母 rotation 的縮寫，en 為最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，S 為閉合曲線 l 包圍的面積。上式表明，矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。 9直角坐標(biāo)系中旋度可用矩陣表示為 或用算

6、符 表示為 應(yīng)該注意，無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場在某點(diǎn)附近的變化特性，場中各點(diǎn)的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的點(diǎn)特性或稱為微分特性。函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不連續(xù)處，也就不存在前面定義的梯度、散度或旋度。 10斯托克斯定理 同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域 S 中的場和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線 l 上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界 l 上的場，反之亦然。或者寫為11 散度處處為零的矢量場稱為無散場，

7、旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。 4. 無散場和無旋場兩個(gè)重要公式： 左式表明，任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。 右式表明，任一標(biāo)量場 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個(gè)標(biāo)量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。 125. 格林定理 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，如下圖示。 SV, 那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場 及 滿足下列等式根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。上兩

8、式稱為標(biāo)量第一格林定理。13基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。 設(shè)任意兩個(gè)矢量場 P 與 Q ，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場 P 及 Q 滿足下列等式式中S 為包圍V 的閉合曲面，面元 dS 的方向?yàn)镾 的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。 14基于上式還可獲得下式：此式稱為矢量第二格林定理。 無論何種格林定理，都是說明區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。 此外，格林定理說明了兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林

9、定理求解另一種場的分布特性。格林定理廣泛地用于電磁理論。156. 矢量場的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其源及邊界條件共同決定的。16 若矢量場 F(r) 在無限區(qū)域中處處是單值的， 且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域 V 中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為 7. 亥姆霍茲定理 式中 可見，該定理表明任一矢量場均可表示為一個(gè)無旋場與一個(gè)無散場之和。矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。 178. 正交曲面坐標(biāo)系 已知矢量 A 在圓柱坐標(biāo)系和球坐