數(shù)理方程與特殊函數(shù)：拉普拉斯變換的應(yīng)用

1、1本次課主要內(nèi)容(一)、常微分方程求解(二)、積分方程求解拉普拉斯變換的應(yīng)用(三)、偏微分方程定解問(wèn)題求解2內(nèi)容回顧1、Laplace變換與逆變換的定義2、常用函數(shù)的Laplace變換 33、Laplace變換的幾個(gè)主要性質(zhì) (1). 線性性質(zhì)4(2). 延遲定理 (3). 位移定理 (4） . 微分定理 5(5). 積分定理(6). 象函數(shù)的微分定理 (7).象函數(shù)的積分定理 6 (8).卷積定理 關(guān)于卷積的說(shuō)明：74. 展開(kāi)定理 (1) 極點(diǎn)z0的階：若則極點(diǎn)z0的階為m。8 (2)，留數(shù)公式 若z0為f(x)的m階極點(diǎn)，則：(一)、常微分方程求解 例1、求解常微分方程：9 (1)、對(duì)方程

2、兩邊作拉氏變換： 由線性性質(zhì)有： 由像函數(shù)微分定理得： 又由微分定理得： 所以：10 所以，得變換后的方程為： (2)、求像函數(shù)： (3)、求原像函數(shù)： 對(duì)像函數(shù)作冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：11 因?yàn)椋?所以： 于是由展開(kāi)定理得方程通解為： 由初始條件得：12例2 求解積分方程： 解：由卷積定義，將方程寫(xiě)成： (二)、積分方程求解13 (1)、對(duì)方程兩邊作拉氏變換： (2)、求像函數(shù)： (3)、由展開(kāi)定理可求出原像函數(shù)：14 首先指出：利用積分變換求解偏微分方程定解問(wèn)題時(shí)，如果是初值問(wèn)題，常采用針對(duì)空間變量的傅立葉變換求解，而如果是帶有邊界條件的定解問(wèn)題，則常采用針對(duì)時(shí)間變量的拉氏變換求解。(三)、偏微分方

3、程定解問(wèn)題求解例3、 求解硅片的恒定表面濃度擴(kuò)散問(wèn)題，在恒定表面濃度擴(kuò)散中，包圍硅片的氣體中含有大量雜質(zhì)原子，它們?cè)丛床粩啻┻^(guò)硅片表面向硅片內(nèi)部擴(kuò)散。由于氣體中雜質(zhì)原子供應(yīng)充分，硅片表面濃度得以保持某個(gè)常數(shù) N0 ，這里所求的是半無(wú)限空間x0中定解問(wèn)題 .解：定解問(wèn)題為：15 (1)、對(duì)定解問(wèn)題作針對(duì)于時(shí)間變量的拉氏變換： (2)、求像函數(shù)： 注意到：16 所以有： (3)、求原像函數(shù)： 查逆變換表得： 所以得：17問(wèn)題：有同學(xué)認(rèn)為：在上面定解問(wèn)題中，x與t的變化范圍都是(0,+)，所以，求解時(shí)，對(duì)x與t均可以作拉氏變換，對(duì)嗎？為什么？解：所提問(wèn)題歸結(jié)為解定解問(wèn)題 答：不能！因?yàn)榉匠讨泻衭x

4、x，而在x=0處，只給出了u(0,t)的值，而沒(méi)有給出ux(0,t)的值，所以，不能作針對(duì)空間變量x的拉氏變換。例4 一條半無(wú)限長(zhǎng)的桿，端點(diǎn)的溫度變化為已知，桿的初始溫度為零。求桿上的溫度分布規(guī)律。18 (1)、對(duì)定解問(wèn)題作針對(duì)于時(shí)間變量的拉氏變換： (2)、求像函數(shù)： (3)、求原像函數(shù)：19由卷積定理下面求由查表得：所以：20令：則：由于：注意到：21所以：由微分定理：所以：22即：所以,由卷積定理得到：23例5 求解半無(wú)界弦的純強(qiáng)迫振動(dòng)定解問(wèn)題： 解:(1)作針對(duì)于時(shí)間變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)：24由條件： (3)、求原像函數(shù)：2526 所以原像函數(shù)為：例6、求解如下定解問(wèn)題：27解:(1)作針對(duì)于時(shí)間變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)：28 (3)、求原像函數(shù)：例7、求解如下定解問(wèn)題(習(xí)題5.4第5題)：29解:(1)作針對(duì)于時(shí)間變量的Laplac