兩個向量數(shù)量積說課

1、遼寧省大連市第三十六高級中學 說課教師 王 昕兩個向量的數(shù)量積 兩個向量的數(shù)量積教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價Company Logo空間兩個向量的夾角、數(shù)量積是高中數(shù)學向量的重要內(nèi)容，也是高考的重要考查內(nèi)容. 從知識的網(wǎng)絡結構上看，空間向量夾角、數(shù)量積既是平面向量夾角、數(shù)量積概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)空間向量數(shù)量積的計算坐標化和空間向量在立體幾何中應用的教學基礎，起到承上啟下的作用.同時，用向量處理立體幾何問題，可使學生克服空間想象力的障礙而順利解題，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當大的優(yōu)越性，而且在豐富學生思維結構的同時，應用數(shù)學的能力也得到了鍛煉和提高.

2、教材分析教學內(nèi)容地位作用兩個向量的數(shù)量積是新課標人教版選修 2-1第三章第一大節(jié)里第三小節(jié)的內(nèi)容,根據(jù)教學大綱,本節(jié)共1課時,主要內(nèi)容是空間兩個向量的夾角的概念和空間兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、運算率及簡單應用 兩個向量的數(shù)量積教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價Company Logo學情分析知識準備能力儲備學生情況高二年級學生在掌握了平面向量夾角、數(shù)量積以及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算率的基礎上，又學習了空間向量的線性運算及空間向量的基本定理等有關知識，具有了一定的知識儲備.但用向量解決立體幾何問題時，要將幾何問題等價轉化為向量問題，這是本小節(jié)的一個難點.學生經(jīng)過初中以及高一的

3、數(shù)學學習，已具有一定的推理能力，數(shù)學思維也逐步向理性層次躍進，逐步形成了辯證思維體系但學生自主探究問題的能力，由特殊到一般的歸納能力普遍還不夠理想 考慮到任課實驗班級學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，加深了對概念的理解，并對例題的選擇進行了適當?shù)恼{(diào)整和延展，為向量在立體幾何中的綜合應用打好基礎 兩個向量的數(shù)量積教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價Company Logo 兩個向量的數(shù)量積教學目標知識與技能過程與方法情感態(tài)度價值觀掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握空間向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算率；初步掌握空間向量數(shù)量積的用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題.通

4、過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；讓學生領略數(shù)學嚴謹、基礎、系統(tǒng)、實用的魅力.教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價經(jīng)歷概念的形成過程,經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的幾何問題的思維過程，體驗數(shù)形結合思想的指導作用，體會向量是一種解決幾何問題的有利工具，并鼓勵學生靈活選擇運用向量法解決立體幾何問題，使學生親身體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.根據(jù)新課程標準的理念以及對教材、學情的分析 Company Logo 兩個向量的數(shù)量積重點難點教學重點教學難點空間兩個向量的夾角、數(shù)量積的概念、計算方法及其應用教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價空間兩個向量數(shù)量

5、積的幾何意義以及把立體幾何問題轉化為向量計算問題.為更好地完成教學目標，設置教學重、難點.Company Logo 兩個向量的數(shù)量積方法手段教學方法教學手段教學中使用多媒體投影和計算機來輔助教學目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價為達到教學目標，突出重點，突破教學難點，闡述方法手段.根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平，本節(jié)課主要采取教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法.教學過程中，根據(jù)教材提供的線索，安排適當?shù)慕虒W情境，引導學生獨立自主地開展思維活動，并讓學生展示相應的數(shù)學思維過程，深

6、入探究，并合作交流，創(chuàng)造性地解決問題，最終獲得方法，培養(yǎng)能力.Company Logo 兩個向量的數(shù)量積教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價 根據(jù)課改的精神，本著“以學生發(fā)展為本”的教學理念，結合學生實際，對教學過程作了如下的設計： 首先，通過步步設問引導學生掌握教材所要求的基本面：空間向量夾角的概念和空間向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算率；其次，鑒于向量兼容了代數(shù)、幾何的特色，有著其獨特的魅力和發(fā)展前景，為進一步讓學生感受“向量法”的優(yōu)勢，安排了可以分別運用“幾何法” 和“向量法”來處理空間幾何問題的例題.同時，為日后解決空間的度量、位置關系問題尋求一種新的方法，進一步拓展

7、了學生的思維渠道. 我把教學過程設計為四個階段：創(chuàng)設情境，引入課題；類比探究，獲得新知；回味建構，應用拓展；歸納小結，提高認識.Company Logo時間安排教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價 兩個向量的數(shù)量積引入課題（1分鐘）獲得新知（15分鐘）應用拓展（27分鐘）課堂小結（分鐘）Company Logo教材分析學情分析目標設計方法手段過程設計教學評價過程設計 兩個向量的數(shù)量積第一階段:創(chuàng)設情境,引入課題第二階段:類比探究,獲得新知第三階段:回味建構,應用拓展第四階段:歸納小結,提高認識Company Logo 概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習對象有了豐

8、富具體經(jīng)驗以后，才能使學生對學習對象進行主動的、充分的理解，因此在本階段的教學中，我從分析具體例子出發(fā)，而不是從抽象語言入手來引入空間向量的相關概念. 第一階段:創(chuàng)設情境,引入課題(設計意圖: 以學生熟悉的正方體做為教學背景，預計學生應聯(lián)想到平面向量的夾角和數(shù)量積，由此類比猜想引入新課，溫故知新從而有效調(diào)動學生的學習積極性)BCDB1C1AA1D1FE引例：已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1， D1F=如何確定的夾角？如何求？ Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念 在本階段的

9、教學中，為使學生加深對空間向量的夾角和空間向量的數(shù)量積概念的本質(zhì)的認識，我設計了三個環(huán)節(jié),引導學生分別完成對空間向量夾角、數(shù)量積概念的三次認識，形成并掌握空間向量的夾角和空間向量的數(shù)量積概念，以及掌握空間兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)、計算方法及運算率.Company Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設計意圖：是從學生的已有認知出發(fā)，即從學生已具備的平面向量相關知識出發(fā)，為類比出空間向量夾角和數(shù)量積概念做鋪墊，以備完成對空間向量夾角和數(shù)量積概念的第一次認識. ）問題1.平面向量的夾角和平面向量的數(shù)量積的概念？ ,第二階段:類比探究,獲得新知C

10、ompany Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想問題2.能否根據(jù)自己的理解說說什么是空間向量的夾角、數(shù)量積?（設計意圖：對于概念教學,若學生能用自己的語言來表述概念, 則能更好的理解和掌握概念.） 教學中，我引導學生用自己的語言描述空間向量的相關概念，至此，學生對空間向量的夾角和數(shù)量積的概念就有了第一次直觀、描述性的認識第二階段:類比探究,獲得新知Company Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究規(guī)律,理性認識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認識第二階段:類比探究,獲得新知問題1:引例中如何確定的夾角?為什么?BC DB1C1AA1D1FEMN預測對于問題

11、1中如何確定的夾角學生的回答主要有兩種： （1）取A1B1的中點M連結AM, 的夾角即為 的夾角； （2）取D1D的中點N連結CN, 的夾角即為 的夾角.通過對問題的研究、交流、討論，使學生對空間兩個向量夾角概念的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識 Company Logo第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認識問題2：還有其它平移向量的方法嗎？ （設計意圖:對于問題1中確定兩個空間向量的夾角，學生易根據(jù)空間向量相等的定義通過平移向量來解決，困難是如何選擇平移向量所到的確切位置再通過問題2的討論，使學生感受到空間向量平移的任意性，從而將對空間向量夾角的描述性認識過渡到理性的高

12、度. ）第二階段:類比探究,獲得新知BC DB1C1AA1D1FEMNCompany Logo第一環(huán)節(jié):回顧舊知,類比猜想第二環(huán)節(jié):探究原因,理性認識第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念引導學生歸納、抽象出空間兩個向量夾角的的概念： 第二階段:類比探究,獲得新知已知兩非零向量 ,在空間任取一點, 作 ，則 叫做向量 與 的夾角，記作 .且規(guī)定 ，顯然有 .若，則稱與互相垂直，記作： 使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識.Company Logo（設計意圖：通過三個判斷題，加深學生對概念理解的同時指出：求向量的夾角注意向量的方向性；兩個共線向

13、量的夾角為0或；空間任意兩個向量必共面，但是基線不一定共面，進而引出異面直線以及異面直線所成的角的概念.）第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念設計了：第二階段:類比探究,獲得新知BCDB1C1AA1D1問題1：判斷題：在正方體中ABCD-A1B1C1D1中：向量們的基線為共面直線 為共面向量，它Company Logo第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念第二階段:類比探究,獲得新知異面直線的概念和異面直線所成的角： 我們把不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.把異面直線平移到一個平面內(nèi), 這時兩條直線的夾角（銳角或直角）叫做兩條異面直線所成的角.Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié)

14、:抽象思維,形成概念設計了：問題1變式：在正方體中ABCD-A1B1C1D1中：求(1)直線AB與直線C1A1所成的角；(2)直線BD與直線直線C1A1所成的角. BCDB1C1AA1D1（設計意圖：通過問題加深學生對概念的理解，指出：求兩條異面直線所成的角的步驟；異面直線所成角的取值范圍；什么叫兩條異面直線互相垂直；兩條異面直線成角和向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.）Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設計意圖：學生們在掌握了空間向量夾角概念的基礎上容易把空間向量的數(shù)量積用平面向量數(shù)量積來定義，從而形成空間兩個向量數(shù)量積的概念.）設計了：問題2：如何解決引

15、例中？已知空間兩個向量，總可以把它們平移到一個平面叫做兩個空間內(nèi)，把平面向量數(shù)量積，即向量 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設計意圖：主要是考慮到任課實驗班級學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，加深對概念的理解. ）Company Logo第二階段:類比探究,獲得新知第三環(huán)節(jié):抽象思維,形成概念（設計意圖：學生們在掌握了空間向量的數(shù)量積概念的基礎上，會自主探究得到空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其滿足的運算率與平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其滿足的運算率相同的結論. ）設計了：問題3：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)？空間向量數(shù)量積滿足的運算率？C

16、ompany Logo第三階段:回味建構,應用拓展本階段的教學，主要是通過對教材例題的講解并延展，引導學生思考交流、分析探究、歸納反思，逐步體會向量在立體幾何中的作用.（設計意圖： 使學生們通過空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算率掌握向量數(shù)量積的計算方法, 同時為例題2 的解決打好基礎.）Company Logo第三階段:回味建構,應用拓展第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細板書第三環(huán)節(jié):歸納方法 這是學生初次體會向量關系與立體幾何空間位置關系的關聯(lián),對拓展學生思維渠道作用非凡.Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細板書第三環(huán)節(jié):歸納方法第一環(huán)節(jié):突破難點組織討論 引導回顧第三階段:回

17、味建構,應用拓展 對于該題的證明，問題主要集中在兩個方面:一方面部分學生不知道該如何處理,不敢動筆；另一方面部分學生處理方法不科學，陷入困境.困難出現(xiàn)在如果直接使用空間向量數(shù)量積的概念證明等式成立，向量 的夾角不易求，同時向量模的關系不易找. Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點組織討論 引導回顧第三階段:回味建構,應用拓展（1）如何把已知的幾何條件轉化為 向量表示？（2）引導學生回顧例1,并考慮一些未知的向量能否用 基向量或其他已知向量表示？（3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進行運算，才能獲得 需要的結論？Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細板書第三環(huán)節(jié):歸納方法第二環(huán)

18、節(jié):詳細板書引導學生注意證明過程的規(guī)范性和嚴謹性，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣.第三階段:回味建構,應用拓展Company Logo第一環(huán)節(jié):突破難點第二環(huán)節(jié):詳細板書第三環(huán)節(jié):歸納步驟第三環(huán)節(jié):歸納方法第三階段:回味建構,應用拓展 在解決三個問題以及板書的基礎上，我引導學生體會、歸納解決問題的方法.“傳統(tǒng)解法”需作輔助線，有時不易作出；而使用“向量解法”，程序化強，便于操作. （設計意圖：目的在于說明用向量解決立體幾何中一些典型問題的基本思考方法，同時為后續(xù)借助向量坐標運算法則及公式解決立體幾何問題做了一定的鋪墊.）Company Logo第三階段:回味建構,應用拓展（設計意圖：鞏固方法，鼓勵

19、學生選擇運用向量方法解決立體幾何問題，形成并提高解題能力；通過學生板演、學生講解進行隨堂反饋.）Company Logo（設計意圖：再次讓學生感受到單純用立體幾何知識解答較繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目標明確，從而大大降低了求解的難度，同時亦可激發(fā)他們不斷求知、不斷探索的欲望.） 第三階段:回味建構,應用拓展例4.在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,AOC=450,OAB=600,求OA與BC夾角的余弦值.Company Logo第四階段:歸納小結,提高認識課堂小結布置作業(yè)板書設計學生自主歸納總結Company Logo第四階段:歸納小結,提高認識課堂小結布置

20、作業(yè)板書設計課堂小結(1)在知識層面上:總結空間向量夾角和數(shù)量積的概念; 利用空間向量性質(zhì)、運算率計算和證明幾何問題的方法與步驟.(2)在方法層面上:引導學生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結合,等價轉化，類比等, 強調(diào)用“向量法”解決立體幾何問題的優(yōu)勢,同時引導學生對學習過程作必要的反思,為后續(xù)的學習做好鋪墊.（設計意圖：通過學生自主歸納、總結,對本節(jié)所學的知識系統(tǒng)化、條理化, 可進一步鞏固知識,明確方法.）Company Logo第四階段:歸納小結,提高認識課堂小結布置作業(yè)板書設計（設計意圖：實施分層設置，安排基本練習題、鞏固理解題和深化探究題三層使學生在完成教材基本學習任務的同時，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學生飽滿的學習興趣.補充題同