數(shù)學(xué)的工具性理解和關(guān)系性理解姚敏課件

1、數(shù)學(xué)的工具性理解和關(guān)系性理解報(bào)告人：姚敏目錄一、理論的背景二、兩類數(shù)學(xué)理解的概述三、案例說(shuō)明兩類數(shù)學(xué)理解四、理論的課程意義一、理論的背景1.1理解的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系說(shuō)： 希爾伯特認(rèn)為外部表征和內(nèi)部表征存在著聯(lián)系。 他認(rèn)為如果一個(gè)數(shù)學(xué)概念等成為內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么數(shù)學(xué)知識(shí)就被理解了。1.2理解的表征轉(zhuǎn)化說(shuō)： 布魯納將表征分為動(dòng)作表征、表象表征、書(shū)面符號(hào)標(biāo)志三類。 萊斯又加入了口頭語(yǔ)言表征、現(xiàn)實(shí)情境表征，發(fā)展為五類表征。 他們都認(rèn)為正是在用不同的表征方式來(lái)表征數(shù)學(xué)概念并實(shí)現(xiàn)表征方式內(nèi)部之間的轉(zhuǎn)化中，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)理解。1.3理解的類型層次說(shuō)： 1976年英國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家及心理學(xué)家Ricard R.

2、Skemp (斯根普)從數(shù)學(xué)知識(shí)的特征出發(fā)，明確提出了數(shù)學(xué)理解有2種類型工具性理解、關(guān)系性理解。 而在此之前，人們對(duì)理解的討論還停留在個(gè)體是理解了一個(gè)對(duì)象還是沒(méi)有理解，是部分理解還是全部理解，從未考慮還有不同類型的理解。1.4理解的類型層次說(shuō)的本土化進(jìn)程： 初期，我國(guó)認(rèn)識(shí)到對(duì)概念或法則的學(xué)習(xí)過(guò)程而言，工具性理解應(yīng)當(dāng)是其中一個(gè)重要的、甚至是不可缺少的環(huán)節(jié)，因而，在教學(xué)中十分注重?cái)?shù)學(xué)工具性理解，采取的多是傳統(tǒng)的定義 （定理）- 實(shí)例- 練習(xí)- 習(xí)題 的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。 后期，中國(guó)研究者一直認(rèn)為“知其然而不知其所以然”乃是一種機(jī)械記憶，不能歸屬于理解的范圍新課改以來(lái)，更強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要設(shè)定“過(guò)程性目標(biāo)”

3、，即認(rèn)為學(xué)習(xí)必須“知其然而且要知其所以然”，必須揭示知識(shí)的發(fā)生過(guò)程。 學(xué)者大都研究如何從“工具性理解”向“關(guān)系型理解”的轉(zhuǎn)變，加強(qiáng)過(guò)程性教學(xué)，卻都未對(duì)“工具性理解”的價(jià)值做出更多的闡述。 二、兩類數(shù)學(xué)理解的概述2.1工具性理解的概念 斯根普指出工具性理解是一種語(yǔ)義理解：理解符號(hào)A所指代的事物是什么；或者是一種程序性理解，一個(gè)規(guī)則 R所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作等簡(jiǎn)言之，就是按照語(yǔ)詞的本意和計(jì)算程序進(jìn)行操作，即“只知是什么，不知為什么”。 2.2關(guān)系性理解的概念 斯根普指出關(guān)系性理解則還需對(duì)知識(shí)意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）的途徑，以及規(guī)則本身有效

4、性的邏輯依據(jù)等，簡(jiǎn)言之：“不僅知道要做什么，而且知道為什么”。2.3工具性理解的分類 1）識(shí)記性理解：認(rèn)識(shí)并能記憶，例如正弦的定義與符號(hào)。 2）描述性理解：描述其意義，便于識(shí)記例如負(fù)負(fù)得正，做一些合理性的解釋。 3）確認(rèn)性理解：舉例說(shuō)明其正確，獲得確認(rèn)例如分?jǐn)?shù)的顛倒相乘舉一些具體數(shù)字的實(shí)例，加以確認(rèn)。 4）功能性理解：說(shuō)明其作用，便于使用例如直角坐標(biāo)系關(guān)注原點(diǎn)，表示數(shù)學(xué)對(duì)象。 5）平臺(tái)式理解：接受下來(lái)，投入使用例如數(shù)軸上點(diǎn)和實(shí)數(shù)系中的數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.4關(guān)系性理解的分類 1）證明性理解：運(yùn)用邏輯演繹方法展示其生成過(guò)程，證明其正確，說(shuō)明結(jié)論為什么成立，如勾股定理的證明。 2）論說(shuō)性理解：例如

5、函數(shù)概念的形成、實(shí)例操作、過(guò)程展示、明確對(duì)象整體把握概念。 3）反思性理解：將本原的理解提升為數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用例如對(duì)數(shù)，本原理解是作為指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，進(jìn)一步用 RMI 原理說(shuō)明乘法運(yùn)算映射為加法運(yùn)算形成同構(gòu) 關(guān)系。 4）結(jié)構(gòu)性理解：用公理化方法揭示其內(nèi)部結(jié)構(gòu)例如從有理數(shù)公理化體系說(shuō)明負(fù)負(fù)得正的合理性，揭示其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特質(zhì)。 2.5工具性理解的優(yōu)點(diǎn) 1）對(duì)于數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)而言，這種教學(xué)模式給學(xué)生提供了易懂、易模仿、易記憶并可以很快得到標(biāo)準(zhǔn)性問(wèn)題的答案的捷徑 。 2）工具性理解的教學(xué)過(guò)程所包含的知識(shí)較少，學(xué)生更容易迅速獲得這類問(wèn)題的正確答案 。 3）這樣的教學(xué)可以使學(xué)生更快地得到學(xué)習(xí)上的回報(bào)

6、有利于引發(fā)其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī) 2.6工具性理解的缺點(diǎn) 工具性理解的教學(xué)模式只關(guān)注學(xué)生能否依據(jù)固定的程序去獲得答案，其它則很少關(guān)注，這使得學(xué)生通常更關(guān)心 怎么做而不大去思考為什么可以這樣做及更進(jìn)一步的還可以怎么做等。 不利于學(xué)生在全新的情境內(nèi)去應(yīng)用該知識(shí)即遷移 ，也就不利于其長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展 。2.7關(guān)系性理解的優(yōu)點(diǎn) 1）更有益于學(xué)習(xí)者解決新的問(wèn)題 。 當(dāng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是關(guān)系性理解時(shí)，他們可以把在一種情境中獲得的知識(shí)遷移到另一種全新情境的學(xué)習(xí)或問(wèn)題解決活動(dòng)中去，而不只是用在相似的情境之中 。 2）更容易記憶 就整個(gè)數(shù)學(xué)公式體系而言 如果按照工具性理解的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生們需要記憶許多單個(gè)的公式

7、，這給記憶帶來(lái)很大負(fù)擔(dān)，而關(guān)系性理解則使得學(xué)生通過(guò)對(duì)于不同公式之間本質(zhì)性關(guān)系的理解去獲得對(duì)于公式的整體把握，這樣的學(xué)習(xí)更有利于長(zhǎng)時(shí)記憶 。3）有助于形成高質(zhì)量的知識(shí)結(jié)構(gòu) 就知識(shí)的組織形式而言，數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系圖式是一種最佳的數(shù)學(xué)知識(shí)組織形式 ，一旦學(xué)生獲得了有效的關(guān)系圖式 ，則他不但可以對(duì)所面臨的數(shù)學(xué)素材采取關(guān)系性理解的學(xué)習(xí)方式 ，而且還會(huì)主動(dòng)地去探索那些未知新領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)關(guān)系。 三、案例說(shuō)明兩類數(shù)學(xué)理解案例3.1二元一次方程組的理解 1）工具性理解 會(huì)用消元法、代入法解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程； 會(huì)用二元一次方程求解雞兔同籠等問(wèn)題。 2）關(guān)系性理解 知道字母系數(shù)的二元一次方程求解的過(guò)程； 理解代

8、入法是一種化歸為一元一次方程的數(shù)學(xué)思想方法； 注意到系數(shù)行列式不為 0 的要求； 能夠比較代數(shù)方法和算術(shù)方法求解雞兔同籠等問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系。案例3.2 基本不等式如果a、bR，那么 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) a =b時(shí)不等式取“=”號(hào)）的理解 1）工具性理解 需要知道這是一個(gè)絕對(duì)不等式，即恒不等式； 能夠應(yīng)用于數(shù)字大小的比較、函數(shù)的最值、以及參數(shù)的適用范圍等簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解。 2）關(guān)系性理解 演繹證明 （綜合法） （比較法） （反證法） （分析法） 通過(guò)演繹證明，揭示了基本不等式各個(gè)量之間的相互關(guān)系，理解了這一不等式成立的根據(jù)將之提升到數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識(shí)到它們最后都是“化歸”為通過(guò)變式練習(xí)和反思，獲得此

9、不等式的巨大的應(yīng)用價(jià)值，把握其本質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)“基本”的含義如推 演以下的不等式： 四、理論的課程意義4.1理解的類型層次說(shuō)的課程意義 1）針對(duì)不同的教材內(nèi)容，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)置相應(yīng)不同的理解目標(biāo)。例如，對(duì)于以下四類內(nèi)容，我們應(yīng)該只要求學(xué)生達(dá)到工具性理解水平。a)前人使用的語(yǔ)言,乃是前人形成的習(xí)慣.只要記憶模仿、知其然（ sinx)b)約定俗成的規(guī)則(負(fù)負(fù)得正)至于確切知道負(fù)負(fù)得正的所以然，就需要從有理數(shù)公理化體系上加以詮釋，那就超出了基礎(chǔ)教育的范圍。c)無(wú)法嚴(yán)格處理的內(nèi)容（面積的定義）d)一些基本技能的訓(xùn)練中小學(xué)課程里有大量的基本技能訓(xùn)練要求，在一開(kāi)始時(shí)無(wú)法說(shuō)清為什么要這樣做，只能當(dāng)作平臺(tái)接受下來(lái)。（因式分解） 2）工具性理解和關(guān)系性理解是學(xué)生學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)知識(shí)的兩個(gè)缺一不可的方面，啟發(fā)教師在教學(xué)中既要通過(guò)定義 （定理）- 實(shí)例- 練習(xí)- 習(xí)題 的數(shù)學(xué)教學(xué)模式打牢工具性理解的基礎(chǔ)，又要注重從工具性理解向關(guān)系性理解的轉(zhuǎn)化，通過(guò)探究性學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程；通過(guò)變式訓(xùn)練，達(dá)到知識(shí)本質(zhì)認(rèn)識(shí)；通過(guò)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)關(guān)系性理解。參考文獻(xiàn) 1 馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型J數(shù)學(xué)教育學(xué)