曲線與方程.PPT課件

1、2.1.1曲線與方程 在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線.創(chuàng) 設(shè) 情 境下面看一個(gè)具體的例子. 【1】求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標(biāo)滿足的關(guān)系.點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等.x - y=0第一、三象限角平分線 l得出關(guān)系：(1) l上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x - y=0的解;(2)以方程 x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在 l上.曲線條件方程xyox-y=0l分析特例歸納定義滿足關(guān)系：(1)如果M(x0, y0 )是圓上的點(diǎn), 那么M(x0, y0 )一定是這個(gè)

2、方程的解;【2】方程表示如圖的圓, 圖象上的點(diǎn)M與此方程 有什么關(guān)系？那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在圓上.(2)如果M(x0, y0 )是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，oxy分析特例歸納定義(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程; 這條曲線叫做方程的曲線.定義:一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 f(x , y)=0 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:xyo任意曲線C（純粹性）（完備性）說(shuō)明1.曲線的方程:反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系2.方程的曲線:反映的是數(shù)量

3、關(guān)系所表示的圖形3.如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點(diǎn)P(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0)=0. 【3】用下列方程表示如圖所示的曲線 C，對(duì)嗎？為什么？xyox-y=0(1)解:曲線C上的點(diǎn)不全是方程 的解.例如點(diǎn)A(2,2)不符合“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論. 不符合關(guān)系(1)(2)解:以方程x2-y2=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線上.例如 B(2, -2). 不符合關(guān)系(2) 【3】用下列方程表示如圖所示的曲線 C，對(duì)嗎？為什么？xyox-y=0(3)解:曲線C上的點(diǎn)不全是方程 |x| -y=0 的解.例如點(diǎn)C(2,2)不符合“曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”

4、這一結(jié)論. 不符合關(guān)系(1)以方程|x|-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線上，不符合關(guān)系(2)例如 D(-3,3)不在曲線上.解:(1)不正確，不具備(2)完備性，應(yīng)為x=3, (2)不正確,不具備(1)純粹性，應(yīng)為y=1. (3)正確. (4)不正確,不具備(2)完備性,應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過(guò)點(diǎn)A(3，0)且垂直于x軸的直線的方程為|x|=3.(2)到x軸距離等于2的點(diǎn)組成的直線方程為y=2.(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為 |xy|=1.(4) ABC的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為BC 中點(diǎn)，則中線AD的方程 x=0.例1 .判斷下列命題是

5、否正確.變式訓(xùn)練：寫出下列半圓的方程y-555555-5-5-5oxyxoyxo-5yxo55例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k0)的點(diǎn)的軌跡方程是xy=k.Mxyo第一步，設(shè) M (x0,y0)是曲線C上任一點(diǎn)， 證明(x0, y0)是f(x, y)=0的解；歸納: 證明已知曲線的方程的方法和步驟第二步，設(shè)(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，證明點(diǎn) M (x0,y0)在曲線C上.練習(xí)1.下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？ |x|-|y|=0 x- |y|=011Oxy1111-1-111-1ABCDOxyOxyOxy表示C 表示D 表示B練習(xí)2.若命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)

6、滿足方程f(x,y)=0”是正確的,則下列命題中正確的是( ) D(學(xué)案P.127 A2)A. 方程f(x,y)=0 所表示的曲線是C B. 坐標(biāo)滿足 f(x,y)=0 的點(diǎn)都在曲線C上C. 方程f(x,y)=0的曲線是曲線C的一部分或是曲線CD. 曲線C是方程f(x,y)=0的曲線的一部分或是 全部練習(xí)3.已知方程 mx2+ny2=4的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 則 m =_, n =_.依據(jù)關(guān)系(2)例2.條件甲:“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解”,條件乙:“曲線C是方程f(x,y)=0 的圖形”,則甲是乙的 ( )(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C)充要條件 (D)非充分也非

7、必要條件分析:由方程的曲線定義知 乙甲B1.設(shè)曲線C：在第一象限內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡,方程logxy-1=0,則下列命題正確個(gè)數(shù)為 (1)(1,1)是曲線C上的點(diǎn),但(1,1)不是方程的解(2)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都是方程的解(3)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)(4)曲線C是方程的曲線 (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)C知 識(shí) 回 顧2.方程 的曲線是圖中的 B4.若點(diǎn)M到x軸的距離和它到直線y=8的距離相等, 則點(diǎn)M的軌跡方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=46.如果點(diǎn)(a,b)在曲線y=x2+3x+1上,那么點(diǎn)(a+1,b+2)所

8、在的曲線方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲線是 一個(gè)點(diǎn) (B) 兩條互相平行的直線(C) 兩條互相垂直的直線 (D) 兩條相交但不垂直的直線例3.設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1, -1), (3,7),求線段AB的垂直平分線的方程.ABlM(x, y)oyx1.設(shè)曲線C：在第一象限內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡,方程logxy-1=0,則下列命題正確個(gè)數(shù)為 (1)(1,1)是曲線C上的點(diǎn),但(1,1)不是方程的解(2)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都是方程的解(3)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)

9、都是曲線C上的點(diǎn)(4)曲線C是方程的曲線 (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)C知 識(shí) 回 顧2.方程 的曲線是圖中的 B3.以下各題中,方程為曲線的方程的是 (1)方程：|x| =3,曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線 (2)方程： 曲線：與第一、三象限角平分線距離為1的點(diǎn)的軌跡(3)方程：|y| -x=0，曲線：到x軸的正半軸與到y(tǒng)軸的距離相等的點(diǎn)的集合(4)方程：x2y2=4,曲線：與以原點(diǎn)為圓心,半徑分別為1、3的兩圓相切的圓的圓心的軌跡 4.若點(diǎn)M到x軸的距離和它到直線y=8的距離相等, 則點(diǎn)M的軌跡方程是(A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=

10、46.如果點(diǎn)(a,b)在曲線y=x2+3x+1上,那么點(diǎn)(a+1,b+2)所在的曲線方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1DCD5.方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲線是 一個(gè)點(diǎn) (B) 兩條互相平行的直線(C) 兩條互相垂直的直線 (D) 兩條相交但不垂直的直線小結(jié)在軌跡的基礎(chǔ)上將軌跡和條件化為曲線和方程,當(dāng)說(shuō)某方程是曲線的方程或某曲線是方程的曲線時(shí)就意味著具備上述兩個(gè)條件,只有具備上述兩個(gè)方面的要求,才能將曲線的研究化為方程的研究幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題,以數(shù)助形正是解析幾何的思想,本節(jié)課正是這一思想的基礎(chǔ).(1)解析幾何研

11、究研究問(wèn)題的方法是什么？ (2)如何求曲線的方程？ (3)請(qǐng)對(duì)求解曲線方程的五個(gè)步驟進(jìn)行評(píng)價(jià).各步驟的作用,哪步重要,哪步應(yīng)注意什么？ 1.直接法: 動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律簡(jiǎn)單、明確，易于表達(dá)，可將條件直接寫成關(guān)于“x, y”的關(guān)系式.例2. 兩個(gè)定點(diǎn) A(-3, 0), B(3, 0), 點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26, 求點(diǎn)M的軌跡方程.【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)M到F(0,1)和直線l: y=-1的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程.所以點(diǎn)M的軌跡方程是(課本P.37 A3)1.直接法: 動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律簡(jiǎn)單、明確，易于表達(dá)，可將條件直接寫成關(guān)于“x, y”的關(guān)系式.【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)M到F(0,1)和

12、直線l: y=-1的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程.求曲線方程的一般步驟：例3若曲線 上有一動(dòng)點(diǎn)P，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.(學(xué)案P.130 A8)解: 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x , y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0 , y0),由于點(diǎn)M是線段OP 的中點(diǎn),于是有x0=2x, y0=2y. 把代入, 得動(dòng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng),所以有 整理, 得所以點(diǎn)M的軌跡方程是【變式訓(xùn)練3】過(guò)原點(diǎn)的直線與圓C: x2+y2-6x+5=0 相交于A, B兩點(diǎn), 求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.C解:設(shè)已知圓的圓心為C, M(x, y),則C( 3 , 0),因?yàn)榛?jiǎn)得當(dāng) x=3 時(shí),y =0,點(diǎn)(3,0

13、)符合題意;當(dāng) x=0 時(shí),y =0,點(diǎn)(0,0)不符合題意;解方程組所以點(diǎn)M的軌跡方程是2.代入法:利用動(dòng)點(diǎn)P0 (x0, y0)是定曲線f(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)P(x, y)依賴于P0 (x0, y0),那么可尋求關(guān)系式x0= f(x,y), y0=g(x, y)后代入方程f(x0, y0)=0 中, 得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.l 解:設(shè)M (x, y),所求軌跡方程為在已知圓內(nèi)部一段弧對(duì)應(yīng)的方程. 曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C. 一個(gè)二元方程 f(x,y)=0 的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作F. 已知ABC，A(-2，0)，B(0，-2)，第

14、三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng)，求ABC的重心的軌跡方程.同類變式限時(shí)訓(xùn)練 【2】已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相交于A, B兩點(diǎn), 以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,則點(diǎn)P的軌跡方程是_.(3分鐘)MPBAxoy 【2】已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相交于A, B兩點(diǎn), 以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,則點(diǎn)P的軌跡方程是_.例3.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4, 3) , 端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x , y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0 , y0), 由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3), 且M是線段的中

15、點(diǎn),于是有x0=2x-4, y0=2y-3. BOyAxM把代入,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理, 得 所以點(diǎn)M的軌跡是以 圓心,半徑長(zhǎng)是1的圓.端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以有 (x0+1)2+y02=4. BOyAxMxoyEBCDA練一練想一想例題講解關(guān)鍵:找到幾何關(guān)系解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）為圓上任意一點(diǎn) 圓的方程即M的軌跡方程幾何關(guān)系法P.124 A5關(guān)鍵:找到幾何關(guān)系依題意有 幾何關(guān)系法xyBP(x,y)OAAB中點(diǎn)軌跡為以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓 解：設(shè)點(diǎn)AB中點(diǎn)為P（x，y）P.124 B2例3若曲線 上有一動(dòng)點(diǎn)P，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，

16、求點(diǎn)M的軌跡方程.(學(xué)案P.130 A8)BAMxyONFMxyOMPxyOMxyOABNFMxyO四、定義強(qiáng)化理解階段多種表征、深化內(nèi)涵 曲線可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C. 一個(gè)二元方程 f(x,y)=0 的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作F. 【思考】如何用集合C和F間的關(guān)系來(lái)表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個(gè)關(guān)系，進(jìn)而重新表述“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義.關(guān)系指點(diǎn)集C是點(diǎn)集F的子集；關(guān)系指點(diǎn)集F是點(diǎn)集C的子集.【3】說(shuō)明過(guò)A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|=2的關(guān)系直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程|x|=2.滿足方程|x|=2的點(diǎn)不一定在直線上.oxy2A分析特例歸納定義結(jié)論:過(guò)A(2,0)平行于y軸的直線不是 |x|=2.2.“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解” ,闡明曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外.（純粹性）.3.“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏.（完備性）.由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是 f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y0)在