中考數(shù)學(xué) 專題11 存在性-等腰直角三角形（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)-存在性問題第11節(jié) 等腰直角三角形的存在性 方法點(diǎn)撥第一步：易證BADECB，如果再加一個(gè)條件BD=BE，此時(shí)BADECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)來表示線段長度，列等式求解。 例題演練1如圖所示，拋物線ya（x+1）（x5）（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）當(dāng)a時(shí)，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；如果點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是該拋物線對稱軸上的點(diǎn)，當(dāng)OMP是以O(shè)M為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接BD、CD，當(dāng)四邊形OBDC是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，求a的值【解答】解：對于ya（x+1）（x5

2、）（a0），令ya（x+1）（x5）0，解得x5或1，令x0，則y5a，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，1）、（1，0）、（0，5a），當(dāng)x2時(shí)，ya（x+1）（x5）9a，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，9a）（1）當(dāng)a時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式為y（x+1）（x5），則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，1）、（1，0）、（0，2）；過點(diǎn)P作y軸的平行線交過點(diǎn)M與x軸的平行線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，（x+1）（x5），MPO90，MPF+OPE90，OPE+POE90，POEMPF，PFMOEP90，PMPO，PFMOEP（AAS），PEMF，則（x+1）（x5）x2，解得x或4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）

3、或（4，2）； （2）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，5a），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9a）當(dāng)四邊形OBDC是圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，則BC的中點(diǎn)為該圓的圓心，設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)Q（，a），則OQDQ，即（）2+（）2（2）2+（9a+a）2，解得a2如圖，已知拋物線yax2+4x+c與直線AB相交于點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，4）（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)C為直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)D，是否存在點(diǎn)E使得ADE是以AD

4、為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）將A、B兩點(diǎn)代入到解析式中，得，解得，拋物線的解析式為：yx2+4x+1；（2）設(shè)直線AB為：yk1x+1，代入點(diǎn)B，得，3k1+14，解得k11，直線AB為：yx+1，設(shè)C（m，m2+4m+1），過C作CMy軸交AB于M，如圖1，則M（m，m+1），CMm2+4m+1m1m2+3m，SABCSACM+SBCM，C為直線AB上方拋物線上一點(diǎn)，0m3，時(shí)，ABC的面積最大值為，此時(shí)C（）；（3）拋物線y（x2）2+5，將拋物線向右平移2個(gè)單位后得到的拋物線為：yx2+5，聯(lián)立，解得，D（1，4），如圖2，當(dāng)D

5、ADE，EDA90，E在AD右側(cè)時(shí)，過D作x軸平行線交y軸于N，過E作y軸平行線，兩線交于F點(diǎn)DAN+NDANDA+EDF90DANEDF，又DNAEFD90，DADE，DNAEFD（AAS），DNEF1，ANDF3，E（4，3），當(dāng)DADE，EDA90，E在AD左側(cè)，同理可得，E（2，5），當(dāng)ADAE，DAE90，E在AD左側(cè)時(shí)，同理可得，E（3，2），當(dāng)ADAE，DAE90，E在AD右側(cè)時(shí)，同理可得，E（3，0），綜上所述，E（4，3）或（2，5）或（3，2）或（3，0）3如圖，已知拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（1，0），C（0，3）（1）求該拋物線的

6、函數(shù)表達(dá)式；（2）拋物線與直線yx1交于A、E兩點(diǎn)，P是x軸上點(diǎn)B左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在動(dòng)點(diǎn)M，使MBF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；否則說明理由【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為yx2+2x+3；（2）聯(lián)立直線AE和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，解得：，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5），AE5，在yx2+2x+3中，令y0，得：x2+2x+30，解得：x13，x21，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），C（0，3），OBOC3，B

7、OC90，CBO45，BC3，直線AE的函數(shù)表達(dá)式為yx1，BAE45CBO設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則PB3m，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似，或，或，解得：m或m，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；（3）CBO45，存在兩種情況（如圖2）取點(diǎn)M1與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)M1作M1F1y軸，交直線BC于點(diǎn)F1，CBM145，BM1F190，此時(shí)BM1F1為等腰直角三角形，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（1，0）；取點(diǎn)C（0，3），連接BC，延長BC交拋物線于點(diǎn)M2，過點(diǎn)M2作M2F2y軸，交直線BC于點(diǎn)F2，點(diǎn)C、C關(guān)于x軸對稱，OBC45，CBC90，BCBC，CBC為等腰直角三角形，M2F2y軸，M2BF

8、2為等腰直角三角形點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），直線BC的函數(shù)關(guān)系式為yx3，聯(lián)立直線BC和拋物線的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，解得：，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（2，5），綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（2，5）4如圖，拋物線yax2+bx3（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，OB3，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，5）（1）求該拋物線解析式；（2）如圖1，該拋物線頂點(diǎn)D，連接BD、BC，點(diǎn)P是線段BD下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEy軸，分別交線段BD、BC于點(diǎn)F、E，過點(diǎn)P作PGBD于點(diǎn)G，求2PG+EF的最大值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，在y軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，是否存在

9、以AN為直角邊的等腰直角三角形AMN？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)【解答】解：（1）OB3，B（3，0）把C（3，0）和點(diǎn)（2，5），代入拋物線yax2+bx3，得，解得，拋物線解析式為yx2+2x3；（2）延長PE與x軸交于點(diǎn)M，F(xiàn)Mx軸，PGBD，如圖所示，F(xiàn)MB90，PGF90，BFMPFG，MBFGPF，B（3，0），D（1，4），B、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)距離為2，縱坐標(biāo)距離為4，由勾股定理得BD2，cosMBFcosGPF，2PG+EFEF+2FP，C（0，3），設(shè)直線BC解析式為lBC：ykx+b（b0），把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得，lBC：yx3，同理，直線BD得解析式為

10、：y2x6，設(shè)E（m，m3），P（m，m2+2m3），F(xiàn)（m，2m6），EF+2FPm3（2m6）+2（2m6）（m2+2m3）2（m+）2+，當(dāng)m時(shí)，EF+2FP有最大值，2PG+EFEF+2FP，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P（，）；（3）存在，設(shè)N（0，y1），M（x2，+2x23），當(dāng)y0時(shí)，代入拋物線yx2+2x+3中，解得兩根為3和1，A在y軸右側(cè)，A（1，0），AN2OA2+ON21+y12，AM2（x21）2+（+2x23）2，MN2+（+2x23y1）2，當(dāng)ANMN時(shí)，此時(shí)由ANMN，等腰直角三角形各邊比為1：1：，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1或31，將M的橫坐標(biāo)為1或31，代入yx2+2x3中得，M

11、點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（31，14），由ANMA得：M點(diǎn)橫坐標(biāo)為22或22，將M點(diǎn)橫坐標(biāo)為22或22代入yx2+2x+3中，得M點(diǎn)坐標(biāo)為（22，17+844）或（22，33+844），綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（31，14），（22，17+844）或（22，33+844），5如圖，拋物線C1：yx2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），將拋物線C1向右平移m（m0）個(gè)單位得到物度C2，C2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C（1）求拋物線C1的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C2的對稱軸上時(shí)，求拋物線C2的解析式

12、及D點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，0），解得，拋物線C1的解析式為yx22x，拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）（2）如圖，拋物線C1的向右平衡m（m0）個(gè)單位得到拋物線C2，C2的解析式為y（xm1）21，A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），過點(diǎn)C作CH對稱軸DE，垂足為H，ACD為等腰直角三角形，ADCD，ADC90，CDH+ADE90，HCDADE，DEA90，CHDDEA，AEHD1，CHDEm+1，EHHD+DE1+m+1m+2，由OCEH得m2+2mm+2，解得m11，m22（舍去），拋物線C2的解析式為：y（x2）21，D點(diǎn)坐

13、標(biāo)（2，2）6已知：如圖，拋物線yax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)B（6，0），C（2，0），與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）如圖，連接PA、PB設(shè)PAB的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m請說明當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAB的面積有最大值？（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PEx軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請問是否存在點(diǎn)P使PDE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)B（6，0），C（2，0），可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：ya（x+2）（x6），12a6，解得a，拋物線的表達(dá)式為：

14、yx2+2x+6，A（0，6）直線AB的表達(dá)式為：yx+6，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+2m+6），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，則D（m，m+6），SOBPD6（m2+2m+6+m6）（m3）2+，當(dāng)m3時(shí)，S的值取最大，此時(shí)P（3，）；（2）存在，理由如下：由題意可知，PDPE，若PDE是等腰直角三角形，則PEPD，由（1）可得，PDm2+2m+6+m6m2+3m，PEx軸，E（4m，m2+2m+6），PE|2m4|，|2m4|m2+3m，解得m12（舍），m24，m35+（舍），m45，當(dāng)PDE是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），（5，35）7如圖1二次函數(shù)yx2+

15、6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）連接AC，求直線AC的表達(dá)式；（3）如圖2，點(diǎn)D為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊，在x軸的上方作等腰直角三角形BDE，若點(diǎn)E在y軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）若點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)D由A到C運(yùn)動(dòng)的過程中，以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊作等腰直角三角形BDE，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)C在等腰直角三角形BDE的邊上（包括三角形的頂點(diǎn)）時(shí)，請直接寫出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)【解答】解：（1）當(dāng)x0時(shí)，y6C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）當(dāng)y0時(shí)，解得x14，x24A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為

16、（4，0）（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為：ykx+b點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0）解得直線AC的表達(dá)式為（3）如答圖1，過點(diǎn)D分別作DFx軸于點(diǎn)F，DGy軸于G.四邊形DGOF為矩形，F(xiàn)DG90BDE為等腰直角三角形，BD為直角邊BDED，EDB90EDBGDBFDGGDB即EDGBDF在BDF和EDG中，BDFEDG（AAS）DFDG設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，）解得m，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）（4）由（2）可得直線AC的表達(dá)式為點(diǎn)D在直線AC上，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（）設(shè)直線BC的解析式為：ykx+b將B（4，0），C（0，6）代入得解得直線BC的解析式為當(dāng)C位于斜邊BE上時(shí)，點(diǎn)E在直線BC上，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)

17、為（b，）如答圖2所示.作EMx軸于點(diǎn)M，DQx軸于點(diǎn)Q，DNEM于點(diǎn)N易知四邊形DQMN為矩形QDN90BDE為等腰直角三角形，BD為直角邊BDED，EDB90EDBNDBQDNNDB即EDNBDQ在BDQ和EDN中，BDQEDN（AAS）DNDQ，ENBQE坐標(biāo)為（b，），D坐標(biāo)為（）DNba，ENDQ，BQ4a解得點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）當(dāng)點(diǎn)D在直角邊DE上時(shí)，BD交y軸于點(diǎn)F，如答圖3所示CDFBOF90，CFDBFODCFOBFtanDCFtanOBF即亦即OF點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，）設(shè)直線BF解析式為ykx+b將B（4，0），F(xiàn)（0，）代入得解得直線BF解析式為yB、F、D三點(diǎn)共線，亦即直線BD

18、解析式為y聯(lián)立直線AC解析式得解得故點(diǎn)D坐標(biāo)為（）BDAC，BDDE，BD2DE2解得b點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，即點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)如答圖4所示.作EGy軸于點(diǎn)GBCE90ECG+BCO90又ECG+GEC90BCOGEC在GEC和OCB中，GECOCB（AAS）GEOC6，GCOB4點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，10）由圖知點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)C對稱的點(diǎn)E亦滿足題意則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2066，縱坐標(biāo)為26102故點(diǎn)E坐標(biāo)為（6，2）綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）或（）或（6，10）或（6，2）8如圖，拋物線yax2+bx+5交x軸于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（1）求拋物線的

19、解析式；（2）點(diǎn)P是對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PC達(dá)到最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M、N為線段BC上兩點(diǎn)（N在M的右側(cè)，且M、N不與B、C重合），MN2，在第一象限的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)R，使MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+5交x軸于A（1，0），B（5，0），解得：，拋物線的解析式為：yx2+4x+5；（2）當(dāng)x0時(shí)，y5，C（0，5），A與B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線BC與對稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC達(dá)到最小值，yx2+4x+5（x2）2+9，拋物線對稱軸為直線x2，設(shè)直線BC的解析式為：ykx+b（k

20、0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0），則，解得：，直線BC的解析式為yx+5，與對稱軸的交點(diǎn)為（2，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，3）；（3）分三種情況：以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，如圖1，MN2，RNMN4，C（0，5），B（5，0），OCOB5，OCBOBC45，RNM45BCO，RNOC，由（2）知：直線BC的解析式為yx+5，設(shè)R（m，m2+4m+5），則N（m，m+5），則RN（m2+4m+5）（m+5）4，解得m14，m21，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，m4，R（4，5）；以點(diǎn)R為直角頂點(diǎn)，如圖2，MN2，RNMN2，設(shè)R（m，m2+4m+5），則Q（m，m+5），RN（m2+4m+5）（m+5）2，解得m1，m2，點(diǎn)N

21、在點(diǎn)M右側(cè)，m，R（，）；以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，如圖3，MN2，RMMN4，RMNOBC45，MROB，設(shè)R（m，m2+4m+5），則M（m4，m2+4m+5），把M（m4，m2+4m+5）代入yx+5，得（m4）+5m2+4m+5，解得m14，m21，此時(shí)點(diǎn)M（0，5），因?yàn)辄c(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動(dòng)，且不與B、C重合，所以不存在以N為直角頂點(diǎn)的情況；綜上所述：當(dāng) R（4，5）或（，）時(shí)，MNR為等腰直角三角形9拋物線yax26ax+4（a0）交y軸正半軸于點(diǎn)C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，且AB10（1）如圖（1），求拋物線的解析式；（2）如圖（2），連接BC，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)

22、，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，PBC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖（3），在（2）的條件下，連接PA交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)APE+CFD90時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q、PE的中點(diǎn)N、點(diǎn)C、是構(gòu)成以CN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由【解答】解：（1）如圖1中，設(shè)A（m，0），B（n，0），由題意：，解得，A（2，0），B（8，0），把A（2，0）代入yax26ax+4，得到a，拋物線的解析式為yx2+x+4 （2）如圖2中，連接OP設(shè)P（t，t2+t+4），B（8，0），C（0，4），OB8，OC4，SSPOC+SPOBSOBC4t+8（t2+t+4）48t2+8t（0t8） （3）存在理由：如圖3中，設(shè)P（t，t2+t+4），A（2，0），B（8，0），C（0，4），直線PA的解析式為y（t8）xt+4，直線BC的解析式為yx+4，PEx軸，F(xiàn)（t，t+4），D（0，t+4），F(xiàn)DAB，CFDCBA，APF+CFD90，APF+PAE90，PABCFDCBO，tanCBOtanPAB，OA2，OD1，t+41，t6，P（6，4），E（6，0），PNNE，N（6，2），