水資源系統(tǒng)分析及應(yīng)用：第六章 多目標(biāo)規(guī)劃

1、第六章 多目標(biāo)規(guī)劃 同時(shí)考慮多個(gè)決策目標(biāo)時(shí)，稱為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。6-0 引言從線性規(guī)劃問(wèn)題可看出： 線性規(guī)劃只研究在滿足一定條件下，單一目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解，而在企業(yè)管理中，經(jīng)常遇到多目標(biāo)決策問(wèn)題，如擬訂生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，不僅考慮總產(chǎn)值，同時(shí)要考慮利潤(rùn)，產(chǎn)品質(zhì)量和設(shè)備利用率等。這些指標(biāo)之間的重要程度（即優(yōu)先順序）也不相同，有些目標(biāo)之間往往相互發(fā)生矛盾。線性規(guī)劃致力于某個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，這個(gè)最優(yōu)解若是超過(guò)了實(shí)際的需要，很可能是以過(guò)分地消耗了約束條件中的某些資源作為代價(jià)。線性規(guī)劃把各個(gè)約束條件的重要性都不分主次地等同看待，這也不符合實(shí)際情況。求解線性規(guī)劃問(wèn)題，首先要求約束條件必須相容，如果約束條件中，由

2、于人力，設(shè)備等資源條件的限制，使約束條件之間出現(xiàn)了矛盾，就得不到問(wèn)題的可行解，但生產(chǎn)還得繼續(xù)進(jìn)行，這將給人們進(jìn)一步應(yīng)用線性規(guī)劃方法帶來(lái)困難。為了彌補(bǔ)線性規(guī)劃問(wèn)題的局限性，解決有限資源和計(jì)劃指標(biāo)之間的矛盾，在線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，建立目標(biāo)規(guī)劃方法，從而使一些線性規(guī)劃無(wú)法解決的問(wèn)題得到滿意的解答。6-1 多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的提出 在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)同時(shí)考慮幾個(gè)方面都達(dá)到最優(yōu)：產(chǎn)量最高，成本最低，質(zhì)量最好，利潤(rùn)最大，環(huán)境達(dá)標(biāo)，運(yùn)輸滿足等。多目標(biāo)規(guī)劃能更好地兼顧統(tǒng)籌處理多種目標(biāo)的關(guān)系，求得更切合實(shí)際要求的解。 目標(biāo)規(guī)劃可根據(jù)實(shí)際情況，分主次地、輕重緩急地考慮問(wèn)題。例6-1：一個(gè)企業(yè)需要同一種原材

3、料生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，它們的單位產(chǎn)品所需要的原材料的數(shù)量及所耗費(fèi)的加工時(shí)間各不相同，從而獲得的利潤(rùn)也不相同（如下表）。那么，該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大？如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)達(dá)到最大。用單純形法求得最優(yōu)解=（20，20）最優(yōu)值=200（百元）問(wèn)題：該廠提出如下目標(biāo)（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；如何安排生產(chǎn)？例6-2：某車間有A、B兩條設(shè)備相同的生產(chǎn)線，它們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。A生產(chǎn)線每小時(shí)可制造2件產(chǎn)品，B生產(chǎn)線每小時(shí)可制造1.5件產(chǎn)品。如果每周正常工作時(shí)數(shù)為45小時(shí)，要求制定完成下列目標(biāo)的生產(chǎn)計(jì)劃： （1）生產(chǎn)量達(dá)到210件/周；（

4、2） A生產(chǎn)線加班時(shí)間限制在15小時(shí)內(nèi)；（3）充分利用工時(shí)指標(biāo)，并依A、B產(chǎn)量的比例確定重要性。例6-3：某電器公司經(jīng)營(yíng)的唱機(jī)和錄音機(jī)均有車間A、B流水作業(yè)組裝。數(shù)據(jù)見下表。要求按以下目標(biāo)制訂月生產(chǎn)計(jì)劃：（1）庫(kù)存費(fèi)用不超過(guò)4600元；（2）每月銷售唱機(jī)不少于80臺(tái)；（3）不使A、B車間停工（權(quán)數(shù)由生產(chǎn)費(fèi)用確定）；（4）A車間加班時(shí)間限制在20小時(shí)內(nèi)；（5）每月銷售錄音機(jī)為100臺(tái)；（6）兩車間加班時(shí)數(shù)總和要盡可能?。?quán)數(shù)由生產(chǎn)費(fèi)用確定）；多目標(biāo)優(yōu)先級(jí) 先將目標(biāo)等級(jí)化：將目標(biāo)按重要性的程度不同依次分成一級(jí)目標(biāo)、二級(jí)目標(biāo).。最次要的目標(biāo)放在次要的等級(jí)中。目標(biāo)優(yōu)先級(jí)作如下約定：對(duì)同一個(gè)目標(biāo)而言，若

5、有幾個(gè)決策方案都能使其達(dá)到，可認(rèn)為這些方案就這個(gè)目標(biāo)而言都是最優(yōu)方案；若達(dá)不到，則與目標(biāo)差距越小的越好。目標(biāo)優(yōu)先級(jí)作如下約定： 不同級(jí)別的目標(biāo)的重要性是不可比的。即較高級(jí)別的目標(biāo)沒(méi)有達(dá)到的損失，任何較低級(jí)別的目標(biāo)上的收獲都不可彌補(bǔ)。所以在判斷最優(yōu)方案時(shí)，首先從較高級(jí)別的目標(biāo)達(dá)到的程度來(lái)決策，然后再其次級(jí)目標(biāo)的判斷。目標(biāo)優(yōu)先級(jí)作如下約定：同一級(jí)別的目標(biāo)可以是多個(gè)。各自之間的重要程度可用數(shù)量（權(quán)數(shù)）來(lái)描述。因此，同一級(jí)別的目標(biāo)的其中一個(gè)的損失，可有其余目標(biāo)的適當(dāng)收獲來(lái)彌補(bǔ)。多目標(biāo)規(guī)劃解的概念：若多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的解能使所有的目標(biāo)都達(dá)到，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解；若解只能滿足部分目標(biāo)，就稱該解為多

6、目標(biāo)規(guī)劃的次優(yōu)解；若找不到滿足任何一個(gè)目標(biāo)的解，就稱該問(wèn)題為無(wú)解。例6-4：（例6-1）一個(gè)企業(yè)需要同一種原材料生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，它們的單位產(chǎn)品所需要的原材料的數(shù)量及所耗費(fèi)的加工時(shí)間各不相同，從而獲得的利潤(rùn)也不相同（如下表）。那么，該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大？如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)達(dá)到最大。前面已經(jīng)求得最優(yōu)解=（20，20）最優(yōu)值=200（百元）問(wèn)題：該廠提出如下目標(biāo)（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；如何安排生產(chǎn)？對(duì)例6-1的問(wèn)題，設(shè)超過(guò)一噸鋼材與超過(guò)5個(gè)工時(shí)的損失相同?，F(xiàn)有四個(gè)方案進(jìn)行比較優(yōu)劣？目標(biāo)：（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；（2

7、）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；對(duì)于（1），只有方案4沒(méi)有完成。排除方案4。對(duì)于（2），只有方案2達(dá)到了，因此方案2是最優(yōu)。目標(biāo)：（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；方案1與方案3都達(dá)到了（1），又沒(méi)達(dá)到（2）方案1與（2）的差距：工時(shí)損失=（110-100）*5+（130-120）*1=60方案3與（2）的差距：工時(shí)損失=0*5+（190-120）*1=70方案1優(yōu)于方案3。方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案3優(yōu)于方案4例6-4：繼續(xù)上例目標(biāo)：（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；對(duì)于（1），三個(gè)方案都沒(méi)有完成。但方

8、案3離目標(biāo)最遠(yuǎn)，方案3最差。方案1與（2）的差距：工時(shí)損失=（108-100）*5+（130-120）*1=50方案2與（2）的差距：工時(shí)損失=0*5+（160-120）*1=40方案2優(yōu)于方案1方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案36-2 多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多目標(biāo)的處理 為了將不同級(jí)別的目標(biāo)的重要性用數(shù)量表示，引進(jìn)P1，P2，.,用它表示一級(jí)目標(biāo)，二級(jí)目標(biāo)，.，的重要程度，規(guī)定P1P2 P3 .。稱P1，P2，.,為級(jí)別系數(shù)。約束方程的處理差異變量：決策變量x超過(guò)目標(biāo)值b的部分記d+決策變量x不足目標(biāo)值b的部分記d-d+ 0, d- 0 且 x- d+ + d-= b多目標(biāo)的綜合若決策目標(biāo)中規(guī)定

9、x b, 當(dāng) d+ = 0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。多目標(biāo)的綜合若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) y+=0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d- = 0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。多目標(biāo)的綜合若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) y+=0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) y-=0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。若決策目標(biāo)中規(guī)定 x = b, 當(dāng) d+ = d- = 0 時(shí)目標(biāo)才算達(dá)到。例6-5（例6-4)解：引進(jìn)級(jí)別系數(shù)P1：（1）利潤(rùn)達(dá)到280百元；P2：（2）鋼材不超過(guò)100噸，工時(shí)不超過(guò)120小時(shí)；（權(quán)數(shù)之比5：1）數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1-+P2(5d2+d3+)約束方程： 6

10、X1+4X2+ d1- d1+=280 2X1+3X2+ d2- d2+=100 4X1+2X2+ d3- d3+=120 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3)例6-6（例6-2) 某車間有A、B兩條設(shè)備相同的生產(chǎn)線，它們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。A生產(chǎn)線每小時(shí)可制造2件產(chǎn)品，B生產(chǎn)線每小時(shí)可制造1.5件產(chǎn)品。如果每周正常工作時(shí)數(shù)為45小時(shí)，要求制定完成下列目標(biāo)的生產(chǎn)計(jì)劃： （1）生產(chǎn)量達(dá)到210件/周；（2） A生產(chǎn)線加班時(shí)間限制在15小時(shí)內(nèi)；（3）充分利用工時(shí)指標(biāo)，并依A、B產(chǎn)量的比例確定重要性。解：設(shè)A，B生產(chǎn)線每周工作時(shí)間為X1，X2。A，B的產(chǎn)量比例2：1.5 = 4:3目標(biāo)函數(shù)

11、：Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4-約束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+=210 （生產(chǎn)量達(dá)到210件/周） X1 + d2- d2+=60（A生產(chǎn)線加班時(shí)間限制在15小時(shí)內(nèi)） X1 + d3- d3+=45 （充分利用A的工時(shí)指標(biāo)） X2+ d4- d4+=45 （充分利用B的工時(shí)指標(biāo)） X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3,4)A，B的產(chǎn)量比例2：1.5 = 4:3目標(biāo)函數(shù)： Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4-約束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+= 210 X1 + d2- d2+= 60 X1

12、 + d3- d3+= 45 X2 + d4- d4+= 45 X1,X2,di-, di+ 0 (i=1,2,3,4)例6-7(例6-3)：(1)庫(kù)存費(fèi)用不超過(guò)4600元；(2)每月銷售唱機(jī)不少于80臺(tái)；(3)不使A、B車間停工（權(quán)數(shù)由生產(chǎn)費(fèi)用確定）；(4)A車間加班時(shí)間限制在20小時(shí)內(nèi)；（5）每月銷售錄音機(jī)為100臺(tái)；（6）兩車間加班時(shí)數(shù)總和要盡可能?。?quán)數(shù)由生產(chǎn)費(fèi)用確定）；解：設(shè)每月生產(chǎn)唱機(jī)、錄音機(jī)X1，X2臺(tái)。且A、B的生產(chǎn)費(fèi)用之比為100：50=2：1目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+ P5d3+2P6d4+ P6d

13、5+約束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 （庫(kù)存費(fèi)用不超過(guò)4600元） X1 + d2- d2+=80 （每月銷售唱機(jī)不少于80臺(tái)） X2 + d3- d3+=100 （每月銷售錄音機(jī)為100臺(tái)） 2X1 + X2+ d4- d4+=180 （不使A車間停工） X1 + 3X2+ d5- d5+=200 （不使B車間停工） d4+ d41- d41+=20 （A車間加班時(shí)間限制在20小時(shí)內(nèi)） X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5)目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+

14、 P5d3+2P6d4+ P6d5+約束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 X1 + d2- d2+=80 X2 + d3- d3+=100 2X1 + X2+ d4- d4+=180 X1 + 3X2+ d5- d5+=200 d4+ d41- d41+=20 X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5)6-3 多目標(biāo)決策的特點(diǎn)多目標(biāo)性：目標(biāo)的不可公度性：目標(biāo)之間的矛盾性：定性指標(biāo)與定量指標(biāo)相混合：1）多目標(biāo)性決策問(wèn)題的多目標(biāo)性，有示例所見，是顯而易見的。2）目標(biāo)的不可公度性是指：量綱的不一致性，即各目標(biāo)沒(méi)有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)或計(jì)量單位，因

15、而難以比較。例如：投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)3）目標(biāo)之間的矛盾性如果多目標(biāo)決策問(wèn)題中存在某個(gè)備選方案，它能使所有目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，即存在最優(yōu)解，此時(shí)，不存在目標(biāo)間的矛盾性。一般情況下，各個(gè)備選方案在各目標(biāo)間存在著某種矛盾。即如果采用一種方案去改進(jìn)某一目標(biāo)的值，很可能會(huì)使另一目標(biāo)的值變壞。4）定性指標(biāo)與定量指標(biāo)相結(jié)合在多目標(biāo)決策中：有些指標(biāo)是明確的，可以定量表示出來(lái)，如：價(jià)格、時(shí)間、產(chǎn)量、成本、投資等。有些指標(biāo)是模糊的、定性的，如候選人問(wèn)題中，有變量：人的思想品德、工作作風(fēng)、機(jī)制改革問(wèn)題、市場(chǎng)應(yīng)變能力。不能用求解單目標(biāo)決策問(wèn)題的方法求解多目標(biāo)決策問(wèn)題。 6-4 多目標(biāo)決策問(wèn)題的分類1）多屬性決策問(wèn)題（有限方案多目

16、標(biāo)決策問(wèn)題）決策變量是離散的備選方案數(shù)量是有限的對(duì)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)后排定各方案的優(yōu)劣次序，再?gòu)闹袚駜?yōu)。2）多目標(biāo)決策問(wèn)題（無(wú)限方案多目標(biāo)決策問(wèn)題）決策變量是連續(xù)的備選方案是無(wú)限的用線性規(guī)劃理論，進(jìn)行向量?jī)?yōu)化，選取最優(yōu)方案多屬性決策問(wèn)題和多目標(biāo)決策問(wèn)題，都是多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。6-5 多目標(biāo)決策的求解過(guò)程第一步，提出問(wèn)題。第二步，闡明問(wèn)題。第三步，構(gòu)造模型。第四步，分析評(píng)價(jià)。第五步，擇優(yōu)實(shí)施。1）提出問(wèn)題第一步，提出問(wèn)題。目標(biāo)高度概括。2）闡明問(wèn)題第二步，闡明問(wèn)題。使目標(biāo)具體化，要確定衡量各目標(biāo)達(dá)到程度的標(biāo)準(zhǔn)。即屬性以及屬性值的可獲得性，清楚地說(shuō)明問(wèn)題的邊界與環(huán)境。3）構(gòu)造模型第三步，構(gòu)造模型。選擇

17、決策模型的形式，確定關(guān)鍵變量以及這些變量之間的邏輯，估計(jì)各種參數(shù)，并在上述工作的基礎(chǔ)上產(chǎn)生各種備選方案。4）分析評(píng)價(jià)第四步，分析評(píng)價(jià)。利用模型并根據(jù)主觀判斷，采集或標(biāo)定各備選方案的各屬性值，并根據(jù)決策規(guī)則進(jìn)行排序或優(yōu)化。5）擇優(yōu)實(shí)施第五步，擇優(yōu)實(shí)施。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，選擇優(yōu)化方案，付諸實(shí)施。6-6 多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的求解1)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的圖解法例6-8 Min S = d1+ X1+2X2+ d1- d1+ = 10 X1+2X2 6 X1+X2 4 X1,X2,d1-, d1+ 0 x1x204681021342X1+2X2 6x1x204681021342X1+X2 4x1x204681021

18、342x1x204681021342x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時(shí) d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2=105d1-AB(2,2)當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時(shí) d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 25d1-AB(2,2)當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時(shí) d1+ = 0 x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 45d1-AB

19、(2,2)有無(wú)窮多解：點(diǎn)（0，3）和點(diǎn)（2，2）連線上的點(diǎn)都是最優(yōu)解。(0,3)x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 65d1-AB(2,2)有無(wú)窮多解：點(diǎn)（4，0）和點(diǎn)（0，2）連線上的點(diǎn)都是最優(yōu)解。(0,3)(4,0)(0,2)x1x204681021342x1+2x2+d1- = 10 d1- = 75d1-AB(2,2)有無(wú)窮多解：點(diǎn)（1，1）和點(diǎn)（0，3/2） （3，0）連線上的點(diǎn)都是最優(yōu)解。(0,3)(4,0)(1,1)例6-9 Min S=P1d1-+P2d2+5 P3d3-+ P3d1+ X1+X2+ d1- d1+=40 X1+X2 + d

20、2- d2+=50 X1 + d3- =30 X2+ d4- =30 X1,X2,dI-, dI+ 0(I=1,2,3,4)x1x2020304050101030402050d1-d1+X1+X2=40 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-X1+X2=50 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-X1=30 x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-d4-X2=30 x1x2020304050101030402050d1+d2+d2-d3-d4-Min d1- = 0可行域如圖x

21、1x2020304050101030402050d1+d2-d3-d4-Min d2+ =0可行域如圖x1x2020304050101030402050d1+d2-d4-Min d3- = 0 線段AB是可行域ABx1x2020304050101030402050d2-d4-Min d1+ = 0P=(30,10)唯一最優(yōu)解。 d2- =10 d4- = 20P例6-10 Min S=P1d1-+P2d2+ P3d3-+ P3d4- 5X1+10X2+ d1- d1+=100 2X1 + X2 + d2- d2+=14 X1 + d3- d3+=6 X2+ d4- d4+=10 X1,X2,d

22、i-, di+ 0(i=1,2,3,4)x1x20101520255515201025d1+d1-5X1+10X2=100 x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-2X1 +X2 =14x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-X1 =6x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-X2=10 x1x20101520255515201025d1+d2+d2-d3+d3-d4+d4-Min d1- = 0 x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d3-d4

23、+d4-Min d2+ = 0可行域如圖x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+d4-Min d3- =0可行域?yàn)榭杖鐖Dx1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Min d3- 0Min d4- = 0可行域如圖d3-(2,10)x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Min d3- = 0Min d4- 0可行域?yàn)榭杖鐖Dd4-對(duì)于目標(biāo)P1與目標(biāo)P2很容易達(dá)到。目標(biāo)P3的兩個(gè)指標(biāo)不能同時(shí)滿足，否則無(wú)解。又因?yàn)镻3中的兩個(gè)目標(biāo)同樣重要，要討論 （1）Min d3-=0 Min d4- 0 原問(wèn)題無(wú)解。（2）

24、Min d3- 0 Min d4-=0原問(wèn)題(2,10)是次優(yōu)解。例6-11 Min S=P1d1-+P1d2- X1 +d1- d1+=15 4X1 + 5X2 + d2- d2+=200 3X1 +4X2 120 X1 -2X2 15 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2)x1x2020304050101030402050d1+d1-X1=15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-4X1 + 5X2 =200 x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-3X1 +4X2 120 x1x2020304050101030

25、402050d1+d1-d2+d2-X1 -2X2 15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-x1x2020304050101030402050d1+d2+同時(shí)考慮 d1- =0, d2- =0 原問(wèn)題無(wú)解。2) 層次分析法（AHP法）層次分析法概述層次分析法的基本步驟層次分析法的應(yīng)用層次分析法的發(fā)展(1) 層次分析法概述層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP）是20世紀(jì)70年代由美國(guó)學(xué)者薩蒂最早提出的一種多目標(biāo)評(píng)價(jià)決策法。將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的評(píng)價(jià)決策思維過(guò)程數(shù)學(xué)化,保持決策者思維的一致性。先分解后綜合的系統(tǒng)思想在決策中

26、使用AHP法的優(yōu)點(diǎn)：適用性 選擇和判斷 反映了對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)潔性 應(yīng)用只需掌握簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 特征: 分解、判斷、綜合實(shí)用性 定性與定量結(jié)合 優(yōu)化技術(shù) 應(yīng)用范圍廣系統(tǒng)性 復(fù)雜問(wèn)題 系統(tǒng)的各個(gè)組成部分與相互關(guān)系(2) 層次分析法的基本步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗(yàn)；層次總排序及一致性檢驗(yàn)。建立層次結(jié)構(gòu)模型多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)一般可以分成三層，即目標(biāo)層，準(zhǔn)則層和方案層。目標(biāo)層：解決問(wèn)題要想達(dá)到的目標(biāo)。準(zhǔn)則層：針對(duì)目標(biāo)，評(píng)價(jià)各方案時(shí)所考慮的各個(gè)子目標(biāo)（因素或準(zhǔn)則），可以逐層細(xì)分。方案層：解決問(wèn)題的方案。分解法：目的 分目標(biāo)(準(zhǔn)則) 指標(biāo)(子準(zhǔn)則) 方案 解釋結(jié)構(gòu)模型化方法(ISM

27、法)例：購(gòu)買某型號(hào)設(shè)備在功能、價(jià)格、維護(hù)三個(gè)方面進(jìn)行考慮例 挑選合適的研究工作有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生，該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型。 層次結(jié)構(gòu)往往用結(jié)構(gòu)圖形式表示，圖中標(biāo)明上一層次與下一層次要素之間的聯(lián)系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯(lián)系，稱為完全相關(guān)結(jié)構(gòu)。如上一層每一要素都有各自獨(dú)立的、完全不相同的下層要素，稱為完全獨(dú)立性結(jié)構(gòu)由上述兩種結(jié)構(gòu)結(jié)合的混合結(jié)構(gòu) 完全相關(guān)結(jié)構(gòu) 完全獨(dú)立性結(jié)構(gòu) 混合結(jié)構(gòu) 判斷矩陣判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是計(jì)算各要素權(quán)重的重要依據(jù)。建立判斷矩陣假設(shè)在準(zhǔn)則H下要素 的權(quán)重分別為 ，即 表示以判斷準(zhǔn)則H 的角度考慮要素 對(duì) 的相對(duì)重

28、要程度。對(duì)于準(zhǔn)則H，對(duì)下一層的n個(gè)要素 進(jìn)行兩兩比較，來(lái)確定矩陣的元素值 應(yīng)該滿足： 判斷尺度判斷矩陣中的元素 是表示兩個(gè)要素的相對(duì)重要性的數(shù)量尺度，稱做判斷尺度，其取值如表所示。選擇19之間的整數(shù)及其倒數(shù)作為aij取值的主要原因是，它符合人們進(jìn)行比較判斷時(shí)的心理習(xí)慣實(shí)驗(yàn)心理學(xué)表明，普通人在對(duì)一組事物的某種屬性同時(shí)作比較、并使判斷基本保持一致時(shí)，所能夠正確辨別的事物最大個(gè)數(shù)在59 判斷矩陣標(biāo)度定義標(biāo)度含義1兩個(gè)要素相比，具有同樣重要性3兩個(gè)要素相比，前者比后者稍微重要5兩個(gè)要素相比，前者比后者明顯重要7兩個(gè)要素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9兩個(gè)要素相比，前者比后者極端重要2，4，6，8上述相鄰判斷

29、的中間值倒數(shù)兩個(gè)要素相比，后者比前者的重要性標(biāo)度相對(duì)重要度及判斷矩陣的最大特征值的計(jì)算(單排序)在應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)評(píng)價(jià)和決策時(shí)，需要知道Ai關(guān)于H 的相對(duì)重要度，也就是Ai關(guān)于H 的權(quán)重由于判斷矩陣A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，再經(jīng)過(guò)歸一化處理，即可求出Ai關(guān)于H的相對(duì)重要度求A的最大特征值和其對(duì)應(yīng)的特征向量單位化權(quán)重向量W(a)求和法(算術(shù)平均法) A的元素按列歸一化將歸一化后的各列相加將相加后的向量歸一化（b）方根法(幾何平均法) A的元素按行相乘開n次方歸一化(c)特征根方法 由正矩陣的Perron定理可知 存在且唯一，W

30、的分量均為正分量，可以用冪法求出 及相應(yīng)的特征向量W。該方法對(duì)AHP的發(fā)展在理論上有重要作用。(d)最小二乘法 用擬合方法確定權(quán)重向量 ，使殘差平方和為最小，這實(shí)際是一類非線性優(yōu)化問(wèn)題。 普通最小二乘法 對(duì)數(shù)最小二乘法 求特征值：相容性（一致性）判斷根據(jù)矩陣?yán)碚?，判斷矩陣在滿足上述一致性的條件下，n階矩陣具有唯一非零的、也是最大的特征值 ，其余特征值均為零。 W 是矩陣A 的對(duì)應(yīng)于特征值n 的特征向量。 由于判斷矩陣的三個(gè)性質(zhì)中的前兩個(gè)容易被滿足，第三個(gè)“一致性“則不易保證。如判斷矩陣A被判斷為A有偏差，則稱A為不相容判斷矩陣，這時(shí)就有 若矩陣A 完全相容，則有max=n ，否則maxn 這樣

31、就提示我們可以用max-n的關(guān)系來(lái)度量偏離相容性的程度。度量相容性的指標(biāo)為C.I. 一般情況下，若C.I.0.10，就可認(rèn)為判斷矩陣A有相容性，據(jù)此計(jì)算的W 是可以接受的，否則重新進(jìn)行兩兩比較判斷。一致性檢驗(yàn)：判斷矩陣的維數(shù)n越大，判斷的一致性將越差，為克服一致性判斷指標(biāo)隨n增大而明顯增大的弊端，于是引入修正值R.I. ，見下表：n12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49R.I.是同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo) C.R .作為衡量判斷矩陣一致性的指標(biāo)更為合理的 C.R.0.1時(shí)，便認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性綜合重要度的計(jì)算最終歸結(jié)為最低層（方

32、案、措施、指標(biāo)等）相對(duì)于最高層（總目標(biāo)）相對(duì)重要程度的權(quán)值或相對(duì)優(yōu)劣的次序。(3) 層次分析法的應(yīng)用例1 購(gòu)買某型號(hào)設(shè)備在功能、價(jià)格、維護(hù)三個(gè)方面進(jìn)行考慮對(duì)準(zhǔn)則G的G-C矩陣G C1C2C3 WC1 153max=3.038 0.6333C21/511/3 C.I.=0.019 0.1061C31/331 C.R.=0.03 0.2604對(duì)準(zhǔn)則C1的C1-P矩陣C1P1P2P3 WP111/42 max=3 0.1818P2418C.I.=0 0.7272P31/21/81C.R.=0 0.0910對(duì)準(zhǔn)則C2的C2-P矩陣 C2 P1 P2 P3 WP1 1 4 1/3 max=3.0180.

33、2572P2 1/4 1 1/8 C.I.=0.009 0.0738P3 3 8 1 C.R.=0.0150.6690對(duì)準(zhǔn)則C3的C3-P矩陣 C3 P1 P2 P3 WP1 1 1 1/3 max=3.029 0.1867P2 1 1 1/5 C.I.=0.014 0.1577P3 3 5 1 C.R.=0.02 0.6555層次總排序：B C A C1 C2 C3 總排序結(jié)果 0.6333 0.10610.2604P1 0.1818 0.25720.18670.1910P2 0.72720.07380.15770.5094P3 0.09100.66900.65550.2993例2 設(shè)某高校

34、擬從三個(gè)候選人中選一人擔(dān)任中層領(lǐng)導(dǎo)候選人的優(yōu)劣用六個(gè)屬性去衡量：健康狀況業(yè)務(wù)知識(shí)書面表達(dá)能力口才道德水平工作作風(fēng)關(guān)于這六個(gè)屬性的重要性，有關(guān)部門設(shè)定的屬性重要性矩陣A為 111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311健康狀況 X Y ZX 1 1/4 1/2 max=3.0193 0.1429Y 4 1 3 C.R.=0.019 0.5714Z 2 1/3 1 0.2857業(yè)務(wù)知識(shí) X Y ZX 1 1/4 1/5 max=3.0258 0.0974Y 4 1 1/2 C.R.=0.025 0.3331Z 5 2 1 0.569

35、5書面表達(dá)能力 XYZX 13 1/3max=3.5607Y 1/3 11 C.R.=0.539 *Z 311調(diào)整判斷矩陣為： X Y ZX 1 3 1/3 max=3.0328 0.2583Y 1/3 1 1/5 C.R.= 0.032 0.1047Z 3 5 1 0.6370口才 X Y ZX 1 1/3 5 max=3.0651 0.2790Y 3 1 7 C.R.=0.062 0.6491Z 1/5 1/7 1 0.0719道德水平 X Y ZX 1 1 7 max=3.000.4667Y 1 1 7 C.R.=0.0000.4667Z 1/7 1/7 1 0.0667工作作風(fēng) X Y

36、 ZX 1 7 9 max=3.2074Y 1/7 1 5 C.R.=0.199 *Z 1/9 1/5 1調(diào)整為： X Y ZX 1 7 9 max=3.02130.7928Y 1/7 1 2 C.R.= 0.0200.1312Z 1/9 1/2 1 0.0760 健康狀況 業(yè)務(wù)知識(shí) 書面表達(dá)能力 口才 道德水平 工作作風(fēng) W=(0.3771,0.3148,0.30810)可知，應(yīng)選擇候選人X擔(dān)任該職務(wù)例3 挑選合適的研究工作 經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。 （層次總排序）如下表所示 準(zhǔn)則研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單

37、位名氣總排序準(zhǔn)則權(quán)值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79800.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.3052(4) 層次分析法的發(fā)展層次分析法對(duì)人們的思維過(guò)程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問(wèn)題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了有力的依據(jù)。AHP 方法經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對(duì)AHP的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法，像群組決策

38、、模糊決策和反饋系統(tǒng)理論近幾年成為該領(lǐng)域的一個(gè)新熱點(diǎn)。層次分析法其局限性主要表現(xiàn)在：它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過(guò)程中的嚴(yán)重非一致性，卻無(wú)法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。比較、判斷過(guò)程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問(wèn)題。只能從方案中選優(yōu)，不能生成方案。應(yīng)用層次分析法的注意事項(xiàng)應(yīng)用層次分析法研究問(wèn)題時(shí)，主要困難有兩個(gè)： 如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)； 如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際定量化處理。6.2目標(biāo)規(guī)劃方法6.2.1目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題問(wèn)題：能否化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題求解？如何處理各目標(biāo)的主次、輕重？6.2目標(biāo)規(guī)劃

39、方法例6.1 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤(rùn)、所消耗的原材料及設(shè)備工時(shí)、材料和設(shè)備工時(shí)的限額如下表所示。甲 乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時(shí)）2 33 22426利潤(rùn)（元/件）4 2產(chǎn)品消耗原料例6.1決策者根據(jù)市場(chǎng)需求等一系列因素，提出下列目標(biāo)（依重要程度排列）：首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量；盡可能充分利用工時(shí)，但又不希望加班；確保達(dá)到計(jì)劃利潤(rùn)30元。試對(duì)廠家生產(chǎn)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2件。6.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃是求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法之一。目標(biāo)規(guī)劃的基本方法對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)引進(jìn)一個(gè)期望值；引入正、負(fù)偏差變量，表示實(shí)際值與期望值的偏差，并將

40、目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組；引入目標(biāo)的優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題求解。 6.2目標(biāo)規(guī)劃方法1、目標(biāo)函數(shù)的期望值ek對(duì)于多目標(biāo)線性規(guī)劃的每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值Zk(k=1, 2, , K)，根據(jù)實(shí)際情況和決策者的希望，確定一個(gè)期望值ek 。在例6.1中乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的目標(biāo)值可定為0；生產(chǎn)工時(shí)的目標(biāo)值為26（工時(shí)）；利潤(rùn)的目標(biāo)值為30（元）。6.2目標(biāo)規(guī)劃方法2、正負(fù)偏差變量對(duì)每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，分別引入正、負(fù)偏差變量 正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過(guò)和低于期望值的數(shù)值。引入偏差變量之后，目標(biāo)就變成了約束條件，成為約束條件

41、組的一部分。6.2目標(biāo)規(guī)劃方法在例6.1中，令：d1+, d1-分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過(guò)和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；d2+, d2-分別表示生產(chǎn)工時(shí)超過(guò)和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量； d3+, d3-分別利潤(rùn)超過(guò)和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；則三個(gè)目標(biāo)可化為含有偏差變量的約束條件6.2目標(biāo)規(guī)劃方法3、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）和權(quán)系數(shù)如何區(qū)別不同目標(biāo)的主次輕重？凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P1，次位的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P2，并規(guī)定PkPk+1（表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)，Pk+1級(jí)目標(biāo)是在保證Pk 級(jí)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上才能考慮的）（k1,2，K）為區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個(gè)目標(biāo)的差別，可分別

42、賦于它們不同的權(quán)系數(shù)j優(yōu)先等級(jí)及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定。6.2目標(biāo)規(guī)劃方法4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)由各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成。注：目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)是對(duì)各目標(biāo)的偏差的綜合（將多目標(biāo)化為單目標(biāo)），在目標(biāo)函數(shù)中不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最?。?、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))當(dāng)每一目標(biāo)值確定后，決策者的要求是偏差變量盡可能小，因此其目標(biāo)函數(shù)只能是極小形式，具體有以下三種基本形式：要求恰好達(dá)到目標(biāo)值(正、負(fù)偏差都要盡可能小)要求不超過(guò)目標(biāo)值(正偏差應(yīng)盡可能小)要求不低于目標(biāo)值(負(fù)偏差應(yīng)盡可能小)6.2目標(biāo)規(guī)劃方法在例6.1中，

43、首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，賦于優(yōu)先因子P1，目標(biāo)為d1-盡可能小；次級(jí)目標(biāo)是生產(chǎn)工時(shí)恰好達(dá)到目標(biāo)值，賦于優(yōu)先因子P2，目標(biāo)為d2-和d2都要??；最后的目標(biāo)是利潤(rùn)不低于30元，賦于優(yōu)先因子P3，目標(biāo)為d3-盡可能?。灰虼?，可構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)如下：6.2目標(biāo)規(guī)劃方法例6.1的目標(biāo)規(guī)劃模型為：6.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃的一般模型6.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃的建模步驟（1）假設(shè)決策變量；（2）建立約束條件；（3）建立各個(gè)目標(biāo)函數(shù)；（4）確定各目標(biāo)期望值，引入偏差變量，將目標(biāo)函數(shù)化為約束方程；（5）確定各目標(biāo)優(yōu)先級(jí)別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)。 6.3化多為少方法對(duì)單層次多目標(biāo)決策模型其中f1(x

44、), f2(x), , fm(x)表示m個(gè)目標(biāo)函數(shù)，X表示滿足某些約束條件的n維點(diǎn)集。 處理方法：（1）化為一個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題 （2）化為多個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題。 例6.5某廠在計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。產(chǎn)品資源甲 乙資源限額原材料A（公斤）原材料B（公斤）設(shè)備C（工時(shí)）4 59 4310200240300價(jià)格（元/件）400600利潤(rùn)（元/件）70 120污染3 2例6.5設(shè)產(chǎn)品能全部銷售出去問(wèn)：計(jì)劃期應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使利潤(rùn)和產(chǎn)值都達(dá)到最大，而造成的污染最小？解：設(shè)計(jì)劃期分別生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品x1、x2件，則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：6.3化多為少方法6.3.1主要目標(biāo)法主要目標(biāo)所有決策目標(biāo)中，重要程度最高和

45、最為關(guān)鍵的目標(biāo)。主要目標(biāo)要求達(dá)到最優(yōu)。其余目標(biāo)作為非主要目標(biāo)，滿足一定條件即可（滿意）。設(shè)f1(x)為主要目標(biāo)，則由：可以得到（6.3）的一個(gè)有效解。例6.5決策者確定以利潤(rùn)最大為主要目標(biāo)并要求：總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000元，污染量則應(yīng)控制在90個(gè)單位以下。由主要目標(biāo)法可得到單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：6.3化多為少方法6.3.2線性加權(quán)和法給目標(biāo)fi(x)賦以權(quán)系數(shù)i（i=1, 2, , m）然后作新的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成單目標(biāo)決策問(wèn)題：難點(diǎn)：如何使多個(gè)目標(biāo)用同一尺度統(tǒng)一起來(lái)（多種方法在下一章中介紹，可以將各目標(biāo)統(tǒng)一作效用值度量）；如何選擇合理的權(quán)系數(shù)。6.3.2線性加權(quán)和法1.法 以兩個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)決策問(wèn)題為

46、例記：（即x(1)、 x(2)分別為以f1(x)和f2(x)目標(biāo)的單目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解）6.3.2線性加權(quán)和法1.法 化作單目標(biāo)決策問(wèn)題要求：c1是任意的非零常數(shù)。即可確定權(quán)系數(shù)。若進(jìn)一步要求1+ 2=1，可得：例6.7設(shè)有多目標(biāo)決策問(wèn)題其中：試用法化為單目標(biāo)決策問(wèn)題。解：先分別求解得： x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T例6.7x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T則：對(duì)目標(biāo)進(jìn)行線性加權(quán)：化為單目標(biāo)問(wèn)題：6.3.2線性加權(quán)和法2.法 對(duì)多目標(biāo)決策問(wèn)題取：化為單目標(biāo)決策問(wèn)題：適用條件：fi*06.3化多為少方法6.3.3平方和加權(quán)法要求目標(biāo)fi(x)與規(guī)定值fi*

47、相差盡量小（i=1, 2, , m），可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：構(gòu)成單目標(biāo)決策問(wèn)題：i 權(quán)系數(shù)，可按要求的相差程度分別給出。6.3化多為少方法6.3.4理想點(diǎn)法記：稱為理想點(diǎn)。若所有x(i)都相同，記為 x(0)，則x(0)就是所求的多目標(biāo)決策問(wèn)題的最優(yōu)解；若不然，則考慮求解下面的單目標(biāo)決策問(wèn)題：例6.7x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T用理想點(diǎn)法化為單目標(biāo)決策問(wèn)題構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)6.3化多為少方法6.3.5步驟法（STEM法）是逐步迭代的方法，也稱逐步進(jìn)行法、對(duì)話式方法。在求解過(guò)程中，每進(jìn)行一步，分析者就把計(jì)算結(jié)果告訴決策者，決策者對(duì)計(jì)算結(jié)果作出評(píng)價(jià)。若認(rèn)為已滿意了，則迭代停止；否則分析

48、者再根據(jù)決策者的意見進(jìn)行修改和再計(jì)算，如此直到求得決策者認(rèn)為滿意的解為止。6.3.5步驟法（STEM法）設(shè)有多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題：其中6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：分別求解k個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值記為fi*（i=1, 2, , k），并x(i)代入其它目標(biāo)函數(shù)：結(jié)果可列表給出（稱為支付表）。STEM法支付表x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到為找出目標(biāo)值的偏差以及消除不同目標(biāo)

49、值的量綱不同的問(wèn)題，進(jìn)行如下處理：歸一化后得權(quán)系數(shù)：6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求解（使目標(biāo)與理想值的最大加權(quán)偏差最小）該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解記為x0 。6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：將x0 和相應(yīng)的目標(biāo)值交給決策者判斷。決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，若認(rèn)為滿意了，則可停止計(jì)算；若認(rèn)為相差太遠(yuǎn)，則考慮適當(dāng)修正 。如：考慮對(duì)第r個(gè)目標(biāo)讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目標(biāo)值fr 。6.3.5步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟：求解求得解后，再與決策者對(duì)話，如此重復(fù)，直至決策者認(rèn)為滿意了為止。例6.9某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽(yáng)能電池，生產(chǎn)過(guò)程會(huì)在空氣中

50、引起放射性污染，因此決策者有兩個(gè)目標(biāo)：極大化利潤(rùn)與極小化總的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是1單位，由于機(jī)器能力（小時(shí)）、裝配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（ x1、x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）：例6.9該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：例6.9STEM法求解先分別求解得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0例6.9STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=

51、(0, 0)T00例6.9STEM法求解求權(quán)系數(shù)：從支付表中得到歸一化后得權(quán)系數(shù)：例6.9STEM法求解求解最優(yōu)解為x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 例6.9STEM法求解將x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交給決策者判斷。決策者將其與理想值（45.5, 0）進(jìn)行比較后，認(rèn)為f2 是滿意的，但利潤(rùn)太低。且認(rèn)為可以接受污染值為10個(gè)單位。修改約束集求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=-10 決策者認(rèn)為滿意，停止迭代。 6.4 多維效用并合方法6.4.1 多維效用并合

52、模型多目標(biāo)決策問(wèn)題其目標(biāo)屬性的特點(diǎn)：目標(biāo)間的不可公度性即：對(duì)各目標(biāo)的評(píng)價(jià)沒(méi)有統(tǒng)一的量綱，不能用同一標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)。目標(biāo)間的矛盾性提高某一目標(biāo)值，可能會(huì)損害另一目標(biāo)值。多維效用并合方法是解決目標(biāo)間的不可公度性和矛盾性的一種有效途徑。6.4.1 多維效用并合模型設(shè)多目標(biāo)決策方案有m個(gè)可行方案：a1， a2，.，am有s個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，測(cè)定和計(jì)算s個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的效用函數(shù)為：u1， u2，.，us得到這m個(gè)可行方案在s個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則下的效用值分別是：u1(ai )，u2(ai ) ，.，us(ai ) (i=1，2，.，m)6.4.1 多維效用并合模型多維效用并合方法為了從總體上表示可行方案ai 的總效用，需要通過(guò)某

53、種特定的方法和邏輯程序，將s個(gè)分效用合并為總效用，并依據(jù)各可行方案的總效用對(duì)其進(jìn)行排序。這一多目標(biāo)決策方法稱為多維效用并合方法。主要用于序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系Hv1w2w1v2w4w3vl wkwk-1u2u1ulul-1.usus-1.圖6.6 序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系6.4.1 多維效用并合模型圖6.6中：H表示可行方案的總效用值，即滿意度；v1，v2，.，vl 表示第二層子目標(biāo)的效用值；如此類推，w1，w2，.，wk 表示倒數(shù)第二層各子目標(biāo)的效用值；u1，u2，.，us 表示最低一層各準(zhǔn)則的效用值。6.4.1 多維效用并合模型效用并合過(guò)程從下到上，逐層進(jìn)行。最低一層各準(zhǔn)則的效用，經(jīng)過(guò)并

54、合得到： 符號(hào)“”表示按某種規(guī)則和邏輯程序進(jìn)行的效用并合運(yùn)算。6.4.1 多維效用并合模型多維效用并合的最滿意方案為a* ，其滿意度滿足：第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)的并合效用值：最后，可得可行方案ai 的滿意度為：6.4.2 多維效用并合規(guī)則在多目標(biāo)決策中，根據(jù)決策目標(biāo)的不同屬性，效用并合采取不同方式進(jìn)行。多維效用合并規(guī)則可由二維效用合并規(guī)則導(dǎo)出，故先討論二維效用合并規(guī)則。二維效用函數(shù)與二維效用曲面設(shè)效用u1，u2分別在區(qū)間0，1上取值，二元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2)稱為二維效用函數(shù)，其定義域是坐標(biāo)平面u1，u2上的一個(gè)正方形，稱為二維效用平面，其值域是W軸上的區(qū)間0，1，曲面W

55、=W(u1，u2)稱為二維效用曲面。6.4.2 多維效用并合規(guī)則多維效用函數(shù)與多維效用曲面設(shè)效用u1，u2，.，un 分別在區(qū)間0，1上取值，n元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2，.，un)稱為n維效用函數(shù)。其定義域是n維效用空間u1，u2，.，un上有2n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體。其值域是0，1。曲面W=W(u1，u2，.，un)稱為n維效用曲面。6.4.2 多維效用并合規(guī)則1. 距離規(guī)則稱滿足以下條件的并合規(guī)則為距離規(guī)則：當(dāng)二效用同時(shí)達(dá)到最大值時(shí)，并合效用達(dá)到最大值1，即： W(1，1)=1；當(dāng)二效用同時(shí)取最小值時(shí)，并合效用取零效用值(最小值)，即： W(0，0)=0 ；二效用之一達(dá)到最大值，均不能使并

56、合效用達(dá)到最大值，即：0W(u1，1)1， 0u110W(1，u2)1， 0u20時(shí)，近似于乘法規(guī)則形式： 6.4.3 多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例多維效用并合方法是多目標(biāo)決策的一種實(shí)用方法，在經(jīng)濟(jì)管理、項(xiàng)目評(píng)價(jià)、能源規(guī)劃、人口控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。例：“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”實(shí)例經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析測(cè)算，我國(guó)人口發(fā)展周期應(yīng)是人均壽命70年，制定控制人口目標(biāo)，宜以100年為時(shí)間范圍。需要確定100年內(nèi)，我國(guó)人口控制最合理的總目標(biāo)是多少。例：“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”方案：對(duì)我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)的14個(gè)方案進(jìn)行決策分析，即我國(guó)總?cè)丝诜謩e控制為2億、3億、4億、5億、6億、7億、8億、9億、10億、11億、12億、13億、1

57、4億、15億14個(gè)人口方案，分別記為ai (i=1, 2, , 14),其滿意度分別為Hi (i=1, 2, , 14)。例：“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”各國(guó)對(duì)比u9我國(guó)人口總目標(biāo)HV1V2吃用v1實(shí)力v2用w2吃w1糧食u1魚肉u2空氣u4水u5能源u6土地u3最低總和生育率u8GNPu7目標(biāo)準(zhǔn)則體系例：“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”效用并合1、u1（糧食）、u2（魚肉）并合為w1宜用乘法規(guī)則：w1 u1 u22、 u3（土地）、 u4（空氣）、 u5（水）并合為w2宜用乘法規(guī)則w2 u3 u4 u53、 u6（能源）、 u7（GNP）并合為v2宜用乘法規(guī)則v2 u7 u84、u8（min）、 u9（各國(guó)對(duì)比）并

58、合為V2宜用乘法規(guī)則V2 u8 u9 例：“我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)”效用并合5、w1（吃）、w2（用）并合為v1宜用加法規(guī)則：v1 w1 + (1- ) w26、 v1（吃用）、 v2（實(shí)力）并合為V1宜用加法規(guī)則：V1 v1 + (1- ) v27、 V1、 V2并合為H宜用乘法規(guī)則：H V1 V2得：6.5 層次分析方法AHP方法是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty于20世紀(jì)70年代提出的，AHP決策分析法是Analytic Hierarchy Process的簡(jiǎn)稱。是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法。AHP決策分析法，能有效地分析非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系，是解決復(fù)雜的非結(jié)構(gòu)化的經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題

59、的重要方法，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要方法之一。例6.10科研課題的綜合評(píng)價(jià)綜合評(píng)價(jià)科研課題成果貢獻(xiàn)人才培養(yǎng)可行性發(fā)展前景實(shí)用價(jià)值科技水平優(yōu)勢(shì)發(fā)揮難易程度研究周期財(cái)政支持經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益6.5.1AHP方法的基本原理首先要將問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次模型。1.遞階層次模型根據(jù)系統(tǒng)分析的結(jié)果，弄清系統(tǒng)與環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)所包含的因素，因素之間的相互聯(lián)系和隸屬關(guān)系等。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個(gè)層次，同一層次的元素既對(duì)下一層次元素起著制約作用，同時(shí)又受到上一層次元素的制約。1.遞階層次模型AHP的層次結(jié)構(gòu)既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般

60、將層次分為三種類型：最高層：只包含一個(gè)元素，表示決策分析的總目標(biāo)，也稱為總目標(biāo)層。中間層：包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各子目標(biāo)，也稱為目標(biāo)層。最低層：表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱為方案層。 1.遞階層次模型H.A1A2An-1AnG11G12G1n-1G1n最高層中間層最低層G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)圖1.遞階層次模型相鄰兩層元素之間的關(guān)系用直線標(biāo)明，稱之為作用線，元素之間不存在關(guān)系就沒(méi)有作用線。若某元素與相鄰下一層次的所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次的部分元素有關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。實(shí)際中，模型的層次