專題06 圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型（學(xué)生版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

1、專題06 圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：圓錐曲線的第三定義：平面內(nèi)的動點到兩定點的斜率乘積等于常數(shù)點的軌跡叫做橢圓或雙曲線,其中兩個定點為橢圓和雙曲線的兩個頂點.其中如果常數(shù)時，軌跡為雙曲線，如果時，軌跡為橢圓。圓錐曲線的第三定義的有關(guān)結(jié)論：1.橢圓方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1).AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.(2).橢圓的方程為（ab0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有(3). 橢圓的方程為（ab0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有(4). 橢圓的方程為（ab0），過原點的直線

2、交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有2.雙曲線方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1)AB是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。(2)雙曲線的方程為（a0，b0），為雙曲線的實軸頂點，P點是雙曲線上異于實軸頂點的任一點，則有(3)雙曲線的方程為（a0，b0），為雙曲線的虛軸端點，P點是雙曲線上異于虛軸端點的任一點，則有(4) 雙曲線的方程為（a0，b0），過原點的直線交雙曲線于兩點，P點是雙曲線上異于兩點的任一點，則有【考點精選例題精析】：例1（2021全國）已知橢圓，分別為橢圓的左右頂點，若在橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【分析】設(shè)，得

3、到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因為，所以.故選：A.例2（2021全國高二課時練習(xí)）已知，是雙曲線上不同的三點，且點A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【分析】設(shè)出點，點的坐標(biāo)，求出斜率，將點，的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合，即可求得離心率【詳解】設(shè)，因為點A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，根據(jù)雙曲線的對稱性，則，所以因為點A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以故選：D.例3（2021吉林高三期末（文）已知雙曲線：與直線交于，兩點，點為上一動點，記直線，的斜率分別

4、為，的左右焦點分別為，.若，且的焦點到漸近線的距離為1，則（ ）AB的離心率為C若，則的面積為2D若的面積為，則為鈍角三角形【答案】D【分析】設(shè)點A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用點差法求解直線的斜率，得到a、b關(guān)系，通過點到直線的距離求解c，求出a，b，即可推出離心率，判斷A，B的正誤；設(shè)P在雙曲線的右支上，記 則 ，利用，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，判斷C；設(shè)P(x0，y0)，通過三角形的面積求解P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理，判斷三 角形的形狀，判斷D.【詳解】設(shè)點A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)則，且，兩式相減得，所以，因為，所以，

5、故雙曲線C的漸近線方程因為焦點(c，0)到漸近線的距離為1，所以，所以，離心率為，故A，B錯誤對于C，不妨設(shè)P在右支上, 記 則 因為 , 所以 解得 或 (舍去）, 所以 的面積為，故C不正確；對于D，設(shè)P(x0，y0)，因為，所以，將帶入C：，得，即由于對稱性，不妨取P得坐標(biāo)為(，2)，則，因為所以PF2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確故選：D例4（2021全國高三（理）已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面積為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）我們稱圓心在橢圓上運動，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點，若直線，

6、的斜率存在，記為，求證：為定值；試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由【答案】（1）；（2），【分析】（1）依題意列方程組，即可求解；（2）設(shè)橢圓的“衛(wèi)星圓”的圓心為，由切線條件得，化簡即可求得為定值；設(shè)由題意得，由于，所以，根據(jù)距離公式即可求得結(jié)果【詳解】（1）依題意得，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）直線，的方程分別為，設(shè)橢圓的“衛(wèi)星圓”的圓心為因為直線，為“衛(wèi)星圓”的兩條切線，則，化簡得，所以，為方程的兩根，故又因為，所以，故為定值；設(shè)，由 ，則由于，所以，得所以為定值例5（2019全國卷2理科數(shù)學(xué)第21題）已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM

7、的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PEx軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為由得記，則于是直線的斜率為，方程為由得設(shè)，則和是方程的解，故，由此得從而直線的斜率為所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面積設(shè)t=k+，則由k0得t2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號因為在2，+）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時，S取

8、得最大值，最大值為因此，PQG面積的最大值為例6.（成都市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試）已知橢圓的左,右焦點分別為 ，經(jīng)過點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于 ，兩點，的周長為8.求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓上的一點作斜率為，（，）的兩條直線分別與橢圓相交于異于點的，兩點.若，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，求的值【答案】 （1） （2）.【解析】解:(I)，.的周長為8，.，橢圓的方程為.（2）設(shè)，.，.，兩式相減，得，【達(dá)標(biāo)檢測】：1（2021全國高三月考（理）設(shè)直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線（是坐標(biāo)原點）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【分

9、析】因為點，在雙曲線上，利用點差法將點代入雙曲線做差化簡結(jié)合題意可得，利用的平方關(guān)系可求出離心率.【詳解】設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，即因為點，在雙曲線上，所以有，化簡可得：，所以有，離心率為故選：D2（2021內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中高二期末（理）若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)給定條件確定出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解.【詳解】顯然函數(shù)的圖象過原點，而雙曲線的漸近線也過原點，依題意，原點必為雙曲線的某條漸近線與函數(shù)的圖象相切的切點，由求導(dǎo)得，即有，于是得，雙曲線半焦距c，所以雙曲線的離心率為.故選：D3（20

10、22全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的長軸長為4，若點P是橢圓C上任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，記直線PM、PN的斜率分別為，當(dāng)時，則橢圓方程為（）ABCD【答案】D【分析】設(shè)，則，設(shè)直線l方程為，由得，聯(lián)立可得，由點P的任意性知，即可求得橢圓方程.【詳解】由長軸長為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，則，由得，即，所以，又P在橢圓上，所以，即，代入式得，即，因為點P為橢圓上任意一點，所以該式恒成立與無關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為故選：D【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓

11、聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題4（2021河南高二期中（理）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓：（），且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【分析】先表示出直線，斜率，利用，斜率之積的范圍為，得到的范圍 ，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.【詳解】平行四邊形內(nèi)接于橢圓，假設(shè)不關(guān)于原點對稱，過點作互相平行的兩條直線，分別交橢圓于兩點，則由橢圓的對稱性，, 這與條件不符合.所以由橢圓的對稱性可得關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱.設(shè)，直線的斜率，直線的斜率，則，又，都在橢圓上，則，又，故選：.5（2021荊州市沙市

12、第五中學(xué)高二期中）過原點的直線與橢圓：交于，兩點，是橢圓上異于，的任一點.若直線，的斜率之積為，則橢圓的方程可能為（ ）ABCD【答案】B【分析】設(shè)，求得的斜率，根據(jù)直線的斜率之積為列方程，求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，所以即.故選：B.6.（百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆高三三月聯(lián)考）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且， 斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論得：，7.（四川省成都市2019屆高三第一次診斷性考試，理科，12）設(shè)橢圓的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP,BP的斜率分別

13、為m,n，則當(dāng)取得最小值時，橢圓C的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，點P在雙曲線上，得，所以，化簡原式所以設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可以得到： 時，函數(shù)取得最小值=，。8（2022全國高三專題練習(xí)）過點M(2，0)的直線m與橢圓y21交于P1，P2兩點，線段P1P2的中點為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k10)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為_【答案】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出點的坐標(biāo)，表示出直線的斜率，從而求出的值【詳解】設(shè)直線的方程為：， 由，整理得：，所以，所以，所以，所以.故答案為：.9（2022全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1(c，0

14、)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點若ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為_【答案】【分析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，帶入橢圓方程作差，利用重心坐標(biāo)公式，求得，代入上式，即可求解.【詳解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得0.(*)因為ABF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以，即a23b2，所以橢圓C的離心率e.故答案為：10(四川省蓉城名校高中2018屆高三4月份聯(lián)考)已知橢圓： 的長軸長為， ， 是其長軸頂點， 是橢圓上異于， 的動點，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若動點在直線上，直線， 分別交橢圓于， 兩點.請問：直線是否

15、過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意知則，設(shè)， ， ，則 ，由，則，則，則，由此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則直線的方程為；則直線的方程為聯(lián)立得消去得： ，則，即代入直線的方程得，故.聯(lián)立得消去得： ，則，即代入直線的方程得，故.當(dāng)，即，則與軸交點為，當(dāng)，即時，下證直線過點，由 ，故直線過定點.11.(湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考）如圖,設(shè)點的坐標(biāo)分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積為（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡為,點是軌跡為上不同于的兩點,且滿足,求證：的面積為定值【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知設(shè)點的坐標(biāo)為,由

16、題意知,化簡得的軌跡方程為 （2）證明：由題意是橢圓上非頂點的兩點,且,則直線斜率必存在且不為0,又由已知因為,所以 設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得, 設(shè)的坐標(biāo)分別為,則 又, 所以,得 又,所以,即的面積為定值 312（2020江蘇揚州聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線的方程為分別為橢圓C的左、右焦點，A，B分別為橢圓C的左、右頂點（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），且，設(shè)直線AM，BN的斜率分別為，求的值【解析】（1）因為橢圓C的離心率為，所以，因為橢圓C的右準(zhǔn)線的方程為，所以，聯(lián)立，解得，所以，所以橢圓C

17、的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，因為過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點，所以，由，得，所以，因為，所以因為，所以，即，整理得，所以，又，所以，即，即，整理得因為直線AM，BN的斜率分別為，且，所以13（2020江蘇省淮陰中學(xué)高三月考）已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，為坐標(biāo)原點（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為橢圓上不同的兩點設(shè)線段的中點為點，證明：直線的斜率之積為定值；若兩點滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的值【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)，則，兩式相減得：的中點為，（3）解法l：由，因為，所以，代入式得直線的斜率為，設(shè)直線的方程：，聯(lián)立方程組，消得：，由，解得，且，由可得，到：的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，滿足，由可得，所以的值為解法2：設(shè)直線的方程：，聯(lián)立方程組，消得：， ，由，因為，所以，有，所以，解得，下同解法114（2021綏德中學(xué)高二月考（理）設(shè)橢圓的離心率，過點A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的左頂點，