第一章地球物理反演理論緒論課件

1、一、本課程的性質(zhì)和任務 性質(zhì)：地球物理反演理論是固體地球物理學專業(yè)的通開課程，通過本課程的學習加深學生對地球物理專業(yè)理論實質(zhì)的理解和認識。促進學生認識和理解本專業(yè)和相關專業(yè)的結(jié)合，從而拓寬學生的專業(yè)知識面，并對地球物理學專業(yè)的發(fā)展和現(xiàn)狀有新的認識 。任務：掌握地球物理反演理論的基本原理與方法（什么是反演問題、正演問題，線性反演方法原理，廣義反演方法，B-G反演理論，非線性反演問題）；能夠應用地球物理反演理論的基本原理與方法解決科研中的實際問題。二、本課程的內(nèi)容1、緒論2、參數(shù)化模型的最小長度解3、廣義反演法4、Backus-Gilbert反演理論 5、非線性反演方法緒論1，地球物理反演的研究對

2、象2，地球物理反演的發(fā)展簡史 3，地球物理反演的研究內(nèi)容和方法 地球物理反演的研究對象地球物理反演是在地球物理學中利用地球表面觀測到的物理現(xiàn)象推測地球內(nèi)部介質(zhì)物理狀態(tài)的空間變化及物性結(jié)構的一個分支。地球物理學可分為固體地球物理學和勘探地球物理學兩大方面，其理論上有一個共同的核心問題：如何根據(jù)地面上的觀測信號推測地球內(nèi)部與信號有關部位的物理狀態(tài)，如物理性質(zhì)、受力狀態(tài)或熱流密度分布等，這些問題就構成了地球物理反演的獨特研究對象。具體地說，地球物理反演研究的是各種地球物理方法中反演問題共同的數(shù)學物理性質(zhì)和解估計的構成和評價方法。它是從各個地球物理分支中抽象出來的邊緣學科。地球物理反演又可分為單一地球

3、物理現(xiàn)象的反演和多種地球物理現(xiàn)象的聯(lián)合反演。地球物理反演的發(fā)展簡史 如果把天然地震的震源參數(shù)的推測歸入地球物理反演范圍，那么我國東漢的科學家張衡應該是從事地球物理反演的先驅(qū)。牛頓根據(jù)萬有引力定律推測地球密度，開爾文研究地球的彈性和熱傳導，都是早期地球物理反演的范例。 地球物理學中反演問題的研究，在早期主要來自科學家對地球內(nèi)部構造的好奇心，并受到物理學與地質(zhì)學發(fā)展的推動。1880年美國學者J. A. Ewing 等人發(fā)明了近代地震儀，地震記錄的分析便提到日程上來，上世紀初，地震、地磁和重力的數(shù)據(jù)都有了一定程度的積累，地球物理數(shù)據(jù)的分析問題逐漸受到了重視，而定量的分析地球物理數(shù)據(jù)便導致了地球物理反

4、演問題的研究。 地球物理反演的發(fā)展簡史 Hergloz于1907年提出的地震走時數(shù)據(jù)反演；1909年A. Mohorovicic 發(fā)現(xiàn)莫霍面；1912年 Beno Gutenbeg 發(fā)現(xiàn)古登堡面；1947年第一臺電子數(shù)字計算機的誕生標志著科學技術的一場革命，對地球物理數(shù)據(jù)分析產(chǎn)生了巨大的推動作用；1950地球物理中的正演問題廣泛使用了電子計算機，而與正演計算關系緊密的試錯法和擬合法也隨之用計算機來實現(xiàn)；1967年-70年,美國地球物理學家Backus 和應用數(shù)學家Gilbert創(chuàng)建BG 理論，BG理論在70年代后期逐漸普及；90年代非線性理論在自然科學的各個領域都成為研究前沿；目前聯(lián)合反演理論

5、及其應用。 地球物理反演的研究內(nèi)容和方法 地球物理反演的出發(fā)點是描述地球內(nèi)部發(fā)生的物理現(xiàn)象滿足的數(shù)學物理方程。數(shù)學家稱為偏微分方程，物理學家稱之為運動方程或場方程對運動方程的研究和證實是物理學方法論的核心!。典型的物理學研究方法如下圖 ：地球物理反演的研究內(nèi)容和方法1，運動方程2，地球物理數(shù)據(jù)3，介質(zhì)模型和激發(fā)模型4，上述3方面的總體配合反演失敗的原因地球物理反演研究的方法是對地球數(shù)據(jù)、模型和約束條件作準確的數(shù)學描述的基礎上，根據(jù)數(shù)學物理方程導出在計算機上快速實現(xiàn)的準確穩(wěn)定算法，以進行某種物理不可實現(xiàn)過程的計算機“仿真”。地球物理反演研究的內(nèi)容不僅涉及到地球物理學、應用數(shù)學，還與信息科學、計算

6、機科學發(fā)展有關。地球物理反演的研究內(nèi)容和方法目前，人類對地球內(nèi)部的物理性質(zhì)以及礦產(chǎn)資源的分布已經(jīng)有了不同程度的了解。這種知識多數(shù)來自于地表地質(zhì)和地球物理、地球化學資料的反演和解釋，而不是來自于鉆井。對于地球表層的了解是如此，深層更是如此。地球物理學是把地球作為研究對象的一門學科。地球物理學中的反演問題就是研究利用地球物理的觀測數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特征的理論與方法。反演問題：具體來說，就是有結(jié)果及某些一般原理（或模型）出發(fā)去確定表征問題特性的參數(shù)（或稱模型參數(shù)）。反演問題是相對于正演問題而存在。正演問題：就是按事物的一般原理（或模型）以及相關的條件（初條件、邊界條件）來預測、確定事物的結(jié)果

7、。反演問題和正演問題數(shù)學物理模型和響應函數(shù)的正演問題在地球物理學中，將觀測數(shù)據(jù)和地球的物理模型參數(shù)聯(lián)系起來的數(shù)學表達式叫數(shù)學物理模型，雖然地球物理問題千差萬別，但把觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)聯(lián)系起來的數(shù)學物理模型卻只有線性和非線性兩大類。如以x表示模型參數(shù)，y表示觀測數(shù)據(jù)，F(xiàn)表示聯(lián)系x 和y的函數(shù)表達式，當滿足：（1）F（x1+x2） F（x1）+ F（x2）y（2）F（ax）=aF（x） =y 以上兩個條件時，稱F為線性函數(shù)。在地球物理學中，大多數(shù)情況下觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)之間不滿足線性關系，但在一定條件下可以簡化或近似簡化成線性關系。不管是線性反演還是非線性反演，都涉及到響應函數(shù)的計算（或理論觀測值

8、的計算，因此正演是反演的前提和條件，只有準確地求出地球響應函數(shù)，才有可能得到可靠的地球物理模型。模型空間數(shù)據(jù)空間反演問題和正演問題反演理論的任務可以歸納為解決5大問題1、解的存在性：即給定一組觀測數(shù)據(jù)后，是否一定存在一個能擬合觀測數(shù)據(jù)的解或模型；2、模型構制：如果存在性是肯定的，如何求得或構制能擬合觀測數(shù)據(jù)的模型；3、非唯一性：能擬合觀測數(shù)據(jù)的模型是唯一，還是非唯一的；4、解的穩(wěn)定性：當反演問題中的數(shù)據(jù)稍有變化時其解是否會發(fā)生大的變化？5、結(jié)果的評價：如果解是非唯一的，如何才能從構制的模型中提取關于真實模型的地球物理信息。地球物理學中的反演理論的目的是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)求取相應的地球物理模型參數(shù)。非

9、線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化非線性問題線性化的常用的兩種方法A、參數(shù)代換法：通過參數(shù)代換將非線性方程線性化的方法近震直達波走時表的編制問題 非線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化B、Taylor級數(shù)展開法： 對問題給定一個初始模型m，它與真實模型差異不大，則將模型函數(shù)在m處按Taylor級數(shù)展開，取一階項，使方程變換為線性方程。一般模型移項得非線性問題的線性化和連續(xù)模型的離散化當觀測數(shù)據(jù)和模型之間呈線性泛函數(shù)時，可以將連續(xù)m（z）離散化，實現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)的反演。右邊d（j）是第j個觀測數(shù)據(jù)， m（z）是地球物理模型，是z的連續(xù)函數(shù)，G是核函數(shù)。如果將線性函數(shù)中的模型m（z）離散化，將它分為N個

10、區(qū)間mi（z） ，則線性函數(shù)可變?yōu)椋和ㄟ^求解矩陣方程d=Gm而實現(xiàn)反演目的。反演問題的概念及公式反演問題的主要內(nèi)容有三方面：1、解的適定問題，包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性2、反演問題的求解方法3、反演問題的解的評價解的適定問題，包括解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性解的存在性、唯一性與反演問題的數(shù)學確定性有關；而解的穩(wěn)定性則與反演問題的物理確定性以及求解方法對觀測數(shù)據(jù)的處理狀況有關。論證解的存在性有時也是提供解法的過程：對于選定的模型和已知條件，若解存在，那么它是否是唯一解？若不是唯一解，為解決其唯一性，通常應加上附加的約束條件，或增加觀測數(shù)據(jù)，或二者兼而有之。觀測數(shù)據(jù)通常是有誤差的，且與測量的狀況

11、有關。解的穩(wěn)定性就是研究當反演問題中的數(shù)據(jù)稍有變化時其解是否會發(fā)生大的變化？若數(shù)據(jù)的微小變化所引起的解在定義域中的變化也是微小的，則認為解的值連續(xù)依賴于數(shù)據(jù)，問題的解是穩(wěn)定。若此時解在定義域中的變化很大且不規(guī)則，則稱問題的解是不穩(wěn)定的，即為病態(tài)。反演問題的求解方法在處理反演問題中，通常我們更關心的是求解方法。由于實際問題的復雜性，有時盡管作過解的存在性與唯一性的驗證，但并不等于就有了求解的方法。且在實際應用時，也不強求要先解決適定性才能求解。許多問題都是通過反復的實踐與演變，才能建立起比較完整的理論。反演問題的解的評價研究解的評價的一系列準則及折衷原則是反演問題的一個重要內(nèi)容。沒有給出解的評價

12、的反演理論是不完全的，且它不同于一般正演問題的誤差分析，而是在反演理論中提取真實解信息的重要工具。 模型構制問題超定問題的最小方差解模型構制問題純欠定問題的最小模型解模型構制問題混定問題的馬奎特法模型構制問題恰定問題的解模型構制問題 在模型的構制時，如何處理觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)，有三種不同的觀點和方法： 1、把觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)（既可是離散模型，也可以是能用有限個參數(shù)表征的連續(xù)模型）都看成是隨機變量，通過研究它們所遵循的概率分布對觀測資料進行反演 。2、把觀測數(shù)據(jù)作為隨機變量，把模型看成是由一些確定參數(shù)所決定的。反演的任務就是估算這些待定的參數(shù)和誤差。 3、視觀測數(shù)據(jù)為隨機變量，模型是連續(xù)函數(shù)，

13、形成一套連續(xù)介質(zhì)的反演理論與方法，這就是著名的B-G反演法。 適定問題：反演問題中，對于允許的數(shù)據(jù)d的每一個集合，問題的解m存在且唯一，且連續(xù)依賴于d,這時，線性偏微分方程問題稱為適定問題，或說其解是適定的（well or properly posed problem)。不適定問題：部分不滿足或全不滿足上述條件的問題便稱作不適定問題（ill or improperly posed problems)。條件適定問題：實際的反演問題中，觀測數(shù)據(jù)存在誤差；在實際使用的計算機中，數(shù)的位數(shù)也是有限的，其指數(shù)傳播的誤差就可能造成算法的不穩(wěn)定性；-.-.-.如此諸多原因的每一方面，都造成問題的實際物理內(nèi)容的

14、確定存在性與相應數(shù)學問題的不適定性之間的明顯矛盾。為使問題得以解決，只有對問題的解加上適當?shù)母郊訔l件，使問題成為適定的。在數(shù)學上面臨的問題是在“條件適定”（conditionally well posed)概念下求解不適定問題。反演問題的數(shù)學適定性討論對反演問題求解，不能強求反演問題的精確解，而應當去尋求那種滿足方程但近似滿足定解條件，或近似滿足方程但精確滿足定解條件，或兩者都近似滿足的解。對于反演問題的答案（解），人們往往習慣于希望象解正演問題一樣得到解的確切數(shù)值。但由于反演問題的不適定性，能按這樣的方式得到的反問題的精確解甚少，實際得到的是“根據(jù)模型設計所期望得到的解的類型與根據(jù)已知資料（數(shù)據(jù)）實際能得到的信息之間的各種各樣的折衷解”。不同的折衷方案給出反問題的不同形式的解。常用的解的形式：1、模型參數(shù)的估算值2、模型參數(shù)的約束值3、模型參數(shù)的加權平均值反演問題的解及其評價地球物理學中的反演理論的目的是根據(jù)數(shù)據(jù)求取相應的地球物理模型。所以，首先必須確定觀測數(shù)據(jù)和地球模型參數(shù)之間的函數(shù)關系，使既可以根據(jù)給定的模型參數(shù)計算相應的觀測數(shù)據(jù)（即實現(xiàn)正演計算），也可以根據(jù)觀測數(shù)據(jù)求取地球物理模型的參數(shù)，實現(xiàn)反演映射。正演是反演的前提和條件，只有解決了正演計算，