第七章-非線性動力學與混沌-講義課件

1、第七章 非線性動力學與混沌Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos宋若龍吉林大學物理學院參考書劉秉正， 非線性動力學與混沌基礎，東北師范大學出版社，1994林振山，非線性力學與大氣科學，南京大學出版社，1993劉式達，劉式適，非線性動力學和復雜現(xiàn)象，氣象出版社，19897.1 引言一. “非線性動力學”的表觀含義數(shù)學上：線性非線性 定義：力或微分方程含有坐標或速度的非線性項的系統(tǒng)，稱為非線性動力學系統(tǒng)，反之稱為線性動力學系統(tǒng)。例：二. 決定性系統(tǒng)與不可預測性存在且唯一，可預測性1. 力學決定論及其偉大成就1757年，哈雷慧星（Hally comet）按預測回

2、歸。1846年，海王星在預言的位置被發(fā)現(xiàn)。今天，日月蝕的準確預測，宇宙探測器的成功發(fā)射與回收。 設想一位智者在某一瞬間得知激勵大自然所有力及組成它的物體的相互位置，如果這位智者又能對眾多的數(shù)據(jù)進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝聚在一個公式中，沒有什么事物是不確定的，將來就像過去一樣清晰地展現(xiàn)在眼前。 拉普拉斯（Laplace，法國數(shù)學家，1749-1827）2. 力學決定論不斷受到挑戰(zhàn)1883年，英國流體力學家雷諾(Reynolds)的湍流實驗。 （香煙）1903年，法國數(shù)學家昂利龐伽萊（Henri Poincare）從動力系統(tǒng)和拓撲學的全局思想出發(fā)，指出動力學系統(tǒng)可能存在混

3、沌特征。1963，美國氣象學家洛侖茲（Lorenz）在研究天氣預報中大氣流動問題時發(fā)現(xiàn)了天氣“對初始條件的極端敏感性”，將使長時間的預測無法進行。后被形象地稱為“蝴蝶效應” ：一只蝴蝶在巴西扇一下翅膀，就可能在美國得克薩斯州引起龍卷風。初值敏感性不可預測性，混沌洛侖茲方程初值敏感演示杜芬（Duffing）方程： （帶阻尼彈性系統(tǒng)的強迫振動）三. 常微分方程的一般形式1. 自治方程與非自治方程不顯含時間，自治的顯含時間，非自治的2. 常微分方程一般形式（1）自治的2階，1維1階，2維（2）非自治的n維非自治n+1維自治Duffing方程一階常微分方程組數(shù)值計算系統(tǒng)的狀態(tài)相空間優(yōu)點：四. 相空間（

4、相圖）的概念 相空間，也就是狀態(tài)空間，是由廣義坐標和廣義動量（速度）張成的空間，也稱相宇。相空間中運動狀態(tài)的變化軌跡稱為相圖。彈簧振子通解相圖時空軌跡阻尼彈簧振子通解代入方程當阻尼為正阻尼且很小時時空軌跡相圖非線性動力學系統(tǒng)決定性系統(tǒng)與不可預測性（初值敏感性）一階自治常微分方程組相空間小結7.2 運動穩(wěn)定性分析一. 非線性方程解的各種形式1. 定態(tài)解平衡點，奇點2. 發(fā)散解之一或幾個隨時間無限地偏離初值爆炸，散射3. 振蕩解既不趨于無窮大，也不終止于某一點，而是在一定區(qū)域內不斷變化。周期振蕩混沌相軌跡沒有確定的形狀周期、貌似隨機的運動。閉合曲線非閉合曲線準周期振蕩二. 解的穩(wěn)定性Lyapuno

5、v穩(wěn)定性定義：(1) 設t=t0時方程的解為 ，t時為 ，另一受擾動而偏離它的解t0時為 ， t時為 。如果對于任意小的數(shù) ，總有一小數(shù) 存在，使得當 時，必有則稱解 是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，簡稱Lyapunov穩(wěn)定的或穩(wěn)定的。兩矢量間的距離(2) 如果解 是穩(wěn)定的，且 則稱此解是漸進穩(wěn)定的。(3) 不滿足上述條件的解是不穩(wěn)定的。例1.解：是Lyapunov穩(wěn)定的例2.解：漸進穩(wěn)定的三. 線性穩(wěn)定性分析1. 線性穩(wěn)定性定理設 為方程的一個解(參考解)， 為研究該解的穩(wěn)定性，令 為此解附件另一解，稱擾動解 。 非線性方程組在參考態(tài) 附近的線性化方程組若線性化方程的原點 是漸進穩(wěn)定的，則原

6、非線性方程的參考態(tài) 是漸進穩(wěn)定的；若線性化方程的原點 是不穩(wěn)定的， 則原非線性方程的參考態(tài) 是不穩(wěn)定的。Lyapunov間接法2. 線性化方程組的解及其穩(wěn)定性試探解：系數(shù)矩陣的跡系數(shù)行列式的值特征矩陣 特征根 (1) 兩特征根實部都是負的參考態(tài) 也是漸進穩(wěn)定的。原點 是漸進穩(wěn)定的(2) 兩特征根中至少有一個實部為正原點 是不穩(wěn)定的參考態(tài) 也是不穩(wěn)定的。(3) 兩特征根中至少有一個實部為零，另一個實部為負原點 是Lyapunov穩(wěn)定的參考態(tài) 處于臨界情況。漸進穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界情況3. 奇點的分類 （取非線性方程的奇點為參考態(tài)）(1)兩根都是實的，且符號相同，此時奇點稱為結點。不穩(wěn)定的結

7、點穩(wěn)定的結點(2)兩根都是復的，此時奇點稱為焦點。不穩(wěn)定的焦點穩(wěn)定的焦點(3)兩根都是純虛數(shù)，解是等幅振蕩，此時奇點稱為中心。中心(4)兩根都是實數(shù)，一正一負，此時奇點稱為鞍點。鞍點不穩(wěn)焦點穩(wěn)定焦點中心穩(wěn)定結點不穩(wěn)結點鞍點例： 分析阻尼單擺定態(tài)的穩(wěn)定性解：令求定態(tài)解兩奇點1. 在奇點(0,0)處線性化方程組為不穩(wěn)焦點穩(wěn)定焦點中心穩(wěn)定結點不穩(wěn)結點鞍點奇點(0,0)為結點奇點(0,0)為焦點奇點(0,0)為中心（過阻尼）（欠阻尼）（無阻尼）2. 在奇點 處線性化方程組為奇點 為鞍點線性穩(wěn)定性定理只適用于分析非線性方程奇點及其附近的解的性質，離奇點越遠，線性化誤差越大。7.3 極限環(huán)漸進穩(wěn)定的周期振

8、蕩一. 定義相空間里孤立的閉曲線，稱為極限環(huán)守恒的（與初始條件有關的）周期振蕩不是極限環(huán)極限環(huán)例：Van der Pol 方程（電子管振蕩）阻尼力與速度同向，負阻尼，對系統(tǒng)供能，振幅逐漸增大，振幅終將大于1。阻尼力與速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐漸減小。與初始條件無關演示 Van Der Pol此軌道極小鄰域內不出現(xiàn)其它閉軌道二. 極限環(huán)存在的判據(jù)龐伽萊-班狄克生判據(jù) (Poincare-Bendixson theorem):有一解的相軌跡總是局限于相平面中不包含任何奇點的有限區(qū)域D內，則此軌跡或者是一極限環(huán)，或者趨于一極限環(huán)。 如果方程（二維自治系統(tǒng)）DNR=D-N三. 極限環(huán)的穩(wěn)定性定

9、義:穩(wěn)定環(huán)不 穩(wěn) 環(huán)半穩(wěn)環(huán) 如果從包含極限環(huán)L的環(huán)形域（L的內側和外側）出發(fā)的任何軌線在 時都漸近地趨于該極限環(huán)，則稱極限環(huán)L是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定的。如果從包含L的環(huán)域內L的某一側出發(fā)的軌線在 時都漸近地逼近L，而從另一側出發(fā)的軌線都遠離L，則稱L是半穩(wěn)定的。半穩(wěn)定的極限環(huán)是不穩(wěn)定極限環(huán)的一種。例：求非線性系統(tǒng)的極限環(huán)性解及其穩(wěn)定性，c為參數(shù)。解：令微分得代入方程得聯(lián)立，令等式兩側 的系數(shù)分別相等，得極坐標下方程：在極坐標中系統(tǒng)相軌跡以常角速度旋轉，由 可求平衡態(tài)為：奇點極限環(huán)（ 為實數(shù)時）為復數(shù)，只有平衡態(tài)為穩(wěn)定的焦點。有 兩個平衡態(tài)都有為半穩(wěn)環(huán)（不穩(wěn)環(huán)）。有三個平衡態(tài)為穩(wěn)定的焦點，為穩(wěn)

10、定的焦點，為不穩(wěn)定極限環(huán)，為穩(wěn)定極限環(huán)。 硬激勵（心臟）有 兩個平衡態(tài)為不穩(wěn)定的焦點，為穩(wěn)定極限環(huán)。軟激勵四. 極限環(huán)的特點非線性系統(tǒng)周期振蕩獨有的特征；極限環(huán)在相空間中是孤立的；由系統(tǒng)的固有性質（運動方程及其參數(shù)）決定，與初始狀態(tài)無關；包圍不穩(wěn)定奇點的極限環(huán)一定是穩(wěn)定的，而包圍穩(wěn)定奇點的極限環(huán)一定是不穩(wěn)定的；極限環(huán)只能包圍結點和焦點，而不能包圍鞍點。Homework: 1. 用線性穩(wěn)定性定理討論中心力場中圓軌道的穩(wěn)定性。2. 求解如下常微分方程組的定態(tài)解、極限環(huán)型解，分析其穩(wěn)定性，若有分岔現(xiàn)象，說明其分岔的類型。3.用攝動方法求至1級近似解7.4 含弱非線性作用的一維振動攝動方法一. 無阻尼

11、、無強迫力的一維弱非線性振動（板書）為弱非線性作用無因次化攝動方法，設解為：零級解一級解二級解代入方程的同次項相等第一式為簡諧振動方程，其解為由 得各級解初始條件為可得零級解為將零級解代入第二式，得一級解滿足的方程偽共振非線性項系統(tǒng)固有頻率改變小量，可正可負為小量，令回到原運動微分方程原方程表示為將代入得零級解為一級解滿足的方程為避免偽共振，必有一級方程變?yōu)樘亟?代入一級方程有齊次方程通解非齊次方程特解一級方程齊次方程 通解可寫為非齊次方程解為一級解為把 代入二級方程，可得二級解。當僅求至一級解時，非線性方程的解為若非線性作用下非線性振動的特點：固有振動的頻率由 變?yōu)?，且改變量與振幅a有關；

12、整個振動除基頻 外，還有諧頻 ，當進一步顧及高級近似解時，還有出現(xiàn) 等奇數(shù)倍高次諧頻振動；可推當非線性作用力為 時會出現(xiàn) 等偶數(shù)倍諧頻振動；系統(tǒng)本來不受強迫力，但一級解滿足的方程 出現(xiàn)了強迫力，并且是3倍頻的，這是由于非線性振動引起的。二. 非線性強迫振動振幅破裂Duffing方程假定 為小量，設試探解為將試探解代入方程，僅保留至 的一次項利用關系式令方程兩端線性無關項的系數(shù)分別相等，可等待定系數(shù) 滿足的方程：振幅A（近似為系統(tǒng)的振幅）隨驅動頻率 的變化 當 時 當 時（考慮非線性），用數(shù)值方法求解，畫出振幅頻率響應曲線：AAAA在 段，同一頻率下，振幅出現(xiàn)多值現(xiàn)象，CD段表示不穩(wěn)定振動。驅動

13、頻率逐漸增大或減小時，出現(xiàn)振幅跳躍（振幅破裂）現(xiàn)象。 例：洗衣機甩干過程 機械（汽車、飛機）三. 分諧振、組合頻率諧振取特解小量代入方程并保留到 的一階量令方程兩端線性無關項 的系數(shù)分別相等：分諧振 非線性系統(tǒng)受兩個不同頻率的外力同時作用時，系統(tǒng)除了以主要的頻率 振動外，還包含有頻率為等組合諧振成份，若非線性項不太弱需要考慮高階項時，振動將包含各種頻率為 的成份。 即諧頻， 則稱組合頻。例：耳膜。當 時，B有實根，特解存在，出現(xiàn)頻率為 的分諧振，也稱為分頻，且為主要振動。例：石英鐘。四. 非線性受迫振動的特點驅動頻率連續(xù)變化時出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象。驅動頻率在某值處的微小改變，系統(tǒng)振幅發(fā)生劇烈變化。

14、諧頻振動：基頻（驅動頻率）為 時，當非線性項為x的奇次冪時，會出現(xiàn) 等奇數(shù)倍諧頻；當非線性項為x的偶次冪時，會出現(xiàn) 等偶數(shù)倍諧頻。當驅動頻率遠大于系統(tǒng)固有頻率時（ ），會出現(xiàn)分頻，也稱為倍周期。 x的奇次冪 ， x的偶次冪 。當強迫力為兩不同頻率 時，有組合頻 出現(xiàn)。如耳膜。7.5 分岔 (bifurcation)一. 分岔的概念1. 定義：對常微分方程組 為參數(shù)。如果參數(shù) 在某一值 附近的微小變化將引起解的性質（相軌線的拓撲結構）發(fā)生突變，則此現(xiàn)象稱為分岔。 稱為臨界值或分岔值。在 坐標軸上其對應點為分岔點，其余點稱為常點。例：極限環(huán)求解2. 解的結構穩(wěn)定性 指在參數(shù)發(fā)生微小變化時解的軌線仍

15、維持在原軌線某一鄰域內。因次非線性系統(tǒng)在常點的解具有結構穩(wěn)定性，而分岔點附近的解是結構不穩(wěn)定的。二. 分岔的類型1. 叉式分岔系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化時，一個穩(wěn)定的定態(tài) 兩個穩(wěn)定的定態(tài)例1：水平滑動擺，彈簧原長 ，參數(shù) 變化定態(tài)線性穩(wěn)定性定理：（1）奇點1個奇點3個奇點(0,0)為中心，Lyapunov穩(wěn)定的(0,0)為鞍點，不穩(wěn)定的不穩(wěn)焦點穩(wěn)定焦點中心穩(wěn)定結點不穩(wěn)結點鞍點兩奇點均為中心，Lyapunov穩(wěn)定的（2）奇點叉式分岔2. 霍普夫（Hopf）分岔系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化時，穩(wěn)定的定態(tài) 穩(wěn)定的極限環(huán)例：Van der Pol方程定態(tài)為(0,0),其線性化方程組為奇點(0,0)為穩(wěn)定定態(tài)（結點、

16、焦點或中心）奇點(0,0)為不穩(wěn)定定態(tài)，由極限環(huán)一節(jié)的分析，此時出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)。不穩(wěn)定的定態(tài) 不穩(wěn)定的極限環(huán)3. 倍周期分岔 系統(tǒng)參數(shù)變化時，解的振動周期依次加倍的分岔現(xiàn)象，稱為倍周期分岔。例1：Duffing方程取定 ，令 逐漸增大，數(shù)值求解。演示T 2T 22T 2T 混沌例2： Logistic映射（蟲口模型）某代蟲口（數(shù)量）親代蟲口1點（倍）周期2點（倍）周期1點（倍）周期2點（倍）周期4點（倍）周期非周期（混沌）演示Logistic映射自相似費根鮑姆(Feigenbaum)數(shù)：在第n次分岔點的參數(shù) 的取值 滿足：出現(xiàn)混沌的分岔點處的 值， 為系統(tǒng)參數(shù)。費根鮑姆數(shù)普適常數(shù)7.6 混

17、沌的概念、特點及描述方法一. 混沌的概念 1. 定義：確定性非線性系統(tǒng)的不是由于隨機性外因引起的，而是由系統(tǒng)內在的非線性作用產(chǎn)生的具有隨機性的、非周期的運動狀態(tài)，稱為混沌。例1：阻尼單擺的受迫振蕩方程兩邊除以mg，令無因次化：令令 仍記演示F=1.02 單周期極限環(huán)F=1.07 2倍周期極限環(huán)F=1.077 4倍周期極限環(huán)F=1.15 混沌 (300-700)F=1.35 單周期極限環(huán)F=1.45 2倍周期極限環(huán)F=1.47 4倍周期極限環(huán)F=1.50 混沌 (300-700)混沌運動是服從一定規(guī)律的隨機運動，是決定性和隨機性矛盾統(tǒng)一體； 對初始狀態(tài)敏感依賴；只有（3維以上自治、2維以上非自治

18、）非線性系統(tǒng)才有可能做混沌運動；倍周期分岔可以通向混沌。例2：小行星Kirkwood間隙二. 自然界中混沌現(xiàn)象n= 0 1 2 4 5 行星與太陽間的距離 金星地球火星木星土星 6天王星3小行星帶 處于Kirkwood間隙處的小行星與木星的軌道共振，產(chǎn)生混沌運動，軌道離心率增大，穿越了火星和地球的軌道 (Jack Wisdom模型) 。6500萬年前，估計一顆直徑10公里的小行星沖撞地球，全球滔天大火，恐龍等大型生物在這悲劇中消失，全球5080%生態(tài)物種從此絕滅，后來哺乳類動物得以繁衍。 例4：貝納對流例5：卡曼渦流例3：土星卡西尼環(huán)縫 例6：天氣，蟲口模型，香煙煙霧，心臟跳動，腦電波1倍周期

19、相圖Poincare 截面三. 龐加萊(Poincare)截面 在多維相空間 中適當選取一截面（有利于觀察系統(tǒng)的運動特征和變化，不與軌線相切，更不包含軌線面），在此截面上，某一對共軛變量 取固定值，稱此截面為龐加萊截面. 對于單變量系統(tǒng) ，截面常常取為垂直與時間軸的周期性截面。相空間的軌線 軌線與龐加萊截面的交點2倍周期相圖Poincare 截面演示單擺F=1.35 F=1.452變量系統(tǒng)周期運動Poincare 截面為無理數(shù) 準周期運動混沌運動Poincare 截面為一閉曲線Poincare 截面為一片或多片密集的點分別為 方向運動的頻率為有理數(shù)Poincare 截面有有限個離散點周期運動周

20、期運動Poincare 截面上為一不動點四. 相體積演化，李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)例：一維線性系統(tǒng)運動時相面積的變化1. 相體積演化，也就是相空間中狀態(tài)密度隨時間的變化。2. 李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)高維空間相體積（狀態(tài)密度）演化，利用流體力學理解物質坐標對任一體積元 單位時間流出量單位時間 內流體質量變化為Gauss定理任意雙角標求和將這一結果推廣到2f維相空間：狀態(tài)密度耗散系統(tǒng)正則方程將正則方程代入由狀態(tài)量守恒對保守系統(tǒng) 相體積守恒劉維定理不求和Lyapunov指數(shù)該方向相軌線指數(shù)地相互遠離該方向相軌線指數(shù)地收縮到一起非保守系統(tǒng)設 時， 時(1)定常吸引子：2維空間中穩(wěn)定的結點和焦點五. 吸引子，奇怪吸引子耗散系統(tǒng)混沌1. 吸引子 經(jīng)足夠長的時間后，相空間中系統(tǒng)軌線所趨向的有限區(qū)域（如不動點、閉曲線、高維環(huán)面等），稱為吸引子。結點焦點(2) 周期吸引子：2維和3維空間中穩(wěn)定的極限環(huán)。(3) 準周期吸引子：3維空間中的環(huán)面。該系統(tǒng)相體積隨時間演化為整體穩(wěn)定性和局部不穩(wěn)定性。將3維或3維以