北京市平谷區(qū)市級名校2022年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若、滿足約束條件，則的最大值為（ ）ABCD2函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位3已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是( )ABCD4如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行

2、結(jié)果為31時，則圖中判斷框處應(yīng)填入的是（ ）ABCD5已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD26函數(shù)在的圖象大致為ABCD7如圖，在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（ ）ABCD8已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）A36B72CD9已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD10算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓

3、錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（ ）ABCD11已知，則“直線與直線垂直”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12已知點(diǎn)P在橢圓：=1(ab0)上，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，設(shè)，直線AD與橢圓的另一個交點(diǎn)為B，若PAPB，則橢圓的離心率e=（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某班星期一共八節(jié)課（上午、下午各四節(jié)，其中下午最后兩節(jié)為社團(tuán)活動），排課要求為：語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)各排一節(jié)，從生物、歷史、地理、政治四科中選排一節(jié)

4、.若數(shù)學(xué)必須安排在上午且與外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法有_種.14在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_.15若函數(shù)，其中且，則_16如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時的損耗為m元（），運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別

5、為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.18（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若圓上存在兩點(diǎn)，橢圓上存在兩個點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的取值范圍.19（12分）已知函數(shù)，的最大值為求實(shí)數(shù)b的值；當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時，令，是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?？若存在，求?shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由20（12分）已知兩數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時，若恒成立，求的最大值21（12分）已知函數(shù).（1）若，求

6、證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin（+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求MON的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，

7、代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示由，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，.又時函數(shù)值最大，所以.又，從而，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求3D【解析】化

8、簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，因此，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】根據(jù)程序框圖的運(yùn)行，循環(huán)算出當(dāng)時，結(jié)束運(yùn)行，總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.5C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.6A【解析】因?yàn)?，所以排除C、

9、D當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時，可得.故選A7A【解析】由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積【詳解】由題意等腰梯形中，又，是靠邊三角形，從而可得，折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，解得，球體積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體8A【解析】根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查

10、學(xué)生的計算能力，是中檔題.9B【解析】由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10C【解析】將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.11B【解析】由兩直線垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方

11、法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】設(shè)，則，設(shè)，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，則，設(shè)，則，兩式相減得到：，即， ，故，即，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131344【解析】分四種情況討論即可【詳解】解：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)

12、時有：數(shù)學(xué)排在第二節(jié)時有：數(shù)學(xué)排在第三節(jié)時有：數(shù)學(xué)排在第四節(jié)時有： 所以共有1344種故答案為：1344【點(diǎn)睛】考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論，做到不重不漏；基礎(chǔ)題.14【解析】利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計算即可得解.【詳解】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，得，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】先化簡函數(shù)的解析式，在求出，從而求得的值.【詳解】由題意，函數(shù)可化簡為，所以，所以.故答案為：0.【點(diǎn)

13、睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.165【解析】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），.（2）當(dāng)時，此時選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最?。划?dāng)時，此時選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最??；當(dāng)時，此時選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】（1）將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），.（2）

14、， 故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時，即，此時選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省，當(dāng)，即時，即，此時選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng)，即時，此時選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.18（1）；（2）【解析】（1）又題意知，及即可求得，從而得橢圓方程.（2）分三種情況：直線斜率不存在時，的斜率為0時，的斜率存在且不為0時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達(dá)定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計算即可.【詳解】（1）由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.又，解得.橢圓的方程為（2）由（1）

15、可知圓的方程為，（i）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，此時（ii）當(dāng)直線的斜率為零時，.（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則.所以，（注：的長度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計算.）由可得直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去，得設(shè)的橫坐標(biāo)為，則.綜上，由（i）（ii）（）得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)；通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)，得到目標(biāo)函數(shù)解析式，運(yùn)用函數(shù)知識求解；本題是難題.19 (1) ;

16、(2) 時，在單調(diào)增；時, 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時， 取得極大值，也是最大值，由，可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：(1) 由題意得，令，解得，當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時， 取得極大值，也是最大值，所以，解得. （2）的定義域?yàn)? 即,則，故在單調(diào)增若,而,

17、故,則當(dāng)時，; 當(dāng)及時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增若,即,同理在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（3）由（1）知， 所以，令，則對恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增. 假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根， 即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實(shí)根，令， ，則，設(shè)， ，則對恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， 故恒成立，所以，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實(shí)根.綜上所述，不存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、

18、最值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù) ；(3) 解方程 求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查 在 的根 左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么 在 處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么 在 處取極小值. （5）如果只有一個極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.20（1）唯一的極大值點(diǎn)1，無極小值點(diǎn)（2）1【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得的解，確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定極值點(diǎn)；（2）問題可變形為恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，時，無最小值，因此只有，從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值【詳解】解：（

19、1）定義域?yàn)?，?dāng)時，令得，當(dāng)所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有唯一的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)（2）當(dāng)時，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題在求極值時，由確定的不一定是極值點(diǎn)，還需滿足在兩側(cè)的符號相反不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用21（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】（1），求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出，即可證明結(jié)論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1），當(dāng)時，當(dāng)時，故.（2）由題知，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；當(dāng)時，得，當(dāng)時，；當(dāng)