流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)和方程

1、流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)和方程 實(shí)際工程中經(jīng)常遇到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的流體。流體的運(yùn)動(dòng)特性可用流速、加速度等一些物理要素來表征。流體動(dòng)力學(xué)研究運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)空的變化情況，建立它們之間的關(guān)系式，并用這些關(guān)系式解決工程上的問題。 經(jīng)典力學(xué)中有質(zhì)量守恒定律、能量守恒定律及動(dòng)量守恒定律。 本章先建立流體運(yùn)動(dòng)的基本概念，然后依據(jù)流束理論，從質(zhì)量守恒定律出發(fā)建立流體的連續(xù)性方程、從能量守恒定律出發(fā)建立流體的能量方程，從動(dòng)量定理出發(fā)建立流體的動(dòng)量方程。本章的主要內(nèi)容：流體運(yùn)動(dòng)的基本概念流體運(yùn)動(dòng)的總流理論 恒定總流連續(xù)性方程、能量方程和動(dòng)量方程流體運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)理論 理想流體的運(yùn)動(dòng)方程、N-S方程和恒定平面勢(shì)流任務(wù)：建立描述流體運(yùn)

2、動(dòng)的基本方程，并理解其物理意義、掌握其實(shí)際應(yīng)用。本章重點(diǎn)：恒定總流的連續(xù)性方程、能量方程和動(dòng)量方程及其應(yīng)用3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 一、拉格朗日法 (Lagrange Method) 拉格朗日法以研究個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過對(duì)每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究來獲得整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性。所以這種方法又可叫做質(zhì)點(diǎn)系法。 用質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)(a，b，c)作為質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志,任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)是起始坐標(biāo)和時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)。 運(yùn)動(dòng)軌跡 質(zhì)點(diǎn)速度 (1) (a，b，c)=C , t為變數(shù)，可以得出某個(gè)指定質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻所處的位置。 (2) (a，b，c)為變數(shù)，t=C，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點(diǎn)在空間的

3、分布情況。加速度 二、歐拉法(Euler Method) 歐拉法是以考察不同流體質(zhì)點(diǎn)通過固定空間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況來了解整個(gè)流動(dòng)空間的流動(dòng)情況，即著眼于研究各種運(yùn)動(dòng)要素的分布場(chǎng)，所以這種方法又叫做流場(chǎng)法。通常在同一時(shí)刻不同空間點(diǎn)上的流速是不同的，同一空間點(diǎn)上不同時(shí)刻的速度也不同，即流速是空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)：速度 若令上式中x、y、z為常數(shù)，t為變數(shù)，即可求得在某一固定空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻通過該點(diǎn)的流速的變化情況。 若令t為常數(shù)，x、y、z為變數(shù),則可求得在同一時(shí)刻，通過不同空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的流速的分布情況(即流速場(chǎng))。 加速度是速度的全微分。對(duì)于流體質(zhì)點(diǎn)，不同時(shí)刻位于不同的

4、空間位置。 故質(zhì)點(diǎn)加速度必須按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的法則求導(dǎo)：分量 類似地有： ay=; az= 式中第一項(xiàng)叫時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣?Local Acceleration)，流動(dòng)過程中流體由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度；第二項(xiàng)叫位變速度，流動(dòng)過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度(Connective Acceleration)。 恒定流時(shí)時(shí)變加速度為零，非恒定時(shí)時(shí)變加速度不等于零。但位變加速度是否等于零并不決定于是否是恒定流，而要看流體質(zhì)點(diǎn)自一點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一點(diǎn)時(shí)流速是否改變。均勻流是遷移加速度為零。 1、在水位恒定的情況下： (1)AA不存在時(shí)變加速度和位變加速度。 (2)BB不存在時(shí)變加速度

5、，但存在位變加速度。2、在水位變化的情況下： (1) AA存在時(shí)變加速度，但不存在位變加速度。 (2) BB既存在時(shí)變加速度，又存在位變加速度。問題：均勻流是： A、當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?C、向心加速度為零 D、合加速度為零 B、遷移加速度為零 在實(shí)際工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空間位置上流體的運(yùn)動(dòng)情況，而并不去追究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 例如，研究一個(gè)隧洞中的水流，只要知道了液體經(jīng)過隧洞中不同位置時(shí)的速度及動(dòng)壓力，這樣就能滿足工程設(shè)計(jì)的需要。 所以，歐拉（Euler）法對(duì)工程流體力學(xué)的研究具有重要的意義。恒定流(Steady Flow)：在流場(chǎng)中，任何空間點(diǎn)上所有的運(yùn)動(dòng)要素都不隨時(shí)間而改變。

6、運(yùn)動(dòng)要素僅僅是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。 3-2 研究流體運(yùn)動(dòng)的若干基本概念一、恒定流與非恒定流水位不變 恒定流時(shí)，所有的運(yùn)動(dòng)要素對(duì)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于零： 非恒定流(unsteady flow) ：流場(chǎng)中任何點(diǎn)上有任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)要素是隨時(shí)間而變化的。在實(shí)際工程中，常把運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化緩慢的流動(dòng)按恒定流處理，以求簡化。 流場(chǎng)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)流場(chǎng)指充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間。運(yùn)動(dòng)參數(shù)指表征流體運(yùn)動(dòng)特征的物理量。二、一元流、二元流、三元流 凡流體中任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素只與一個(gè)空間自變量有關(guān)，這種流體稱為一元流(One-dimensional Flow)。 流場(chǎng)中任何點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素和兩個(gè)空間自變量有關(guān)，此種流體

7、稱為二元流(Two-dimensional Flow) 。 若流體中任一點(diǎn)的流速，與三個(gè)空間位置變量有關(guān)，這種流體稱為三元流。 三、跡線與流線 拉格朗日法研究個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況，引出了跡線的概念； 歐拉法考察同一時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)在不同空間位置的運(yùn)動(dòng)情況引出了流線的概念。 1、跡線與流線的概念 跡線(path line) ：某一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)連成的線稱為跡線，即流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過的軌跡線。圖示煙火的軌跡。 流線(Stream Line)：是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的一條曲線，在該曲線上所有各點(diǎn)的速度向量都與該曲線相切。2、流線的特性 1) 恒定流時(shí)，流線的形

8、狀和位置不隨時(shí)間而改變。 2) 恒定流時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的跡線與流線相重合。 3) 流線不能相交。(因?yàn)楦鶕?jù)流線定義，在交點(diǎn)的液體質(zhì)點(diǎn)的流速向量應(yīng)同時(shí)與這兩條流線相切，即一個(gè)質(zhì)點(diǎn)不可能同時(shí)有兩個(gè)速度向量。 ) 4) 流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。(因?yàn)榱黧w是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動(dòng)要素是空間的連續(xù)函數(shù)。 ) 5) 流線簇的疏密反映了速度的大小(流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。(因?yàn)閷?duì)不可壓縮流體，元流的流速與其過水?dāng)嗝婷娣e成反比。) 3、流線方程設(shè)m為流線上的一點(diǎn)，該點(diǎn)的流速為u,從該點(diǎn)沿流線方向取一微元段dr，u和dr在x、y、z軸上的分量分別為ux、 uy、 uz和dx、dy、dz，根

9、據(jù)流線定義u與dr（即該點(diǎn)的切線方向)方向一致，即 流線的微分方程yuxuyudydxdr流線x跡線方程 由運(yùn)動(dòng)微分方程即可推出跡線的微分方程式中，時(shí)間t是自變量，而x,y,z是t的因變量。思考題 實(shí)際水流中存在流線嗎？引入流線概念的意義何在？ 不存在。引入流線概念是為了便于分析流體的運(yùn)動(dòng)，確定流體流動(dòng)趨勢(shì)。解 (1)流線微分方程： 積分得： 流線方程 不同時(shí)刻(t=0,1,2)的流線是三組不同斜率的直 線族。例 已知速度場(chǎng)ux=a，uy=bt，uz=0。試求： (1)流線方程及t=0，t=1，t=2時(shí)的流線圖； (2)跡線方程及t=0時(shí)過(0，0)點(diǎn)的跡線。(2)跡線方程 積分得yt0t1t

10、2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流線=012345yt=2流線012345跡線xyt0123450t=1流線C=1C=2由t=0,x=0,y=0,確定積分常數(shù)，c1=0,c2=0。得 再消去t，且過(0,0)點(diǎn)的跡線方程是一拋物線方程。四、流管、流束、元流、總流、過流斷面 1、流管(stream tube) 在流體中任意一微分面積dA(如圖)，通過該面積的周界上的每一個(gè)點(diǎn)，均可作一根流線，這樣就構(gòu)成一個(gè)封閉的管狀曲面，稱為流管。 2、元流 流束：流管內(nèi)所有流線的集合。 充滿以流管為邊界的一束流體，稱為微元流束,即就是過流斷面無限小的流束。 注：(1)流束表面沒有流體穿過； (2

11、)在元流斷面上，運(yùn)動(dòng)參數(shù)各點(diǎn)相同； (3)元流的極限是流線。流束3、總流 任何一個(gè)實(shí)際水流都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定大小尺寸的實(shí)際水流稱為總流(total flow )。總流可以看作是由無限多個(gè)微小流束所組成。4、過流斷面(cross section) 與微小流束或總流的流線成正交的橫斷面稱為過流斷面。該面積dA或A稱為過流面積，單位m2。 注意：過流斷面可為平面也可為曲面。 判斷：均勻流過流斷面是一平面，漸變流過流斷面近似平面。(對(duì))五、流量與斷面平均流速 1、流量(discharge) 單位時(shí)間內(nèi)通過某一過流斷面的流體體積(質(zhì)量)稱為流量。流量常用的單位為 米秒（m3/s）、千克秒（

12、kg/s） ，符號(hào)表示。通常所說的流量一般指體積流量，用qv表示。質(zhì)量流量用qm表示。 對(duì)于均質(zhì)不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則質(zhì)量流量為：2、斷面平均流速 過流斷面各點(diǎn)速度的斷面平均值，是一個(gè)想象的流速，如果過流斷面上各點(diǎn)的流速都相等并等于，此時(shí)所通過的流量與實(shí)際上流速為不均勻分布時(shí)所通過的流量相等，則流速就稱為斷面平均流速。 由此可見，通過過流斷面的流量等于斷面平均流速與過流斷面面積的乘積，也即過流斷面上各點(diǎn)均以同一平均流速運(yùn)動(dòng)。引入斷面平均流速的概念，可以使流體運(yùn)動(dòng)的分析得到簡化。六、均勻流與非均勻流、漸變流1、均勻流 均勻流：當(dāng)流體的流線為相互平行的直線時(shí)，該流體稱為均勻流 。 均勻 流具

13、有以下特性： 1)均勻流的過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變。 2)均勻流中，同一流線上不同點(diǎn)的流速應(yīng)相等，從而各過流斷面上的流速分布相同，斷面平均流速相等。 3)均勻流過流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即在同一過流斷面上各點(diǎn)測(cè)壓管水頭為一常數(shù)。 2、非均勻流 若流體的流線不是相互平行的直線該流體稱為非均勻流按照流線不平行和彎曲的程度，分為漸變流、急變流兩種類型： 1) 漸變流 當(dāng)流體的流線雖然不是相互平行直線，但幾乎近于平行直線時(shí)稱為漸變流(緩變流)(gradually varied flow)。漸變流的極限情況就是均勻流。 2) 急變流 若流體的流線之間夾角很大或

14、者流線的曲率半徑很小，這種流體稱為急變流。 注意：漸變流動(dòng)壓強(qiáng)服從靜壓強(qiáng)分布；而急變流動(dòng)壓強(qiáng)分布特性復(fù)雜。 通常邊界近于平行直線時(shí)，流體往往是漸變流。管道轉(zhuǎn)彎、斷面突擴(kuò)或收縮，為急變流。思考題1. “只有當(dāng)過流斷面上各點(diǎn)的實(shí)際流速均相等時(shí)，水 流才是均勻流”，該說法是否正確？為什么？2. 恒定流、均勻流等各有什么特點(diǎn)？ 不對(duì)。均勻流是指運(yùn)動(dòng)要素沿程不發(fā)生改變，而不是針對(duì)一過流斷面。 恒定流是指各運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化而變化， 恒定流時(shí)流線跡線重合，且時(shí)變加速度等于0。 均勻流是指各運(yùn)動(dòng)要素不隨空間變化而變化， 均勻流時(shí)位變加速度等于0。3-3 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程一、連續(xù)性微分方程在流場(chǎng)中取一空

15、間微分平行六面體如圖所示。經(jīng)一微小時(shí)段dt自x流入的流體質(zhì)量為： 自x流出的流體質(zhì)量為 dt時(shí)段內(nèi)在x方向流進(jìn)與流出六面體的流體質(zhì)量之差： 同理CdxOxzADEFGHdyMNOdzyB 即在dt時(shí)間內(nèi)流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的變化為 故經(jīng)過dt時(shí)段內(nèi)六面體內(nèi)質(zhì)量總變化為 在同一時(shí)段內(nèi)，流進(jìn)與流出六面體總的流體質(zhì)量的差值應(yīng)與六面體內(nèi)因密度變化所引起的總的質(zhì)量變化相等。 適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。 對(duì)不可壓縮流體， 常數(shù)，因此得連續(xù)性方程式為算一算:不可壓縮流體對(duì)下面的運(yùn)動(dòng)是否滿足連續(xù)性條件？ (1) (2) (3) 不連續(xù)連續(xù)連續(xù)例1 有二種

16、的二元液流，其流速可表示為：(1)ux= -2y, uy=3x；(2)ux=0, uy=3xy。試問這兩種液流是不可壓縮流嗎？解：（1） 符合不可壓縮流的連續(xù)性方程，所以是不可壓縮流。 （2） 不符合不可壓縮流的連續(xù)性方程，所以不是不可壓縮流。例2 已知不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)速度u在x、y兩個(gè)軸方向的分量為ux=2x2+y，uy=2y2+z且z=0處，有uz=0。試求z軸方向的速度分量uz。解 對(duì)不可壓縮流體連續(xù)性方程為 將已知條件代入上式，有4x+4y+ =0 即 積分可得 uz=-4(x+y)z+f(x,y) 又由已知條件對(duì)任何x、y，當(dāng)z=0時(shí)， uz=0。 故有 f(x,y)=0 因此 uz

17、=-4(x+y)z 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律的一種特殊方式。取恒定流中微小流束，因流體為不可壓縮的連續(xù)介質(zhì),有 根據(jù)質(zhì)量守恒定律在dt時(shí)段內(nèi) 流入的質(zhì)量應(yīng)與流出的質(zhì)量 相等。二、恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程 不可壓縮流體恒定元流的連續(xù)性方程 對(duì)總流過流斷面積分得 上式即為恒定總流的連續(xù)性方程。上式表明在不可壓縮流體恒定總流中，任意兩個(gè)過流斷面平均流速的大小與過流斷面面積成反比，斷面大的地方流速小，斷面小的地方流速大。 連續(xù)性方程總結(jié)和反映了總流的過流斷面面積與斷面平均流速沿程變化的規(guī)律。 適用范圍：固定邊界內(nèi)的不可壓縮流體分叉流的總流連續(xù)性方程或： qv1=qv2+qv3 問題：變直

18、徑管的直徑d1=320mm，d2=160mm，流速v1，v2為： A.3m/s B.4m/s D.9m/s C.6m/s3-4 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程及其積分理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的特性 第一，理想流體的動(dòng)壓總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。 第二，在理想流體中，任何點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)在各方向上的大 小均相等。 一、理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉方程 流體平衡微分方程式是表征流體處于平衡狀態(tài)時(shí)作用于流體上各種力之間的關(guān)系式。 在運(yùn)動(dòng)著的理想流體中任取一微分平行六面體，作用于六面體的力有表面力與質(zhì)量力。 左表面動(dòng)壓強(qiáng) 右表面動(dòng)壓強(qiáng) 假設(shè)單位質(zhì)量的質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的投影為 ，故所有作用于六面體上的力在x軸上的投影的代數(shù)

19、和應(yīng)等于六面體的質(zhì)量與加速度在x方向的投影之積。有： 化簡之得 同理 上式為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式，又稱為歐拉方程。 注：(1)方程對(duì)未加限制；(2)若 ，方程變成了靜平衡微分方程；(3)對(duì)恒定流動(dòng)，方程中 ；(4)方程未知數(shù)4個(gè)，只有與連續(xù)性方程聯(lián)立才能求解。 二、 納維斯托克斯方程 對(duì)于恒定不可壓縮流體來說， ，故 或 上兩式就是適用于不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式，一般通稱為納維斯托克斯方程式。如果流體沒有粘性(即理想流體)則 ，于是納維斯托克斯方程式就變成理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)方程式。如果沒有運(yùn)動(dòng)，則 均等于零，于是納維斯托克斯方程式就變成靜力學(xué)歐拉平衡方程式。所以納維斯托克斯方程式是不

20、可壓縮流體的普遍方程式。方程適用于=C及各種流態(tài)(層流、紊流)的流體；方程實(shí)質(zhì)為四個(gè)力的平衡方程。方程有四個(gè)未知數(shù)，三條方程與連續(xù)性方程聯(lián)立可求解，但很困難。例 理想流體速度場(chǎng)為 a、b為常數(shù)。試求：(1)流動(dòng)是否可能（連續(xù)？）(2)流線方程；(3)等壓面方程（質(zhì)量力忽略不計(jì)）解 （1）滿足連續(xù)性條件，流動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)。（2）由 得積分得 當(dāng)a、b同號(hào)為雙曲線 當(dāng)a、b異號(hào)為橢圓。（3）不計(jì)質(zhì)量力fx=fy= fz =0,由歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程得： (1)、(2)兩邊分別乘以dx、dy并相加得：即積分得令p=常數(shù)，即得等壓面方程分別取C=1、4、9、16，得4個(gè)等壓面，如圖所示。等壓面是一組以坐標(biāo)原點(diǎn)

21、為中心的同心圓柱面。xy等壓面12344-4-4-2-20思 考 題 1. 實(shí)際流體區(qū)別與理想流體有何不同？理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程與實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程有何聯(lián)系？ 2. 連續(xù)性微分方程有哪幾種形式？不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程說明了什么問題？ 實(shí)際流體具有粘性，存在切應(yīng)力；實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程中等式的左邊比理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程增加了由于粘性而產(chǎn)生的切應(yīng)力這一項(xiàng)。一般形式，恒定不可壓縮流；質(zhì)量守恒。3-5伯努利方程 一、理想流體恒定元流的伯努利方程 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是一個(gè)一階非線性偏微分方程組(遷移加速度的三項(xiàng)中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積)，因而至今還無法在一般情況下積分，只能在一定條件下

22、積分。歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組各式分別乘以dx，dy，dz(流場(chǎng)任意相鄰兩點(diǎn)間距ds的坐標(biāo)分量)，然后相加得： 考慮條件 1.恒定流： ；2.均質(zhì)不可壓縮流體，即=c；3.質(zhì)量力只有重力，即fx=fy=0，fz=-g；4.流線與跡線重合 dx = uxdt, dy = uydt, dz=uzdt；因此I II III式中各項(xiàng)為： 由以上得：積分得：（基準(zhǔn)面）P1/gV12/2gV22/2gYP2/gXz1z212 （對(duì)于同一流線上的任意兩個(gè)點(diǎn)）上式即是理想流體恒定元流的伯努利方程。該式表明：在不可壓縮理想流體恒定流情況下，元流內(nèi)不同的過流斷面上，單位重量流體所具有機(jī)械能保持相等(守恒)。該式是由瑞士

23、科學(xué)家伯努利于1738年首先推導(dǎo)出來的。 應(yīng)用條件是：(1)理想液體；(2)恒定流動(dòng)；(3)質(zhì)量力只有重力；(4)沿元流（流線）；(5)不可壓縮流體 。伯努利方程的物理意義1.幾何意義 ：位置水頭； ：壓強(qiáng)水頭； ：流速高度(速度水頭);理想流體的伯努利方程表明沿同一元流上(沿同一流線)各斷面的總水頭相等，總水頭線是水平線。：測(cè)壓管水頭;：總水頭?？偹^線測(cè)壓管水頭線2.能量意義：單位重量流體所具有的位置勢(shì)能(位能)； ：代表單位重量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能(壓能) ：單位重量流體所具有的動(dòng)能； ：單位重量流體所具有的總勢(shì)能； ：單位重量流體所具有的機(jī)械能。沿同一元流（流線），單位重量流體機(jī)械能守

24、恒。例 有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)為個(gè)大氣壓強(qiáng)。而當(dāng)將閥門全開，水從管中流出時(shí)，壓強(qiáng)計(jì)讀數(shù)是個(gè)大氣壓強(qiáng)試求當(dāng)水管直徑d=12cm時(shí)，通過出口的體積流量。解 當(dāng)閥門全開時(shí)列1-1、2-2截面的伯努利方程 當(dāng)閥門關(guān)閉時(shí)，根據(jù)壓強(qiáng)計(jì)的讀數(shù)，應(yīng)用流體靜力學(xué)基本方程求出H值：則：代入到上式 所以管內(nèi)流量 （m3/s）二、實(shí)際流體恒定元流的伯努利方程 實(shí)際流體具有粘性，流動(dòng)時(shí)，粘性流體克服阻力作功而消耗了一部分流體自身的機(jī)械能，產(chǎn)生能量損失(也叫水頭損失)。設(shè)流體由1-1斷面流到2-2斷面的單位重量的能量損失為hw，則粘性流體元流的伯努利方程可寫為：u22/2g1122z

25、1P1/gu12/2gz2P1/g00三、實(shí)際流體恒定總流的伯努利方程 1、實(shí)際流體恒定總流的伯努利方程的推導(dǎo) 不可壓縮實(shí)際流體恒定元流的能量方程為 各項(xiàng)乘以重量流量 ，并分別在總流的兩個(gè)過流斷面A1及A2上積分得： 共含有三種類型積分： 1) 第一類積分 若過流斷面為漸變流，則在斷面上 積分可得 2) 第二類積分 因 所以 式中 為動(dòng)能修正系數(shù)(流過過流斷面真實(shí)動(dòng)能與以斷面平均速度計(jì)算動(dòng)能的比值)，流速分布愈均勻，愈接近于1；不均勻分布時(shí)， 1； 在漸變流時(shí)，對(duì)于圓管層流 =2；對(duì)于圓管紊流 。為計(jì)算簡便起見，通常取 1。 3) 第三類積分 假定各元流單位重量流體所損失的能量 都用一個(gè)平均值

26、 來代替，則第三類積分變?yōu)椋?得不可壓縮實(shí)際流體恒定總流的能量方程。 上式反映了總流中不同過流斷面上( )值和斷面平均流速v的變化規(guī)律。 方程的使用條件：(1)恒定流動(dòng)；(2)不可壓縮流體；(3)質(zhì)量力只有重力；(4)漸變流過流斷面；(5)流動(dòng)連續(xù)無分支；(6)無外加能量。總流伯努利方程的意義能量均指斷面上的單位重量流體所具有的平均能量。 是過流斷面上單位重量流體的平均勢(shì)能，又稱測(cè)壓管水頭，對(duì)于漸變流斷面則等于常數(shù)，可取斷面上任一點(diǎn)為代表。 過流斷面上單位重量流體的平均機(jī)械能，又稱總水頭。物理意義幾何意義單位重流體的位能位置水頭單位重流體的壓能壓強(qiáng)水頭單位重流體的動(dòng)能流速水頭單位重流體總勢(shì)能測(cè)

27、壓管水頭總機(jī)械能總水頭能量方程的解題步驟 三選一列 1.選擇基準(zhǔn)面:基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡化計(jì)算為原則。例如選過流斷面形心(z=0)，或選自由液面(p=0)等。 2.選擇計(jì)算斷面：計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。 3.選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對(duì)同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)。 4.列能量方程解題 注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。問題 實(shí)際流體在等直管道中流動(dòng)，在過流斷面1，2上有A，B，C點(diǎn)，則下面關(guān)系式成立的是： A. C. D. B.例：如圖，以d=100mm的水管從水庫引水，已知H=4m（恒定），水頭損失為hw=3m

28、H2O。求qV。V200V1=01122Hv22/2ghw解：以過水管出口中心的水平面為基準(zhǔn)面，列1-1與2-2的能量方程： v1=0, v2待求取 ，將各項(xiàng)代入伯努利方程得： qv2、實(shí)際流體恒定總流能量方程的圖示 實(shí)際流體恒定總流能量方程中共包含了四個(gè)物理量。位置水頭Z，平均壓強(qiáng)水頭 ，流速水頭 ，水頭損失 。 稱為測(cè)壓管水頭。工程流體力學(xué)中,習(xí)慣把單位重量流體所具有總機(jī)械能稱為總水頭,用 表示。 實(shí)際流體恒定總流各項(xiàng)水頭沿程變化可用幾何曲線表示(稱為相應(yīng)的各種水頭線) 。水頭線 水頭線：沿程水頭(如總水頭或測(cè)壓管水頭)的變化曲線。 總水頭線是對(duì)應(yīng) 的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀

29、況。 測(cè)壓管水頭線是對(duì)應(yīng) 的變化曲線，它代表壓強(qiáng)沿流程的變化狀況。 實(shí)際流體總流的總水頭線和測(cè)壓管水頭線實(shí)際流體總流的總水頭線必定是一條逐漸下降的線（直線或曲線）：而測(cè)壓管水頭線則可能是下降的線（直線或曲線）也可能是上升的線甚至可能是一條水平線。 總水頭線坡度：總水頭線沿流程的降低值與流程長度之比。也稱水力坡度，常用 J 來表示。（恒正）測(cè)壓管水頭線坡度（可正可負(fù)）注意：1.理想流動(dòng)流體的總水頭線為水平線；2.實(shí)際流動(dòng)流體的總水頭線恒為下降曲線；3.測(cè)壓管水頭線可升、可降、可水平。4.若是均勻流，則總水頭線平行于測(cè)壓管水頭線。5.總水頭線和測(cè)壓管水頭線之間的距離為相應(yīng)段的流速水頭。 3、應(yīng)用恒

30、定總流能量方程式的注意點(diǎn) 1) 基準(zhǔn)面的選擇是可以任意的，但在計(jì)算不同斷面的位置水頭z值時(shí)，必須選取同一基準(zhǔn)面。 2) 能量方程中 項(xiàng)，可以用相對(duì)壓強(qiáng)，也可以有絕對(duì)壓強(qiáng)，但對(duì)同 一問題必須采用相同的標(biāo)準(zhǔn)。 3) 在計(jì)算過流斷面的測(cè)壓管水頭值 時(shí)，可以選取過流斷面上任意點(diǎn)來計(jì)算，以計(jì)算方便為宜。對(duì)于管道一般可選管軸中心點(diǎn)來計(jì)算較為方便，對(duì)于明渠一般在自由表面上選一點(diǎn)來計(jì)算比較方便。 4) 不同過流斷面上的動(dòng)能修正系數(shù) 與 嚴(yán)格來講是不相等的，且不等于1，實(shí)用上對(duì)漸變流多數(shù)情況可令 = =1，但在某些特殊情況下，值需根據(jù)具體情況酌定。 4.有能量輸入（出）的伯努利方程 水泵揚(yáng)程：水泵對(duì)單位重量流體

31、所做的功，即單位重量流體經(jīng)過水泵后所增加的能量，以H表示。對(duì)水池?cái)嗝?-1與水箱斷面2-2列能量方程為 水泵提供的能量用來增加水能和克服阻力做功112-2z1z2四、恒定總流伯努利方程的應(yīng)用1、皮托管測(cè)流速 當(dāng)水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊(或四周)分流時(shí)，在物體表面上受水流頂沖的A點(diǎn)流速等于零，稱為滯止點(diǎn)(或駐點(diǎn))。在滯止點(diǎn)處水流的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。皮托管就是利用這個(gè)原理制成的一種量測(cè)流速的儀器。 如圖，列A、B點(diǎn)伯努利方程 加系數(shù)修正：0huABP/g0P/g0huABP/g0P/g 修正原因： 1實(shí)際流體粘性作用引起水頭損失。 2皮托管放入流體中所產(chǎn)生的擾動(dòng)影響。 稱為皮托管的校正

32、系數(shù)，一般 約為0.98- 。 想一想：皮托管通常用來測(cè)量( )水頭，而測(cè)壓管所測(cè)量的是( )水頭，兩者之差為( )水頭?？倻y(cè)壓管流速2、文丘里流量計(jì) 文丘里流量計(jì)是測(cè)量管道中流量大小的一種裝置，由兩段錐形管和一段較細(xì)的管子相聯(lián)結(jié)而成。前面部分為收縮段，中間叫喉管，后面部分叫擴(kuò)散段。 對(duì)1-1和2-2斷面，總流的能 量方程 不計(jì)水頭損失有 而 水頭損失會(huì)促使流量減少，對(duì)于這個(gè)誤差一般也是用文丘里管修正系數(shù)來修正，實(shí)際流量 流量系數(shù) 一般約為 所以有 因此通過文丘里流量計(jì)的流量為 式中注意：此式適用于管軸線水平或傾斜。問題1.文丘里流量計(jì)是通過測(cè)兩個(gè)斷面的( )來測(cè)量計(jì)算管道的流量的。2.文丘里

33、流量計(jì)流量公式能不能用來測(cè)量傾斜管道中的流量？測(cè)壓管水頭差(能)在工程中，有時(shí)需要求解液流對(duì)邊界的動(dòng)水作用力。如鎮(zhèn)墩、消火槍噴頭等。這類力不同于靜水壓力，不能用靜水壓力公式計(jì)算，而且邊界上的壓強(qiáng)分布復(fù)雜，也不能用能量方程求解。但可以用動(dòng)量方程求解。流體力學(xué)的動(dòng)量方程可以用物理學(xué)中的動(dòng)量定律推導(dǎo)。R=?V1V23-6 動(dòng)量方程動(dòng)量定律：作用在物體上的沖量等于這個(gè)物體動(dòng)量的增量，即 式中：動(dòng)量 在恒定流中取漸變流斷面1-1、 2-2為控制斷面，經(jīng)dt后1-2水體流至1-2，因是恒定流，1-2段動(dòng)量不變。故任取一微小流束MN，微小流束1-1流段內(nèi)流體的動(dòng)量 。對(duì)斷面A1積分有 同理 采用斷面平均流速

34、v代替u，有 其中 ，動(dòng)量修正系數(shù)是表示單位時(shí)間內(nèi)通過斷面的實(shí)際動(dòng)量與單位時(shí)間內(nèi)以相應(yīng)的斷面平均流速通過的動(dòng)量的比值。1，其數(shù)值取決于速度分布的不均勻程度；對(duì)圓管層流；對(duì)圓管紊流，常采用 。因?yàn)?故有： 于是得恒定總流的動(dòng)量方程為： 在直角坐標(biāo)系中 的投影為： 恒定總流動(dòng)量方程的含義：作用于流體上的合外力等于流體單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量增量。 方程應(yīng)用的關(guān)鍵在于控制體的選擇，其選擇原則為： (1)控制體應(yīng)包含受力影響的全部流體； (2)控制體界面上的參數(shù)應(yīng)為已知或可求。動(dòng)量方程的解題步驟 1. 選控制體：根據(jù)問題的要求，將所研究的兩個(gè)漸變流斷面之間的水體取為控制體； 2. 選坐標(biāo)系：選定坐標(biāo)軸的方向，確

35、定各作用力及流速的投影的大小和方向； 3. 作計(jì)算簡圖：分析控制體受力情況，并在控制體上標(biāo)出全部作用力的方向； 4. 列動(dòng)量方程解題：將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動(dòng)量方程求解。計(jì)算壓力時(shí)，壓強(qiáng)采用相對(duì)壓強(qiáng)。注意與能量方程及連續(xù)性方程聯(lián)合使用。對(duì)于分叉水流，動(dòng)量方程應(yīng)用條件：恒、漸、不可壓縮。 應(yīng)用動(dòng)量方程式時(shí)要注意的問題： 1) 動(dòng)量方程式是向量式，因此，必須首先選定投影軸，標(biāo)明正方向，其選擇以計(jì)算方便為宜。 2) 控制體一般取整個(gè)總流的邊界作為控制體邊界，橫向邊界一般都是取過流斷面。 3) 動(dòng)量方程式的左端，必須是輸出的動(dòng)量減去輸入的動(dòng)量，不可顛倒。 4) 對(duì)欲求的未知力，可以暫時(shí)假

36、定一個(gè)方向，若求得該力的計(jì)算值為正，表明原假定方向正確，若求得的值為負(fù)，表明與原假定方向相反。 5) 動(dòng)量方程只能求解一個(gè)未知數(shù)，若方程中未知數(shù)多于一個(gè)時(shí)，必須借助于和其他方程式（如連續(xù)性方程、能量方程）聯(lián)合求解。想一想：由動(dòng)量方程求得的力若為負(fù)值時(shí)說明什么問題？待求未知力的大小與控制體的大小有無關(guān)系？應(yīng)用中如何選取控制體？(方向反；無關(guān)(無重力時(shí))；計(jì)算斷面與固體壁面)2、恒定總流動(dòng)量方程應(yīng)用舉例 例 ：管路中一段水平放置的等直徑彎管，直徑d=200mm，轉(zhuǎn)角 ，管中1-1斷面平均流速為 ,其形心相對(duì)壓強(qiáng)p1等于一個(gè)工程大氣壓。若不計(jì)管流的水頭損失，求水流對(duì)彎管的作用力。解：取漸變流斷面1-

37、1與2-2間的水體作為分析對(duì)象，建立直角坐標(biāo)系xoy。兩端水壓力：YXO1122v1v2p1p2RxRy彎管對(duì)水流的作用力設(shè)為Rx、Ry，如圖所示。因是等直徑，V大小沒變化，但方向改變，動(dòng)量也改變。應(yīng)用動(dòng)量方程之前要先求V2和p2。由連：V1A1= V2A2, 得 V2=4 m/s由能：式中，Z1= Z2 ,hw =0, 代入可得 p2 = p1=1個(gè)工程大氣壓N/cm2=98000 N/m2YXO1122v1v2p1p2RxRy式中，代入已知數(shù)據(jù)得：Rx=1049（N） Ry=2532 （N） 水流對(duì)彎管的作用力方向相反。 應(yīng)用動(dòng)量方程求Rx、Ry：YXO1122v1v2p1p2RxRy例

38、有一沿鉛垂直立墻壁敷設(shè)的彎管如圖所示，彎頭轉(zhuǎn)角為900， 起始斷面1-1與終止斷面2-2間的軸線長度L為m，兩斷面中心高差 為2m，已知1-1斷面中心處動(dòng)水壓強(qiáng) 為kN/m2，兩斷面之間水頭損失hw為m，已知管徑d為m，試求當(dāng)管中通過流量qv為m3/s時(shí)，水流對(duì)彎頭的作用力。 解： （1）求管中流速 （2）求2-2斷面中心處動(dòng)水壓強(qiáng) 以2-2斷面為基準(zhǔn)面，對(duì)1-1與2-2斷面寫能量方程為 于是（3）求彎頭內(nèi)水重 （4）計(jì)算作用于1-1斷面與2-2斷面上動(dòng)水總壓力 將hwm， kN/m2代入上式可求出： （5）對(duì)彎頭內(nèi)水流沿x、y方向分別寫動(dòng)量方程式 令管壁對(duì)水體的反作用力在水平和鉛垂方向的分力

39、為Rx及Ry。 沿X方向動(dòng)量方程： 沿y方向動(dòng)量方程： 管壁對(duì)水流的總作用力 令反作用力R與水平軸x的夾角為，則 水流對(duì)管壁的作用力與R大小相等，方向相反。3-7 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析 一、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)比剛體和固體復(fù)雜得多，它通常由平移、旋轉(zhuǎn)和變形三部分組成，如圖所示。 取正方形微團(tuán)以A為基點(diǎn)，如圖。1、ux、uy ：平動(dòng)2、經(jīng)dt時(shí)段， AB拉伸了 線應(yīng)變?yōu)?AD線應(yīng)變?yōu)?uxuyADCB3 、 如圖分解為兩種運(yùn)動(dòng)：(1)單純角變形：AB與 AD在dt時(shí)段內(nèi)相向轉(zhuǎn)過同一個(gè)角度=+ABDCAABBDDCCAB與 AD在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過同一個(gè)角度，即具有相同的角應(yīng)變率：(2

40、)單純旋轉(zhuǎn)：AB與 AD在dt內(nèi)同向旋轉(zhuǎn)過同一個(gè)角度：AB與 AD在單位時(shí)間內(nèi)同向旋轉(zhuǎn)過同一個(gè)角度，即具有相同旋轉(zhuǎn)角速度：M點(diǎn)的速度可表示為：推廣到三元流：當(dāng)平動(dòng)(角變)旋轉(zhuǎn)(線變)平動(dòng)(線變)(角變)旋轉(zhuǎn)由“連”知: x+y+z=0二、有旋運(yùn)動(dòng)和無旋運(yùn)動(dòng) x、y、z 三者至少一個(gè)不為零的流動(dòng)稱有旋運(yùn)動(dòng)x、y、z 三者均為零的流動(dòng)稱無旋運(yùn)動(dòng)即例 已知某二元不可壓縮流場(chǎng)速度分布為ux=x2+4x-y2 uy=-2xy-4y,試確定：(1)流動(dòng)是否連續(xù)？(2)流場(chǎng)是否有旋？(3)速度為零的駐點(diǎn)位置。解 (1)由 判斷可知流動(dòng)連續(xù)。 (2)因?yàn)?所以流場(chǎng)無旋。 (3)由駐點(diǎn)ux=0，uy=0 解方程

41、 得駐點(diǎn)為3-8 理想流體無旋流動(dòng)簡介 流體運(yùn)動(dòng)可分為有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 本節(jié)簡要介紹求解無旋流動(dòng)的基本方法。 一、流速勢(shì)函數(shù)對(duì)于無旋流動(dòng)有該式使 成為某函數(shù) 全微分的充分必要條件，即得 稱為流速勢(shì)函數(shù)。問題1. 流速勢(shì)函數(shù)存在的必要與充分條件是: A、平面無旋流動(dòng) B、理想流體平面流動(dòng) C、不可壓縮流體平面流動(dòng)2. 設(shè)流速勢(shì)函數(shù) =xyz，則點(diǎn)B(1，2，1)處的速度 uB為： A、5 B、1 D、2D、無旋流C、3二、流函數(shù) 對(duì)不可壓縮流體平面流動(dòng)，其連續(xù)性方程使流線方程 成為某函數(shù) 全微分的充分必要條件。即得 叫做不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)。 流函數(shù)存在的充分必要條件就是不可壓縮流體

42、的連續(xù)性方程式，所以不可壓縮流體作平面連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)就有流函數(shù)存在。三、流函數(shù)與流速勢(shì)的關(guān)系平面勢(shì)流中任何一點(diǎn)都有一個(gè)流函數(shù)和流速勢(shì)。 流函數(shù)的性質(zhì)： 1、任意兩流線間所通過的單寬流量等于該兩流線的流函數(shù)值之差。 2、等流函數(shù)線就是流線。 故等流函數(shù)（=常數(shù)）線就是流線。3. 對(duì)于平面恒定勢(shì)流，等流線簇和等勢(shì)線簇正交顯然，這是平面流動(dòng)的流線微分方程，例 已知某不可壓縮流體平面勢(shì)流 ，求流函數(shù)。解 得 由一式積分 所以 積分得 流函數(shù)為 本章小結(jié)一、基本概念 1.基本概念及其性質(zhì) 1)元流：充滿在流管中的流體稱為元流或微小流束。元流的極限是一條流線。無數(shù)元流之和就構(gòu)成總流。 2)過流斷面：即垂直于流

43、體流動(dòng)方向的橫斷面，即與元流或總流的流線成正交的橫斷面稱為過流斷面。 3)平均流速：由通過過流斷面的流量qv除以過流斷面的面積A而得的流速稱為斷面平均流速，常用v表示，即 4)漸變流：水流的流線幾乎是平行直線的流動(dòng)?；蛘唠m有彎曲但曲率半徑又很大的流體流動(dòng)，則可視為漸變流。漸變流的極限是均勻流。 5)急變流：流線間夾角很大或曲率半徑較小，流線是曲線。 6)動(dòng)能(動(dòng)量)修正系數(shù)：指按實(shí)際流速分布計(jì)算的動(dòng)能(動(dòng)量)與按斷面平均流速計(jì)算的動(dòng)能(動(dòng)量)的比值。 它們的值均大于，且取決于總流過流斷面的流速分布，分布越均勻，其值越小，越接近于。一般工程計(jì)算中常取。 流線的性質(zhì)： a.同一時(shí)刻的不同流線，不能相交。 b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。 c.流線簇的疏密反映了速度的大小。 流函數(shù)的性質(zhì)：對(duì)于平面恒定勢(shì)流，流線簇和等勢(shì)線簇正交；任意兩條流線的流函數(shù)之差等于通過這兩條流線間的單寬流量；等流函數(shù)線是流線。 理想流體的伯努利方程