專題一 集 合

1、2012年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列一一高中數(shù)學(xué)必修一【第一章、集合】一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對(duì)象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個(gè) 對(duì)象稱為元素，用小寫字母來表示，元素工在集合A中，稱工屬于A，記為尤e入，否則稱工不屬于A，記作尤任入。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集 合稱為空集，用0來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開表示集合的方法，如1，2， 3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號(hào)內(nèi)表示集

2、合的方法。例如有理數(shù)，X 0分別表示有理數(shù)集和 正實(shí)數(shù)集。定義2子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集， 記為入U(xiǎn) ，例如N U乞。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相 等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。便于理解：|入-B包含兩個(gè)意思：A與B相等、A是B的真子集定義3交集，A B = % 心 B.定義4并集，A U B = xx g A茹e B.定義5補(bǔ)集，若A - LMC1A =協(xié)G L且居A稱為A在I中的補(bǔ)集。定義6集合國C日,x e R，a b記作開區(qū)間(。,集合協(xié) x

3、b,x e R,a 0,. 0 2x +1 1【解析】：2 1 、故選Ax e -上,02 J2.(2011.江蘇卷 1)已知集合A = -1,1,2,4, B = -1,0,2,貝0AcB =,【解析】根據(jù)集合交集概念，易得出答案：1，23. （2011 .廣東卷 2）.已知集合 A = （x, y）l x, y 為實(shí)數(shù)，且 x2 + y2 = 1, B = （x, y） I x, y 為實(shí)數(shù)，且 y = x，則AcB的元素個(gè)數(shù)為A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】AcB的元素個(gè)數(shù)等價(jià)于圓x2 + y2 =1與直線y = x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然有2個(gè)交點(diǎn)。故選C4. (2011.北京卷 1)

4、集合P = x e Z |0 x 3,M = x e Rx2 9，則 PI M =(A) 1,2(B) 0,1,2(C)x|0Wx 0, q :（x + 1）（x - 2） 0，則P 是 F 的（A）充分條件（B）必要條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件2解析：.p ：3x2 - 8x + 4 ，即尤 2，p : 2 W x W 2 TOC o 1-5 h z 3.q:（x +1）（x 2） 0，即 x 2，.q : -1W x W 2 由集合關(guān)系知：p nq，而qp .p是q的充分條件，但不是必要條件.故選（A）.x 2V 2=12.若k e R，則 k 3”是“方程k - 3 k

5、+ 3表示雙曲線”的（）.（A）充分條件（B）必要條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件x 2V 2=1解析：方程k 3 k + 3表示雙曲線o (k -3)k( + 3 壓或k 0 的解集為()A. (0, +8)C. (2, + 8)B. (-1,0) u (2, +8)D. (-1,0)4x2 x 2故選Cf G/= 2x 2 0, 0,【解析】：x xx 0,.(x - 2)(x +1) 0,. x 22.已知集合? = VV = -x2 + 2, x R，Q =炒= -x + 2, x R，那么 P Q 等于().浙江溫嶺市萬昌中路118號(hào)郵政大樓東七樓Zip Code: 31

6、7500E-mail: x*du126sm（B） （0, 2）, （1, 1）(D)(A) (0, 2), (1, 1)(C) 1, 2解析：由代表元素可知兩集合均為數(shù)集，又P集合是函數(shù) =工2+2中的y的取值范圍，故P集合的實(shí)質(zhì)是 函數(shù)=f+2的值域.而q集合則為函數(shù)=*+2的定義域，從而易知P=中*2）,選（d）.評(píng)注：認(rèn)識(shí)一個(gè)集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，本題易因誤看代表元素而錯(cuò)選（B）或（C）.三、集合與方程1. （2011.廣東卷8）.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果Va,b e S，有ab e S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若的兩個(gè)不相交的非空子集，T u V = Z

7、，且Va,b,c e T，有abc e T ； Vx, y, z e V，有xyz e V，則下列結(jié)論恒成立的是B. T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的A. T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C. T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D. T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【解析】若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意， 若T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時(shí)T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C此時(shí)只有V關(guān)于乘法是封閉的，排除D、故選A2.已知A=xx2+2）x+頃 xe R, B=亦 0，且AnB=0，求實(shí)數(shù)p 的取值范圍.解析：集合A是方程x2 +（P + 2）x +1 = 0的解集，

8、則由A n B=0，可得兩種情況:A=0，則由=(p+2)2-40，得 一40,仲a 0,則有 L(p+2)v 0于是 p a 0.綜上，實(shí)數(shù)p的取值范圍為pp 一4).四、集合與不等式(2011.江西卷 2.)若集合 A = x I -1 2 x +1 3, B = x I 匕2 0,則 A c B =()xA. x| -1 x v0 B. x|0 v x 1 C. x|0 x 2 D. x|0 x 1【解析】：A =x / -1 x 1 B =x/0 v x 2 A c B = x/0 v x 1故選 B(2011 .陜西卷 7.)設(shè)集合 M = y| y =| cos2 x-sin2 x

9、 |, x e R, N = x | x 一 嘩,i 為虛數(shù)單位，x e R,i浙江溫嶺市萬昌中路118號(hào)郵政大樓東七樓Zip Code: 317500E-mail: x*du126com因?yàn)?I x - I v 2，所以 I x + i I v2 , iM n N = 0,1)，故選 C.3.合,A = a ax2 + 4x 一 1 N -2x2 - a恒成立,B = x x2 (2m + 1)x + m(m +1) v 0則mnn為（）(A) (0, 1)(B) (0，1(C) 0，1)(D) 0，1【分析】確定出集合的元素是關(guān)鍵。本題綜合了三角函數(shù)、復(fù)數(shù)的模，不等式等知識(shí)點(diǎn)?！窘馕觥窟x

10、C y =lcos2 x - sin 2 x I=lcos2 x Ig 0,1，所以 M =0,1；即1 x 一（-i） k t2，又因?yàn)閤 g R,所以一1 0,當(dāng)a + 2豐0時(shí)，欲使（淤）式對(duì)任意x均成立，必需滿足毛a -2,42 - 4( a + 2)(a 1) W 0, 即集合B是不等式x2 - （2m +1）x + m（m +1） 0的解集，浙江溫嶺市萬昌中路118號(hào)郵政大樓東七樓Zip Code: 317500E-mail: x*du126com可求得B = 巾c2即可，解得 m 1.五、集合與解析幾何例 6 已知集合=3,力kmx 2 = 0 和B = (x，力x 1 = 0，

11、0 W x +2=0及x+1=0是兩個(gè)曲線方程， 故anB0的實(shí)質(zhì)為兩個(gè)曲線有交點(diǎn)的問題，我們將其譯成數(shù)學(xué)語言即為：“拋物線x2+mx+2=0與線段 x +1 = 0(0 W x W 2)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.”J x 2 + mx - y + 2 = 0,x - y +1 = 0(0 W x W 2), /曰 TOC o 1-5 h z 由，得x 2 + ( m 1 ) x + 1 = W ( Wx2 ).a n b 女0，方程在區(qū)間0, 2上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.首先，由 = (m 1)24 A 0，得 m N 3 或 m W -1.x + x = (m 1) v 0 x x = 1 心當(dāng)mA3時(shí)，由12及12知，方程只有負(fù)