兩個(gè)角動(dòng)量的耦合及其磁矩

1、兩個(gè)角動(dòng)量的耦合及其磁矩兩個(gè)角動(dòng)量的耦合假設(shè)量子數(shù)為和的兩個(gè)角動(dòng)量H和島（它們是角動(dòng)量，并沒有專 指是軌道角動(dòng)量或自旋角動(dòng)量），它們耦合成一個(gè)角動(dòng)量了，即J = L 4- L2L =+ l）fi, Lo = /，22 + 1）方則J = （j + 1）方,j =人 +，2+，2 1, , |，1 一下面證明這一結(jié)論。證明的核心思想是：對(duì)于一個(gè)給定的J量子數(shù)， -.7 + !,- ,j - 1,J,或者叫=土金 （頂 一 1）, ,反過來，對(duì)于一套叫=-頂,-j + 1, ，頂可以反推求得j量子數(shù)。證明：了在外場方向上的分量為TTTJz = J，頭=Li&z + L2 ezL = Li,z +

2、L& = i + mg = m.jh由771/1 = /i, l + 1. . . . , Zj 1, Z如=兒 + L 02 + 11? rnj = mil + mi2用沖沖的每一個(gè)值加遍沖2中的所有值,將得到I + 1）2 + 1）個(gè)不 同的值： fTTlj = l或一，2 + 1, ，2 + 1, . . , . Jl +，2 1 Jl +，2 L+，2 =li ?2j 11 + 1 . ,+，2 1J1 +，2； =* 屬于jl =+，2.，1 ，2 + 1, ，2 + 2：.Ji +，2 l；n 屬于頂2 =，1 +，2 1-1，1 國,1，1 ，2 + 1, . . .，2； n

3、屬于jk |，1 ，2.即有：J =，1 +，2, +，2 1, . . . , Z2I0例1：求=1J2 = 2耦合所得的j, Jo解一：= mu + m/2 = (1? 0,1) 4- (2, 1,0,1,2)=3, 2, 1,0,1; 2, 1,0,1,2; 1,0,1,2,3;=3, 2, 2, 1T 1, 1,0,0,0? 1,1,1,2,2,33, 2, 1,0,1,2,3; = j = 3-2,-l,0,l,2;= j = 2 1,0,1 nj = l即頂=3, 2,1,相應(yīng)的J =/6/l, /2ho解二：由 j =，+ Z2,Z1+Z2-1,.,|Z1-Z2| 可以得到即頂=

4、3,2,1,相應(yīng)的J = /12/1, x/6fl, y/2ho例2、求量子數(shù)為九=1/2,侃=1的兩個(gè)角動(dòng)量耦合所得的，,，解：頂=4 +或，1，一，2| =3/2,1/2,所以J =寸每h2,g2。例3、求處于為態(tài)電子的自旋與軌道角動(dòng)量的耦合(L-S耦合)o解：對(duì)于為態(tài)，即電子處于 =2的？軌道，對(duì)于電子本身而言，具有自旋角動(dòng)量5, S = s(s + 1)方,s =；電子在刀軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，刀軌道對(duì)應(yīng)的軌道角動(dòng)量量子數(shù)Z = l,所以 有頂=/ + s, , |Z s| = 3/2,1/2所以J = a/15/2, y/bh/2o例4、求處于3d態(tài)電子的自旋與軌道角動(dòng)量的耦合。解：對(duì)于3d

5、軌道上的電子，其自旋量子數(shù)s=l/2,而3d的軌道量子數(shù)由d軌道給出，對(duì)于d軌道，其相應(yīng)的軌道量子數(shù)/ = 2,所以頂=Z + 1, . .山 一 s| = 5/2,3/2所以J = 0偵 + 1用=35/2, yi5/i/2o學(xué)生獨(dú)立完成的例題：求處于Is態(tài)電子的自旋于軌道角動(dòng)量的耦合。例5、兩個(gè)電子分別處于2p和3p軌道，求總的自旋角動(dòng)量量子數(shù)， 總的自旋角動(dòng)量，總的軌道量子數(shù)，總的軌道角動(dòng)量，以及總的角動(dòng) 量量子數(shù)和總角動(dòng)量。解：對(duì)于2p上的電子，其自旋量子數(shù)si = 1/2;對(duì)于3p上的電子，其自旋量子數(shù)如=1/2總的自旋量子數(shù)s = S + S2, - , |si S2I = 1,0

6、總的自旋角動(dòng)量S = /s(s + l)/i x/2/i, 0當(dāng)電子處于2p軌道時(shí)，軌道量子數(shù)h = l當(dāng)電子處于3p軌道時(shí)，軌道量子數(shù)扇=1總的軌道量子數(shù)/ = +成 ，|匕婦=2,1,0總的軌道角動(dòng)量 = /（/ + 1）方，=孩底0總的角動(dòng)量量子數(shù)為頂=，+邑. . .山s|,這要分情況討論：對(duì)于 s=1, 1 = 2,有）=3. 2,1, J = y/12h. a/6/z, /2h對(duì)于s = 1, / = 1,有j = 2,1,0, J =/2/z, 0對(duì)于s=i,Z = o,有 j = 1, J = y/2h對(duì)于s = 0, Z = 2,1,0. j = 2,1,0, J = /6/

7、z, x/2/i, 0注意，上面的結(jié)果中，J的大小相同的有很多個(gè)，但它們分別屬于不 同的狀態(tài)，所以不能合并在一起，只寫一個(gè)。該如何區(qū)分這些J值相同，但（人.5）卻不同的狀態(tài)呢？這需要用到所 謂的原子態(tài)符號(hào)來表示。L-S耦合的原子態(tài)符號(hào)表示為了區(qū)分仁邑J）的原子所處的狀態(tài)，引入原子態(tài)符號(hào)2+L,L用總的軌道量子數(shù)/所對(duì)應(yīng)的大寫字母來表示。如/ = 0對(duì)應(yīng)S,/= 1,2,3,4,5,6,L 則分別用 P,D,F,G,H, I.代表。2s+ 1s為總的自旋量子數(shù)，如s二1,則2s+1=3,那么就在大寫字母的左上角寫上3；如s=0,則2s+1=1,則左上角就寫上1 ；如s二1/2,2s+1二2,那么

8、就在左上角寫上2。j就是總的角動(dòng)量量子數(shù)。例：寫出/ = 1. ,s = 1,j = 2的原子態(tài)符號(hào)。解：/ = 1對(duì)應(yīng)的軌道大寫字母為P, sF可以得到2s+1=3,所以原子態(tài)為3八例：寫出/ = 0, s = 0的原子態(tài)符號(hào)。解：由題目可知j二0,所以，其原子態(tài)為例、寫出/ = 3, s = 0的原子態(tài)符號(hào)。解:由題目知j=l+s, |l-s|=3,所以原子態(tài)符號(hào)為1及例、寫出2p態(tài)電子所形成的原子態(tài)符號(hào)。解：對(duì)于2p態(tài)的電子，s=l/2J = l,頂=3/2,1/2。對(duì)于/ = l,s = 1/2,j = 3/2,其原子態(tài)符號(hào)為2尸2對(duì)于/ = l,s = 1/2,j = 1/2,其原子

9、態(tài)符號(hào)為20/2對(duì)于s和L都相同的原子態(tài)，上面的兩個(gè)結(jié)果可以合并寫在一起： 2R/2J/2,雖然寫成一個(gè)符號(hào)，但里面有兩個(gè)不同的j值，所以代表2 個(gè)不同的原子態(tài)。例、寫出1S態(tài)電子所形成的原子態(tài)符號(hào)例、寫出3d態(tài)電子所形成的原子態(tài)符號(hào)例、兩個(gè)電子分別處于2p3p態(tài)，求L-S耦合所形成的原子態(tài)符號(hào)。解：對(duì)于2p態(tài)的電子，si = 1/2. = 1對(duì)于3p態(tài)的電子，s2 = 1/2山=1總自旋量子數(shù)s = Si + S2, , | - S2I = 1,0總的軌道量子數(shù)為Z =+或 ，|，1 一婦=2,1,0對(duì)于s = 0,Z = 2,j = 2,原子態(tài)為1 2對(duì)于s = 0, / = 1, j =

10、 1,原子態(tài)為對(duì)于5 = 0J = 0,j = 0,原子態(tài)為】S(J對(duì)于s =1,1 = 2, j = 3,2, 1,原子態(tài)為3。3,3。2,3。1,合并為33 2,1對(duì)于s = 1, Z = l,j = 2,1,0,原子態(tài)為3B?. 1.0對(duì)于s = 1,/ = 0. j = 1,原子態(tài)為估1作業(yè)：兩個(gè)電子分別處于2p和3d軌道，求總的自旋角動(dòng)量量子數(shù)， 總的自旋角動(dòng)量，總的軌道量子數(shù)，總的軌道角動(dòng)量，以及總的角動(dòng) 量量子數(shù)和總角動(dòng)量。并寫出L-S耦合所形成的原子態(tài)符號(hào)。反過來，我們也應(yīng)該能夠從一個(gè)給定的原子態(tài)符號(hào)中得到(/,$/) 的值。例、對(duì)于原子態(tài)壓,求，S頂勺值。解：由2s+1=3可

11、得s=1；由右下角的數(shù)值5可以得出j=5,對(duì)于大寫 字母H,所對(duì)應(yīng)的軌道量子數(shù)Z = 5,即(小3) = (5,1,5)。耦合的方式LS耦合：就是軌道角動(dòng)量L和自旋角動(dòng)量S的耦合，通常是先求 出總軌道角動(dòng)量萬以及總自旋角動(dòng)量京然后再用萬和&耦合成總角動(dòng) 量了。L L + L2 + . . L =+ 1)底 / = + ,-S=昌+易+S = S*S + 1)/1, S = Si + S2 J = L + SJ =(頂 + 1)4頂=/ + s,z + s _ 1, . , |z _ s|對(duì)于LS耦合，可以使用原子態(tài)符號(hào)公+i&來表示。jj耦合：就是每個(gè)軌道上的單個(gè)電子的自旋與軌道先耦合成一個(gè)

12、角動(dòng)量然后各個(gè)Z之間耦合成一個(gè)總的角動(dòng)量了。即Ji = Li + SiJ Ji + . J =+1)底頂=頂1 + 頂2 對(duì)于jj耦合，通常用如,)來表示。例、2個(gè)電子分別處于2s2p軌道，求jj耦合所得到的角動(dòng)量。解：電子處于2s軌道時(shí)，si = 1/2 Ji = 00 = 1/2電子處于2p軌道時(shí)，s.2 = 1/2,6 = 1J2 = 3/2,1/2所以對(duì)于j,有：當(dāng)頂2 = 3/2時(shí)，j = ji + j2J +頂2 1，|頂1 一項(xiàng)2 = 2, 1,對(duì)應(yīng)的原子態(tài)有1 32?2可以合并寫成2大小分別為面I, /2fio,對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量的2.1可以合當(dāng)J2 = 1/2時(shí)，j = 1,0,對(duì)

13、應(yīng)的原子態(tài)為,相應(yīng)的角動(dòng)量大小為/2/.,0oZ l.o其他的耦合方式：如處在第/軌道上的電子自旋與j軌道上軌道角動(dòng)量先耦合等等。這種情況耦合的強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)弱于前面兩種，通常不考耦合角動(dòng)量相對(duì)應(yīng)的磁矩以及朗德因子仍對(duì)于量子數(shù)的兩個(gè)角動(dòng)量源,君，了=1 +況 其與j相應(yīng)的磁 矩為用=-9”，灼 = 一 J = -g-h/jG +1) =+ 1)而與扁J相應(yīng)的磁矩為TT01 = 一。函1,02 = 一。2汕2這兩個(gè)磁矩的耦合得到0 =-機(jī)。11 +。2,2)由于0可能會(huì)與.於不相等，所以得到的日與用可能不在同一直線 上，會(huì)有一夾角，即/7尹周。而在了方向上的投影，即為用，即有三-邛g,jJ今ft_ 了

14、=孑_-701 El +。2萬2） （El + 了2）=91 Li + 922 +（91 + 92）Li - L，2=J2JJ2Lx L2=Zi 4- 9 =： +以+ 2履扃n=；（j2 _ 身 _ 說）所以有_ I（51 + 32）J2 + （。1 *（。1 +。2） L + （。2 一 *（。1 +。2）說第=91 + 92（91 免）（昌易）=+冒即有：對(duì)于無=-ygiL和而=一刈2匚1耦合所得到的flj = Sjj,其朗德因子勿 + 92（91 - 92）（-7 勇）仞=下*斗=寸+（y葛）3=面而例如，對(duì)于LS耦合，gi = gi = I,% = gs = 2, L=，為軌道角動(dòng)量

15、，L2 = S為自旋角動(dòng)量，那么，其朗德因子為3S 2 一 L 2+ 22/這樣,= 一 gp/J = 一切也/頂（頂 + 1）如果gj = 0,意味著fi j = 0,根據(jù)/.ij = p J/ J可知，要么/7 = 0或J = 0或垂直于了例1、求aS#的灼解：對(duì)于 2另/2 ,有 / = O,s = 1/2, j = 1/2 , L = 0. S = /3h/2, j = /3/i/2,代入3 S2-L2箱=寸kf-g, = 2,所以印=-9j/*j + 1膈=_2招瓦# =例2、求叩/的力必。例3、電子處于2p軌道上，求其原子態(tài)、角動(dòng)量和磁矩的可能值。例4、兩個(gè)電子處于2s3p軌道，求

16、LS耦合的原子態(tài)、角動(dòng)量和磁矩 的可能值。例5、兩個(gè)電子處于2s3p軌道，求jj耦合的原子態(tài)、角動(dòng)量和磁矩 的可能值。解：對(duì)2s軌道上的電子,si = 1/2J1 = 0,九=1/2,相應(yīng)的朗德因子3 S2 L2 3 si(si + 1) 022.P2 十 2頂心 + 1)對(duì)3p軌道上的電子，s2 = 1/2,/2 = 1,先=3/2, l/2o當(dāng)j2 = 3/2時(shí)，其朗德因子為_ 3$2($2 + 1) ，2(，2 + 1) _ 4弟=22 如2 + 1)= 3當(dāng)j2 = 1/2時(shí)，其朗德因子為 TOC o 1-5 h z 3S2（S2 + 1） ，2（，2 +1）2+ =22頂.2（頂2 + 1）3所以jj耦合的結(jié)果為R 491 + 92 （勿 一。2）/1（頂1 + 1） 頂2（頂2 + 1） = 3頃衫2浦_22j（頂+ 1）_ 2相應(yīng)的角動(dòng)量大小為Z =思們磁矩“ =磁矩在外場方向、3上的分量為代=m.j = 2, 1,0, l,2oR 4= 91 + 92 （gi