行程圖示解法(柳卡圖)

1、 /16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 /16行程問題中的圖示解法一.S-T圖豎軸表示路程，一般為出發(fā)后的每一時刻離出發(fā)的距離，出發(fā)時此距離為0。橫軸表示時間，一般從出發(fā)開始計時，出發(fā)點處時間為0。圖形中的每個點均表示在某一時刻時的位置。如卜圖，小明從家出發(fā)去上學，家和學校的距離為2米。規(guī)定豎軸為離家的距離，橫軸為出發(fā)的時間。其中A點表示出發(fā)5分鐘后小明在離家1米的位置，B點表示出發(fā)10分鐘后小明在離家米的位置，即到達學校。可以看到B點Z后，隨著時間的改變小明的位置并未發(fā)生改變，即這個階段小明均在學校里,在ST圖中，每個點的路程數(shù)值和時間數(shù)值的比值即為速度。圖中OB為一條直線，由三角形相似的知

2、識我們町以知道，此直線上的任意一點的路程與時間的比值都相等，即由O到B這個階段速度是不變的。我們町以用OB上任意一點的數(shù)據(jù)求出速度，如看A點，路程為1米，時間為5分鐘，速度為1-5=02米/分鐘。法國數(shù)學家柳卡施斗姆生于瑞士，因數(shù)學上的成就，于1836年當選為法國科學院院士。在十九世紀的一次國際數(shù)學會議期間，有一天，正半來自世界齊國的許多著名數(shù)學家晨宴快要結束的時候，法國數(shù)學家柳卡向在場的數(shù)學家提出困擾他很久、自認“最困難”的題目：“某輪船公司每天中午都右-艘輪船從哈佛開往紐約，并且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中所花的時間來去都是七任夜，而且都足勻速航行在同一條航線上。問

3、今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來?”（此即著名的“柳卡趣題”）【分析】法一：推理從哈佛開出的輪船遇到的紐約開來的輪船有兩類，一類是該船出發(fā)林已從紐約發(fā)出且尚未到達哈佛的輪船，即該船出發(fā)前7天內紐約發(fā)出的輪船，除出發(fā)時紐約剛到達倫敦的一艘船外途中共遇到6艘。另一類是該船出發(fā)后從紐約發(fā)出的輪船，即該船出發(fā)后7天內紐約發(fā)出的輪船，除到達倫敦時剛發(fā)出的船外途中共遇到7艘。即從哈佛開出的輪船在到達紐約前，途中能遇上6+7=13艘從紐約開來的輪船。法二：柳卡圖哈佛出發(fā)的輪船行全程的時間：7天，紐約出發(fā)的輪船行全程的時間：7天。橫軸：時間(單位:1天)縱

4、軸：路程由圖可知：從哈佛開出的輪船在到達紐約前，途中能遇上13艘從紐約開來的輪船.柳卡圖，不用基本公式解決，用數(shù)形結合的思想，結合時間-距離圖快速解題。畫圖步驟如下：第一步：確定兩個方向行駛全程的時間，從而確定時間單位，即時間軸上址小的一格所代表的時間。第二步：根據(jù)往返時間確定每次往返兩地的時刻，畫上往返兩地的線段。其中交點表示同一時間出現(xiàn)在同一位置，即“相遇”了，那么“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”均町求出。若結合幾何相似模型，還可以求出相遇點距離起點和終點等的實際距離。三、柳卡圖應用適用題目類型：多次往返相遇問題、固定點(端點等)變速問題快速化柳卡圖方法：先確定來和回的時間或時間份數(shù)用柳卡圖

5、求路程：結合沙漏、燕尾等四、柳卡圖解決多次往返相遇問題【例題】如圖，甲、乙兩人在相距70米的甲乙兩端同時出發(fā)來回步行，甲的速度和乙的速度之比為34,他們相遇的地點分別用A、B、G表示，問：TOC o 1-5 h z(1)A點到甲地的距離為米；C)B點到甲地的距離為米，到乙地的距離為米；C點到乙地的距離為米；F點到G點的距離為米(提示：F點到甲地距離減去G點到甲地的距離)。【答案】(1)30：(2)50,20；(3)60；(4)20【分析】甲乙速度比34,則二人走一個全程需時間比為43,設甲走1個全程的時間為4t,乙走1個全程的時間為3t0橫軸：時間(單位土)縱軸：路程(單位m)紅線：甲藍線：乙

6、交點：A點距甲地30米B點距甲地50米，距乙地20米F點距甲地50米，G點距甲地30米，F(xiàn)點到G點的距離為50-30=20復習題S-T圖一個人開車從甲地到乙地，到乙地立即返回。甲乙相距15T米，他去的時候用了40分鐘，回來的時候用了60分鐘，在下面的圖中畫岀他的行程過程。路程千米時間(分鐘)聰聰在乙地休息了60分鐘后又返回了甲地，根據(jù)圖中信息，求聰聰去時的速度和回來時候的速度看看他什么時候開得快。一個人步行從A地到B地.行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 /16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/164一個人步行返于AB之間。根據(jù)卜圖所示信息，求出他的平均速度。5龜兔從同起點進行200米賽跑，兔子

7、在途中睡覺休息，直到烏龜從身邊跑過一段時間后，兔子醒來再起身向前跑去。根據(jù)圖中的信息町知，則兔子醒來再起身以每分仲米的速度才能和烏龜同時到達終點.龜兔從同一起點起跑.快跑的兔子在途中睡覺休息，直到烏龜從身邊跑過一段時間后，兔子醒來再起身向前跑去。根據(jù)圖中的信息可知，若兔子能在到達終點之前趕上烏龜，則比賽的路程至少應為米。甲乙兩人都從A地去往B地,地.問：乙在什么地方追上甲？二.發(fā)車間隔問題8.條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘右一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站.在路上他又遇到了10輛

8、迎而開來的電車.到達甲站時，恰好又有-輛電車從甲站開出問他從乙站到甲站用了多少分仲？9AB是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點到11點從代B兩站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需105分，從B站到A站單程需80分。問：（1）8:30、9:00從A站發(fā)車的司機分別能看到幾輛從B站開來的汽車？（2）從A站發(fā)車的司機址少能看到幾輛從B站開來的汽車？每天中午右一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？甲乙兩站從上午6時開始每隔8分同時

9、相向發(fā)出一輛公共汽車，汽車單程運行需45分。有一名乘客乘坐6點16分從甲站開出的汽車，途中他能遇到幾輛從乙站開往甲站的公共汽車？輛公共汽車1200開始從A車站出發(fā)，往返于AB兩個公交車站之若從AtE用3個小時，從BA用4個小時。有一個行人1300時從B車站步行去A車站，己知他花了8個小時到達A車站，問，途中，他遇到幾次這輛公共汽車？三.多次往返相遇問丿兩名游泳運動員在長30米的游泳池里來回游泳.甲的速度是每秒1米.乙的速度是每秒06米，他們同時從游泳池的一端出發(fā)，來回一共游了21分鐘，他們一共遇上（迎面或同向）幾次？甲、乙二人同時從A地出發(fā)同向而行去往B地，甲的速度是每小時30米，乙的速度是每

10、小時20米，甲、乙到B地后立即返回A地.已知二人第二次相遇的地點距第次相遇的地點20米（兩人相遇指迎面相遇），那么，A、B兩地相距干米.A、B兩地相距950米，甲、乙兩人同時由A地出發(fā)，在A、B兩地往返鍛煉。甲步行每分鐘40米，乙跑步每分鐘150米，40分鐘后停止運動。甲、乙兩人第幾次迎面相遇相距B地最近？最近距離是多少米？一條大河，水由A港流向B港，流速4下米/時，甲、乙兩船同時由A向B行駛，各自不停的在A、E之間往返航行，甲船在靜水中的速度是米/時，乙船在靜水中的速度是20T米/時，己知兩船第二次迎面相遇的地點與兩船第五次相遇的地點相距50T米，那么A、B兩港相距T米.兔、龜在甲、乙兩地Z

11、間做往返跑，兔的速度是龜?shù)?倍.它們分別在甲.乙兩地同時相對起跑，當它們在途中相遇了12次時，龜正在跑第個單程.（2006年小學數(shù)學ABC精選題）甲乙二人在相距180米的立路兩端同時出發(fā)來回散步，甲每秒走？米，乙每秒走25米。每人都走了65分鐘，那么在這段時間內他們共相遇了次。甲乙二人同時從A地出發(fā)同向而行去往B地，甲的速度是每小時30T米，乙的速度是每小時20r米，二人相遇后繼續(xù)行進，甲、乙到B地后立即返回A地。已知兩個人第四次相遇的地點距離第三次相遇的地點20T米，那么A.B兩地相距多少T米？【解析】如圖，以20分鐘為基本單位畫時間軸。從出發(fā)開始離出地（甲地）越來越遠，直到到達15千米的魚

12、置（乙地），用時40分鐘，這一階段為一條向上的直線。從乙地返回時，始離出地（甲地）越來越近，直到到達0千米的位置（甲地），用時60分鐘，這一階段為一條向下的直線?！窘馕觥咳鐖D可知去時從O點到A點，路程為45千米，用時30分鐘，速度為45-30=1.5千米/分鐘回時從B點到C點，路程為45千米，用時140-90=50分鐘，速度為45-50=09千米/分鐘?？芍r開得快?！窘馕觥咳鐖D可知，從O點到C點表示這個人步行從A地出發(fā)到達B地的過程，此時離出發(fā)點（A地）越來越遠直到達到80千米，此時到達B地。CD段地點沒有變化，即停留在B地。從D到E點表示這個人步行從B地出發(fā)到達A地的過程，此時離出發(fā)點（

13、A地）越來越近直到達到0千米，此時返回A地?？偮烦蹋?0 x2=160千米總時間：160分鐘平均速度：160-160=1千來/分鐘?！窘馕觥咳鐖D可知，從O到C：由A地到B地：從C到D:由B地到A地：從D到E:由A地到B地：從E到F：停留在B地：從F到G：由B地到A地?？偮烦蹋?0 x4=360千米總時間：360分鐘平均速度：360-360=1千米/分鐘。5.【解析】由圖可知，鳥龜30分鐘疔程150米，連度為150-30=5米/分鐘，到達終點需200-5=40分鐘.兔子醒來吋已過了39分鐘，距離終點200-150=50米故兔子的速度為50-（40-39）=50米/分鐘時才能和鳥龜同時到達終點.【

14、解析】由圖可知，鳥龜30分鐘行程150米，連度為150-30=5米/分鐘。兔子5分鐘跑了150來，兔子的速度時150-5=30米/分鐘。兔子睡覺的時間烏龜跑了5*(40-30)=50米，到達終點需200-5=40分鐘.兔子要想趕上鳥龜至少需要50-(30-5)=2分鐘，即兔子醒后至少要跑30 x2=60米才能追上烏龜。比賽路程至少為15260=210米?！窘馕觥糠ㄒ唬寒嬓谐虉D行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16乙追上甲之前與追上甲之后，乙所多走的路程均為甲一小時的路程，即路程差相等。則乙追上甲之前和之后所行時間相等.可知乙在全程中點處追上甲。行程一圖

15、示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16【解析】法一：推理騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出。騎車過程中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，所以騎車從乙站到甲站的時間是5x8=40分鐘法二:柳卡圖行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16汽車行全程的時間為15分鐘，每5分鐘發(fā)一輛車。橫軸：時間(單位5分

16、鐘)，縱軸：路程，黑線：車，紅線：人交點：相遇點行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16騎車人一共看到12輛車，他從乙站出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出。到達甲站時看到的是第12輛車。由圖可知，這個人用了8個間隔，KP5x8=40分鐘的時間，從甲站到達了乙站。行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 /16行程一圖示解法(柳卡圖)周艷麗 /16【解析】法一：推理從A站發(fā)車的司機看到的車輛包括兩吳，一吳是該司機發(fā)車前已從B站出發(fā)且尚未到達A站的所有車輛，即該司機發(fā)車前80分鐘內B站發(fā)出的車輛。第二類是該司機發(fā)車后到達B站這段時間內從B站發(fā)出的所

17、有車輛，即該司機發(fā)車后105分鐘內從B站發(fā)出的車輛.兩個車站都是每個半小時同時發(fā)一輛車，即只有該司機發(fā)車前60分、發(fā)車前30分、發(fā)車當時、發(fā)車后30分、發(fā)車后60分、發(fā)車后90分，能看見B站開出的車，最多6輛。8:30出發(fā)的司機在其發(fā)車前60分鐘B站沒有發(fā)車，發(fā)車前30分、發(fā)車當時、發(fā)車后30分、發(fā)車后60分、發(fā)車后90分，均能看見B站開出的車，共5輛。9:00出發(fā)的司機在其發(fā)車前60分鐘、發(fā)車前30分、發(fā)車當時、發(fā)車后30分、發(fā)車后60分、發(fā)車后90分，均能看見B站開出的車，共6輛。11點從A發(fā)車的司機只能看到在其發(fā)車前60分鐘、發(fā)車前30分、發(fā)車當時從B站開出的3輛車.該司機看到的車輛最少

18、。法二：柳卡圖A站出發(fā)的汽車行全程的時間：105分鐘，B站出發(fā)的汽車行全程的時間：80分鐘。橫軸：時間(單位30分鐘)縱軸：路程紅線：A站發(fā)除的車藍線：B站發(fā)出的車交點：相遇點由圖可知：8:30從A站發(fā)車的司機能看到800到1000從B站發(fā)出的5輛車。900從B站發(fā)車的司機能看到8:00到10:30從B站發(fā)出的6輛車.11:00從A發(fā)車的司機看到從B站發(fā)出的車最少，只有從10:00到1100發(fā)岀的3輛【解析】法一：推理從哈佛開出的輪船遇到的紐約開來的輪船有兩類，一類是該船出發(fā)前已從紐約發(fā)出且尚未到達哈佛的輪船，即該船出發(fā)前7天內紐約發(fā)出的輪船，除出發(fā)時紐約剛到達倫敦的一艘船外途中共遇到6艘。另

19、一類是該船出發(fā)后從紐約發(fā)出的輪船，即該船出發(fā)后7天內紐約發(fā)出的輪船，除到達倫敦時剛發(fā)出的船外途中共遇到7艘。即從哈佛開出的輪船在到達紐約前，途中能遇上6+7=13艘從紐約開來的輪船。法二：柳卡圖哈佛出發(fā)的輪船行全程的時間：7天，紐約出發(fā)的輪船行全程的時間：7天。橫軸：時間(單位天)縱軸：路程：紅線：洽佛出發(fā)的船：藍線：紐約發(fā)出的船：交點：相遇點由圖可知：從哈佛開出的輪船在到達紐約前.途中能遇上13艘從紐約開來的輪船【解析】法一：推理從甲站出發(fā)的車遇到的乙站的車有兩類，一矣是該發(fā)車前已從乙站出發(fā)且尚未到達甲站的所有車輛，即該車發(fā)車前45分鐘內乙站發(fā)出的車輛。第二類是該車發(fā)車后到達乙站這段時間內從

20、乙站發(fā)出的車，即該司機發(fā)車后45分鐘內從乙站發(fā)出的車輛.6:16甲站發(fā)出的車在其發(fā)車前45分鐘內乙站在600、6:08發(fā)出兩輛車。701分到達乙站，在其發(fā)車當時、發(fā)車后8分、發(fā)車后16分、發(fā)車后24分，發(fā)車后32分，發(fā)車后40分，均能看見乙站開出的車。即途中他能遇到2+6=8從乙站開出的共公共汽車。柳卡圖甲站出發(fā)的汽車行全程的時間：45分鐘，乙站出發(fā)的汽車行全程的時間：45分鐘。橫軸：時間（單位:8分鐘）縱軸：路程紅線：甲站出發(fā)的車藍線：乙站出發(fā)的車交點:相遇點6:006:086:166:246:326:406:486:567:047:127:207:286:006:086M&6:246:32

21、6:406:486:567:047:127:207口8由圖可知：6:16甲站發(fā)出的車途中遇到8輛從乙站開出的共公共汽車。11【解析】法一：推理人晚上2100到達，車從1200到21:00行駛了共9小時。車先由A到B,人車相遇一次。接著，車由B到A,車先到達A,人車相遇第二次。最后車由A到B的方向上荷駛了兩個小時，人車相遇第三次。法二：柳卡圖公共汽車行全程的時間：3天，人全程的時間：8天。橫軸：時間（單位:1小時）縱軸：路程紅線：車藍線：人交點：相遇點【解析】柳卡圖甲游全程用時：30-1=30秒，乙游全程用時：30-06=50秒甲往返全程需30 x2=60秒，乙往返全程需50 x2=100秒，二

22、人每隔60,100=300秒重新同時回起點一次。分鐘=1260秒。即二人的遇上情況以300秒為1個周期。下面畫出出發(fā)起300秒內的柳卡圖。橫軸：時間（單位：10秒）縱軸：路程紅線：甲藍線：乙交點：相遇點（迎面或同向）行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 #/16行程一圖示解法(柳卡圖)周艷麗 #/16行程一圖示解法（柳卡圖）周艷麗 /16行程一圖示解法(柳卡圖)周艷麗 #/161260-300=460.由圖可知：300秒內二人遇上8次.60秒內二人相遇一次所以二人21分鐘內一共遇上8x4+1=33次?！窘馕觥糠ㄒ唬憾啻蜗嘤霎嬓谐虉D可知，每次相遇二人路程和均為兩個全程。甲乙速度比30:20=3:2,設

23、第一次相遇時甲的路程為6份，乙的路程為4份，則全程為（6+4）=5份。則每次相遇乙走的路程都是4份。ACDEFB乙卜二=21第二次第一次和遇，乙的路程是4份，和遇點在F。第二次相遇，乙的路程是4x2=8份，相遇點莊D?？芍?，DFW0千米，則一份：20-2=10千米，全程10 x5=50千米。法二：柳卡圖乙反向交點：迎面相遇點甲乙速度比30:20=3:2,甲行全程的時間是2t,乙行全程的時間是3t橫軸：時間（單位助4由圖可知，若AB的距離為1.則第一次相遇點C和A地的距離為第二次相遇點D5Ckm和A地的距離為彳。兩次相遇點的距離為20km,可知AB的距離為20-【解析】法一：多次相遇每次相遇二人

24、路程和均為兩個全程。每次相遇用時：950 x2*（40+150）=10分鐘TOC o 1-5 h zAB甲）鬥|二二二二二丄右兩人運動了40分鐘，即相遇40-10=4次。第一次相遇，甲的路程：40 x10=400米，距B地：950400=550米第二次相遇，甲的路程：40 x20=800米，距B地：950-800=150第三次和遇，甲的路程：40 x30=1200米，距B地：1200950=350米第四次和遇，甲的路程：40 x40=1600米，距B地：1600-950=650米可知甲乙第二次相遇距B地我近，最近距離是150米。法二:柳卡圖甲行全程的時間是95040=2375分鐘，乙疔全程的時

25、間是950-150=6分鐘。橫軸：時間（單位二分鐘）縱軸：路程紅線：甲藍線：乙反向交點：迎面相遇點由圖可知，第二次相遇和第三次相遇距離B池更近一些。其中CDE和GFE相似，CE=2375-3x6丄=475,EG=5x6-1-2375=7,可知C3312點離B地的距離更近一些。即第二次相遇點離B地最近。每次相遇二人路程和均為兩個全程。每次相遇用時：950 x2（40+150：=10分鐘第二次相遇，甲的路程：40 x20=800米，距B地：950-800=150【解析】柳卡圖V觀：W逆：V乙順：V乙連=(28+4):(28-4):(20+4):(20-4)=4:3:3:2設A、B兩;卷口之間的距離為1,則如順:t甲連:t乙順:t乙逆=:三匸匚=3:4463s設甲順流彳亍全程的