單自由度系統(tǒng)的振動(共8頁)

1、PAGE PAGE 9第2章 單自由度(SDOF)系統(tǒng)(xtng)振動(Single Degree of freedom) 如果振動系統(tǒng)任意時刻的空間位置只需要(xyo)一個獨(dú)立參數(shù)來表達(dá)，則稱為單自由度系統(tǒng)。本章介紹單自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程的建立，以及自由振動的特點(diǎn)和動力響應(yīng)的計(jì)算問題。2.1 運(yùn)動方程(fngchng)的建立此處分別應(yīng)用基于達(dá)朗貝爾原理的直接平衡法、虛位移原理和哈密頓原理建立振動微分方程。2.1.1 直接平衡法 承受動力荷載作用的任何單自由度系統(tǒng)均可以由圖21所示的模型來代表。圖21(a)中，為質(zhì)量塊的質(zhì)量()，是為彈簧的剛度()，為粘滯阻尼系數(shù)()，為干擾力()。將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)

2、在質(zhì)量塊的靜平衡位置處，坐標(biāo)即為相對于靜平衡位置產(chǎn)生的質(zhì)量塊的動位移。在任意瞬時取質(zhì)量塊的隔離體，如圖21(b)所示，作用于質(zhì)量塊上的力有下列四種： （1）彈性恢復(fù)力（它等于彈簧剛度與位移的乘積），與位移的方向相反； （2）阻尼力（假設(shè)為粘滯阻尼機(jī)理，它等于阻尼常數(shù)與速度的乘積），與速度的方向相反； （3）慣性力（根據(jù)dAlembert原理，它等于質(zhì)量與加速度的乘積），與加速度的方向相反；（4）干擾力，.（根據(jù)豎向力的動平衡條件即直接平衡法得出） (21)在振動的任意時刻，這四種(s zhn)力都保持著平衡，只是各個力所占的比例不同而已。由方程(21)可知(k zh)，相對于動力系統(tǒng)的靜力平衡

3、位置所建立的運(yùn)動方程(fngchng)是不受重力影響的。換言之，此類情況可以不考慮重力影響建立方程。由于這個原因，建立方程時，位移都以靜力平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此方程僅能得到系統(tǒng)的動位移，而總的位移應(yīng)該是動力位移響應(yīng)和靜力位移值的疊加。2.1.2 虛位移原理以圖21所示的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)說明如何應(yīng)用虛位移原理建立方程。令質(zhì)量發(fā)生虛位移，則作用在質(zhì)量上的四個力所作的總虛功應(yīng)該等于零，即式中的負(fù)號是因?yàn)榱Φ姆较蚝吞撐灰频姆较蛳喾?。因?yàn)樯鲜街械奶撐灰撇坏扔诹悖苋菀椎玫绞剑?1）所示的振動方程。， ，因?yàn)?，將四種力的表達(dá)式代入前式可推出 在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中某些結(jié)構(gòu)具有這樣的特點(diǎn)：彈性變形完全限定于局部的彈簧元件

4、中發(fā)生，而結(jié)構(gòu)本身沒有彈性變形，稱此為剛體集合系統(tǒng)?，F(xiàn)在介紹采用虛位移原理建立這類振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程。 例2.1 圖22所示的系統(tǒng)由兩根剛性桿組成，兩根桿用鉸連接在一起。在O點(diǎn)和D點(diǎn)分別受到阻尼器和彈簧的約束，AD桿的單位長度的質(zhì)量是均勻的，在無重剛桿DB中點(diǎn)有一個質(zhì)量，并且上作用一個集中力，現(xiàn)用虛位移原理建立該系統(tǒng)的振動方程。 解 因?yàn)閮蓚€桿都是剛性的，所以整個系統(tǒng)僅一個自由度，故其動力響應(yīng)可以用一個方程來表達(dá)。該體系可以用直接平衡法建立(jinl)方程，但是用虛位移原理更簡便。 選擇(xunz)鉸的垂向位移為基本自由度，而其他的一切位移(wiy)均可以通過它來表達(dá)。例如阻尼器處的位移為，質(zhì)

5、量處的位移為，作用于結(jié)構(gòu)上的全部力為： 彈性力，； 阻尼力，； 質(zhì)量慣性力,；剛性桿平動慣性力，；角加速度用表示：，剛性桿繞質(zhì)心O轉(zhuǎn)動慣性矩； 干擾力。 根據(jù)作用于系統(tǒng)上的所有力在發(fā)生虛位移時所做的總功等于零來建立運(yùn)動方程。根據(jù)虛位移和成比例這一特性，可以寫出總的虛功：引進(jìn)：“廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度和廣義荷載”的概念令總的虛功等于零并化簡得： 或者寫成： 其中(qzhng)， ，分別(fnbi)稱為“廣義(gungy)質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度和廣義荷載”，又可稱為“等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度和等效荷載”。僅由彈簧的應(yīng)變能表達(dá)的位能2.1.3 哈密頓原理針對圖21，采用哈密頓原理建立振動

6、方程。由圖21得系統(tǒng)的動能和勢能分別為：，非保守力即阻尼力和干擾力所做的功的變分為： （22）體系的非保守力為阻尼力和作用的荷載解釋：該項(xiàng)相當(dāng)于虛位移原理的方程中與力有關(guān)的虛功表達(dá)式。根據(jù)式(16)，將動能對于速度求變分，將勢能對于位移求變分，得到：， （23）將式(2-2)和式(23)代入式(1-6)得： （24）以上各項(xiàng)積分中，僅第一項(xiàng)含有速度的變分，通過分部積分得：解釋：式中利用了關(guān)系，在哈密頓原理中假定變分在積分限和時為零，故第一項(xiàng)為零。因?yàn)樵诤蜁r刻的位移是給定的，故其變分等于零。于是可得： （25）將式(25)代入式(24)，得： （26）考慮(kol)到時間(shjin)區(qū)間內(nèi)變分

7、的任意性（），上式如果成立，被積分(jfn)函數(shù)必須等于零。于是得到與式(21)相同的運(yùn)動方程。以上的例題說明，同一運(yùn)動方程可以用三種基本方法中的任一種來導(dǎo)出，顯然對于不同的系統(tǒng)可以選擇不同的方法建立運(yùn)動方程，以簡單方法建立為好。（對簡單的體系，使用直接平衡法將比較簡單）2.1.4 重力的影響現(xiàn)在討論圖（21）)所示的體系，重力沿著位移的方向作用，此時，作用在質(zhì)量上的力系如圖（23b）所示，當(dāng)引用各力的表達(dá)式后，體系的平衡關(guān)系可以寫作 （附21）其中是剛體的重量。圖23 重力對單自由度體系平衡的影響但是，如果總位移用由重量引起的靜位移及附加動力位移的和來表示，如圖（23c）所示，即： （附22

8、）則彈簧力可寫為： （附23）將方程 (附23)代入方程（附21）得： （附24）注意到，則導(dǎo)致 （附25）對方程(fngchng)（附22）求導(dǎo)數(shù)，同時(tngsh)注意到是不隨時間變化的，因此(ync)顯然有等關(guān)系，所以方程（附25）可改寫為： （附26）圖24比較方程（附26）及方程(21)可見，相對于動力體系的靜力平衡位置所寫出的運(yùn)動方程是不受重力影響的（因此單自由度系統(tǒng)的物理模型可以簡化為圖24所示的分析模型）。由于這個原因，在今后所有的討論中，位移都以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)，而這樣確定的位移即為動力反應(yīng)。因此，求總撓度、應(yīng)力等等時，只要把動力分析的結(jié)果與相應(yīng)的靜力量相加即可。 2.1

9、.5支座擾動的影響 結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力和動位移不僅可以由隨時間變化的荷載引起，如圖21所表示的那樣，而且也可以由于結(jié)構(gòu)支承點(diǎn)的運(yùn)動而產(chǎn)生。由于地震引起的建筑物基礎(chǔ)的運(yùn)動，或由于建筑物的振動而引起放在建筑物內(nèi)的設(shè)備基底的運(yùn)動等等，就是這類擾動的重要的例子地震振動問題的一個簡化模型如圖25所示。圖中由于地震引起的地面水平運(yùn)動用相對于固定參考軸的結(jié)構(gòu)基底位移來表示。圖25制作擾動對單自由度體系平衡的影響：（a）體系的運(yùn)動；（b）平衡力系在這個剛架里水平橫梁假定是剛性的，而且它包含了結(jié)構(gòu)所有的移動質(zhì)量。立柱假定為無重且在豎直方向(軸向)不能伸長，抵抗(dkng)橫梁位移的恢復(fù)力，由每一根彈簧常數(shù)為的立柱(l

10、 zh)來提供。這樣，這個質(zhì)量具有一個自由度，它與立柱的彎曲有關(guān)(yugun)，而且阻尼器則提供了對這個變形的抗力，這個抗力與速度成比例。如圖25(b)所示，對于這個體系的平衡可以寫為： （附27）式中阻尼力和彈性力可以用前述方程表示，而在這種情況下，慣性力由下式給出： （附28）式中表示質(zhì)量對參考軸的總位移。將慣性力、阻尼力和彈性力的表達(dá)式代入方程（附27）可得： （附29）在解這個方程之前，所有的力都必須用單一的變量來表達(dá)，為此，把質(zhì)量的總位移表示為地面運(yùn)動和柱子變形的和即可，即： （附210）對方程（附210）求導(dǎo)，獲得兩個加速度分量，以它們表示慣性力，并代入方程（附29），可得： （附

11、211）或由于(yuy)地面加速度代表對結(jié)構(gòu)特定的動力輸入，運(yùn)動方程可以很方便地寫成： （附212） 在這個(zh ge)方程中，表示等效支承(zh chn)擾動荷載。換句話說，在地面加速度作用下，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)就和在外荷載下產(chǎn)生的反應(yīng)一樣，只是外荷載等于質(zhì)量和地面加速度的乘積而已。方程（附212）中的負(fù)號表示等效力的方向和地面加速度方向相反；因?yàn)榘惚仨毤俣ɑ纵斎氲淖饔梅较虿欢?，因此這一符號實(shí)際上是不重要的。附：2.1.5廣義單自由度體系：剛體集合剛體質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩 直到目前，所討論的所有例子都是十分簡單的因?yàn)椋w系的物理特性質(zhì)量、阻尼和彈性中每一個都用單個離散單元來表示。然而，大多數(shù)實(shí)際體系

12、的分析，即使可以把它們當(dāng)作單自由度結(jié)構(gòu)考慮，仍需要用更復(fù)雜的理想化模型。為了這個討論目的，將廣義單自由度結(jié)構(gòu)區(qū)分為二類較為方便：（1）剛體的集合，在這種集合中彈性變形完全限定于在局部的彈簧元件中發(fā)生。（2）體系具有分布彈性，在這個體系里變形可以在整個結(jié)構(gòu)上或在它的某些元件上連續(xù)在這兩種情況里，都假定只允許有某種單一形式的位移，從而迫使結(jié)構(gòu)的性狀象單自由度體系一樣。對于此處所討論的剛體集合類結(jié)構(gòu)，其所允許的單一位移形式常常是由剛體集合的構(gòu)造來決定的，也就是說這些剛體被支承和鉸所約束，因而僅能有一種位移形式。對具有分布彈性的結(jié)構(gòu)，對它們的單自由度的形狀限制僅是一個假定，分布彈性實(shí)際上允許發(fā)生無限多種位移形式。建立剛體集合的運(yùn)動方程時，單自由度位移所產(chǎn)生的彈性力可以容易的用位移振幅來表達(dá)，因每一個彈性單元都是一個承受特定變形的離散彈簧。同樣，阻尼力可以用離散阻尼器連接點(diǎn)的特定的速度來表達(dá)。另一方面，剛體的質(zhì)量不需要集中，分布的慣性力一般將由