中央財(cái)經(jīng)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》課件-第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

1、第九章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用中央財(cái)經(jīng)大學(xué)高等數(shù)學(xué)一 預(yù)備知識(shí)二 多元函數(shù)的概念三 多元函數(shù)的極限四 多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié) 多元函數(shù)的概念1.鄰域 的點(diǎn)的設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)距離小于的全體，稱為點(diǎn)鄰域，記為點(diǎn) 的去心鄰域一、預(yù)備知識(shí)2. 內(nèi)點(diǎn)。的內(nèi)點(diǎn)為則稱的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)。如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)。的內(nèi)點(diǎn)屬于。為開集則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集例如，即為開集。3. 邊界3) E 的邊界點(diǎn)可能屬于也可能不屬于E。 2) E 的外點(diǎn)必定不屬于E ;注：1) E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于E ; 如果點(diǎn)P 的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于E 的點(diǎn),也有不屬于E 的點(diǎn), (點(diǎn)P 本身可以屬于E

2、 ,也可以不屬于E ), 則稱P 為E 的邊界點(diǎn)。的邊界點(diǎn)的全體稱為 的邊界。EE4. 連通集5. 區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。設(shè)D是開集 , 如果對(duì)于D內(nèi)任何兩點(diǎn)都可用折線連結(jié)起來(lái) , 且該折線上的點(diǎn)都屬于D , 則稱開集 D是連通的。開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域。例如，例如，有界閉區(qū)域無(wú)界開區(qū)域6. 有界點(diǎn)集 無(wú)界點(diǎn)集例如，對(duì)于點(diǎn)集E 的某一定點(diǎn)A , 如果存在正數(shù)K , 使任意的 與A 的距離 不超過(guò)K ,即 則稱E 為有界點(diǎn)集, 否則稱E 為無(wú)界點(diǎn)集。7. n 維空間設(shè)兩點(diǎn)為比如： 當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩 點(diǎn)間的距離。設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù),我們稱n元數(shù)組 的全體為n維

3、空間，而每個(gè) n元數(shù)組 , 稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù) 稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)。二、多元函數(shù)的概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)。設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P (x, y )D,變量z 按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng) , 則稱z是變量x , y的二元函數(shù)記為 （或記為z =f ( P ) ）),(yxfz= 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念。1. 多元函數(shù)的定義當(dāng)時(shí)，元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù),記為解:解:例1 求 的定義域。所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)槔? 求 的定義域。2. 二元函數(shù) 的圖形 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镈, 對(duì)于任意取定的 , 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 , 這樣, 以

4、x為橫坐標(biāo) , y 為縱坐標(biāo) , z 為豎坐標(biāo)在空間就確定點(diǎn) , 當(dāng) 取遍 D上一切點(diǎn)時(shí)，得到一個(gè)空間點(diǎn)集 , 這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù) 的圖形 ),(yxfz=),(zyxM),(yxDyxP),(),(),(|),(Dyxyxfzzyx=。說(shuō)明：二元函數(shù)的圖形通常是一張空間曲面 如二元函數(shù) 的圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑為的上半個(gè)球面。而表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的上半個(gè)錐面。三、多元函數(shù)的極限聚點(diǎn)設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集,P是平面上的一個(gè)點(diǎn) , 如果點(diǎn) P 的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集 E, 則稱 P為E 的聚點(diǎn)。1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明 2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)。例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)。

5、定義1設(shè)函數(shù)),(yxfz=的定義域?yàn)镈,000),(yxP是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e ，總存在正數(shù)d ，使得對(duì)于適合不等式d-+-=20200)()(|0yyxxPP的一切點(diǎn), 都有e0,y0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說(shuō), 當(dāng)水箱的長(zhǎng), 寬, 高, 均為時(shí)，水箱所用的材料最省。實(shí)例： 小王有 200 元錢，他決定用來(lái)購(gòu)買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買 張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張磁盤 8 元，每盒磁帶 10 元，問(wèn)他如何分配這 200 元以達(dá)到最佳效果。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)。二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值。無(wú)條件極值：對(duì)自變量除有定義域限制外， 無(wú)任何其它條件限制的極值。要找函數(shù)在條件下的可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)其中為某一常數(shù)，可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況下的極值，要找函數(shù)在條件先構(gòu)造函數(shù)其中 均為常數(shù)，可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出 ，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)。例8將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù) x , y , z 之和使得zyxu23=為最大。解：解得唯一駐點(diǎn)（6，4，2）則故最大值為解：設(shè)為橢球面上一點(diǎn)例9在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使切平