隨機(jī)性模型及MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱在建模中應(yīng)用

1、確定性模型和隨機(jī)性模型隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型確定性模型隨機(jī)性模型概 率 模 型例: 報童的利潤為了獲得最大的利潤，報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙？ 162天報紙需求量的調(diào)查 報童早上購進(jìn)報紙零售，晚上將未賣掉的報紙退回。 購進(jìn)價b(=0.8元)零售價a (=1元)退回價c(=0.75元)售出一份賺 a-b退回一份賠 b-c 136 214 195 219 224 197 213 187 187 230 172 227 157 114 156 問題分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天

2、需求量是隨機(jī)的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均利潤每天收入是隨機(jī)的存在一個合適的購進(jìn)量= 每天收入的期望值隨機(jī)性優(yōu)化模型需求量的隨機(jī)規(guī)律由162天報紙需求量的調(diào)查得到 每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2模型建立 設(shè)每天購進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-cr視為連續(xù)變量模型建立模型建立由（1）或（2）得到的n是每天平均利潤最大的最佳購進(jìn)量。結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢0rpMATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱常用命令(一)命令名稱輸入輸出n,y=hist(x,k)頻數(shù)表x: 原始數(shù)據(jù)行

3、向量k：等分區(qū)間數(shù)n: 頻數(shù)行向量y: 區(qū)間中點(diǎn)行向量hist(x,k)直方圖同上直方圖m=mean(x)均值x: 原始數(shù)據(jù)行向量均值ms=std(x）標(biāo)準(zhǔn)差同上標(biāo)準(zhǔn)差s功能概率密度分布函數(shù)逆概率分布均值與方差隨機(jī)數(shù)生成字符pdfcdfinvstatrnd分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布2分布t分布F分布二項(xiàng)分布泊松分布字符 unifexpnormchi2 t fbinopoissMATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱常用命令(一)y=normpdf(1.5,1,2) 正態(tài)分布x=1.5的概率密度 (=1, =2) y=fcdf(1,10, 50) F分布x= 1的分布函數(shù) (自由度n1=10, n2=50)y

4、 =tinv(0.9,10) 概率=0.9的逆t分布 (分位數(shù), 自由度n=10) 由 計(jì)算 n用MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱求解報童模型 根據(jù)數(shù)據(jù)確定需求量的概率分布 p(x)baotongdata.mbaotong1.m回 歸 模 型擬合問題實(shí)例 給藥方案 1. 在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。問題2. 給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計(jì)給藥方案 (每次注射劑量, 間隔時間) 。分析 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45

5、 5.24 3.01實(shí)驗(yàn)：血藥濃度數(shù)據(jù) c(t) (t=0注射300mg)半對數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下c(t)的圖形 理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律負(fù)指數(shù)規(guī)律擬合問題實(shí)例 給藥方案 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)tcc00 xueyao1.m實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作圖3.血液容積v, t=0注射劑量d, 血藥濃度立即為d/v2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)k(0)模型假設(shè)1.機(jī)體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型模型建立由假設(shè)2由假設(shè)3給藥方案 設(shè)計(jì) 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次劑量D0 應(yīng)加大給藥方案記作給定c1=10, c2=25,為確定 只需確定參數(shù)

6、 k,vcc2c10t參數(shù)估計(jì)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線c(t)以估計(jì)k,v參數(shù)線性化用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作線性最小二乘擬合xueyao2.m思考：取對數(shù)化為線性最小二乘, 對結(jié)果有影響嗎？c1=10, c2=25給藥方案 設(shè)計(jì)直線擬合：a=polyfit(x,y,1),b=polyfit(x,z,1),同一條直線 y=0.33x+0.96(z=0.33x+0.96)從擬合到回歸x= 0 1 2 3 4 , y= 1.0 1.3 1.5 2.0 2.3 ( + 號)x= 0 1 2 3 4 , z= 0.6 1.95 0.9 2.85 1.8 （*號）問題：你相信哪個擬合結(jié)果？怎樣給以定量評價?得到a= 0.3

7、3 0.96b= 0.33 0.96收集一組包含因變量和自變量的數(shù)據(jù)；選定因變量與自變量之間的模型，利用數(shù)據(jù)按照最小二乘準(zhǔn)則計(jì)算模型中的系數(shù)；利用統(tǒng)計(jì)分析方法對不同的模型進(jìn)行比較，找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型；判斷得到的模型是否適合于這組數(shù)據(jù), 診斷有無不適合回歸模型的異常數(shù)據(jù)；利用模型對因變量作出預(yù)測或解釋?；貧w分析的主要步驟2004 B題 電力市場的輸電阻塞管理確定各線路上潮流關(guān)于各發(fā)電機(jī)組出力的近似表達(dá)式 當(dāng)前時段各發(fā)電機(jī)組出力 p1(0), , pn(0), 線路潮流 uj(0)a0 答卷中的問題：沒有常數(shù)項(xiàng) a0；沒有統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)p(0)+p0ua0=0 例1: 血壓與年齡、體重指數(shù)、吸煙

8、習(xí)慣 序號 血壓年齡體重指數(shù)吸煙習(xí)慣 序號 血壓年齡體重指數(shù)吸煙習(xí)慣11443924.20211363625.0022154731.11221425026.2131384522.60231203923.50101545619.30301756927.41體重指數(shù) = 體重(kg) / 身高(m) 的平方 吸煙習(xí)慣: 0表示不吸煙，1表示吸煙 建立血壓與年齡、體重指數(shù)、吸煙習(xí)慣之間的回歸模型模型建立血壓y，年齡x1，體重指數(shù)x2，吸煙習(xí)慣x3 y與x1的散點(diǎn)圖y與x2的散點(diǎn)圖線性回歸模型回歸系數(shù)0, 1, 2, 3 由數(shù)據(jù)估計(jì), 是隨機(jī)誤差 MATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱常用命令(二) b=regre

9、ss(y,X) b,bint,r,rint,s=regress(y,X,alpha)輸入: y因變量(列向量), X1與自變量組成的矩陣，Alpha顯著性水平（缺省時設(shè)定為0.05）s: 3個統(tǒng)計(jì)量：決定系數(shù)R2，F(xiàn)值, F(1,n-2)分布大于F值的概率p，p時回歸模型有效. 輸出:b=（），bint: b的置信區(qū)間，r:殘差(列向量)，rint: r的置信區(qū)間rcoplot(r,rint)殘差及其置信區(qū)間作圖MATLAB7.0版本 s增加一個統(tǒng)計(jì)量: 剩余方差s2.回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間045.36363.5537 87.173610.3604-0.0758 0.7965

10、23.09061.0530 5.1281311.8246-0.1482 23.7973R2= 0.6855 F= 18.8906 p0.0001 s2 =169.7917模型求解回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間058.510129.9064 87.113810.43030.1273 0.733222.34490.8509 3.8389310.30653.3878 17.2253R2= 0.8462 F= 44.0087 p0.0001 s2 =53.6604剔除異常點(diǎn)(第2點(diǎn)和第10點(diǎn))后xueya01.m例2 軟件開發(fā)人員的薪金資歷 從事專業(yè)工作的年數(shù)；管理 1=管理人員，0=非管理人

11、員；教育 1=中學(xué)，2=大學(xué)，3=更高程度建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考 編號薪金資歷管理教育01138761110211608103031870111304112831020511767103編號薪金資歷管理教育422783716124318838160244174831601451920717024619346200146名軟件開發(fā)人員的檔案資料 分析與假設(shè) y 薪金，x1 資歷（年）x2 = 1 管理人員，x2 = 0 非管理人員1=中學(xué)2=大學(xué)3=更高資歷每加一年薪金的增長是常數(shù)；管理、教育、資歷之間無交互作用 教育線性回

12、歸模型 a0, a1, , a4是待估計(jì)的回歸系數(shù)，是隨機(jī)誤差 中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 模型求解參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546 管理人員薪金多6883 中學(xué)程度薪金比更高的少2994 大學(xué)程度薪金比更高的多148 a4置信區(qū)間包含零點(diǎn)，解釋不可靠!中學(xué)：x3=1, x4=

13、0;大學(xué)：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理x1資歷(年)xinjindata.m xinjin.m 殘差分析方法 結(jié)果分析殘差e 與資歷x1的關(guān)系 e與管理教育組合的關(guān)系 殘差全為正，或全為負(fù)，管理教育組合處理不當(dāng) 殘差大概分成3個水平， 6種管理教育組合混在一起，未正確反映 應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3, x4的交互項(xiàng) 組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合進(jìn)一步的模型增加管理x2與教育x3, x4的交互項(xiàng)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120411044 11363a1497486 508a270486

14、841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改進(jìn)，所有回歸系數(shù)置信區(qū)間都不含零點(diǎn)，模型完全可用 消除了不正?，F(xiàn)象 異常數(shù)據(jù)(33號)應(yīng)去掉 e x1 e 組合去掉異常數(shù)據(jù)后的結(jié)果參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120011139 11261a1498494 503a270416962 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 281a5-3056-3171 2942a619971894 2100R2= 0.9998 F=

15、36701 p=0.0000e x1 e 組合R2： 0.957 0.999 0.9998F： 226 554 36701 置信區(qū)間長度更短殘差圖十分正常最終模型的結(jié)果可以應(yīng)用xinjindata2.m xinjin1.m 模型應(yīng)用 制訂6種管理教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金(資歷為0）組合管理教育系數(shù)“基礎(chǔ)”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1= 0； x2 = 1

16、管理，x2 = 0 非管理大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高 大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低 例3 商品銷售量與價格 x1 (元)120140190130155175125145180150 x2 (元)10011090150210150250270300250y (個)10210012077469326696585某廠生產(chǎn)的一種電器的銷售量y與競爭對手的價格x1及本廠的價格x2有關(guān), 該商品在10個城市的銷售記錄如下 根據(jù)數(shù)據(jù)建立y與x1和x2的模型, 對得到的模型和系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。 若某市本廠產(chǎn)品售價160(元)，競爭對手售價170(元),預(yù)測該市的銷售量. 將(x

17、1,y),(x2,y)各10個點(diǎn)分別畫圖y與x2有較明顯的線性關(guān)系，y與x1之間的關(guān)系難以確定需要對模型y=f(x1,x2)作幾種嘗試，用統(tǒng)計(jì)分析決定優(yōu)劣。例3 商品銷售量與價格 b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)例3 商品銷售量與價格 一次函數(shù)的回歸模型 回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間066.5176-32.5060 165.5411 10.4139-0.2018 1.0296 2-0.2698-0.4611 -0.0785 R2= 0.6527 F=6.5786 p= 0.0247 s2= 307.1639結(jié)果不是太好： =0.05時模型有

18、效，但 =0.01時模型不能用； R2 較小； 1的置信區(qū)間包含零點(diǎn)。 shangpin.mMATLAB 統(tǒng)計(jì)工具箱常用命令(三)rstool (x,y, model,alpha)xnm矩陣, n是數(shù)據(jù)容量, yn維列向量，alpha顯著性水平多元二項(xiàng)式回歸model從以下4個模型中選取: (設(shè)m=2)例3 商品銷售量與價格 x1=; x2=; x=x1 x2; y=;rstool(x,y, quadratic)Export向工作區(qū)傳送參數(shù)：beta-回歸系數(shù)，rmse-剩余標(biāo)準(zhǔn)差s，residuals-殘差(向量)；以剩余標(biāo)準(zhǔn)差 rmse 最小為標(biāo)準(zhǔn)，比較4種模型Model: linear

19、purequadratic interaction quadratic rmse: 18.7362 16.6436 19.1626 18.6064 =（-312.5871 7.2701 -1.7337 -0.0228 0.0037）例3 商品銷售量與價格 變量選擇影響因變量的因素： 自變量x1, x2, xm及其簡單函數(shù), 如 將所有影響顯著的因素都納入回歸模型； 最終的模型盡量簡單, 即包含盡量少的因素。 變量選擇的標(biāo)準(zhǔn) 從候選集合S=x1,xk中選出一子集S1 (含pk個自變量)與因變量y構(gòu)造回歸模型, 其優(yōu)劣由s2度量. 影響顯著的自變量進(jìn)入模型時，Q明顯下降，s減小； 影響很小的自變量進(jìn)入模型時，Q下降不大，p的增加 會使s變大.變量選擇與逐步回歸 逐步回歸 從候選集合中確定一初始子集； 從子集外（候選集合內(nèi)）中引入一個對y影響顯著的；