案例4-零件強度的有限元分析

1、案例4 零件強度的有限元分析基礎121.1 有限單元法的概念1.2 有限單元法基本步驟1.3 工程實例 機械產品設計過程的一個重要環(huán)節(jié)是分析、計算，其中包括對產品幾何模型進行分析、計算，通過應力變形進行結構分析，對設計方案進行分析、評價等。傳統(tǒng)的分析方法： 采用手工計算，過程繁瑣，效率低，往往需要對原型進行較大的簡化并引入更多的假設，分析方法一般比較粗略，分析結果不夠可靠，只能用來對產品設計方案作定性的比較分析，而不能作出定量的評價。 41.1 有限單元法的概念基本思想:借助于數(shù)學和力學知識，利用計算機技術而解決工程技術問題。 Finite Element Method -_FEM Finit

2、e Element Analysis 工程分析： 主要通過計算機，利用數(shù)值分析方法進行輔助工程分析，是CAD中應用最早、卓有成效的領域之一。分析的關鍵是在三維實體建模的基礎上，從產品的方案設計階段開始，按照實際使用的條件進行仿真和結構分析；按照性能要求進行設計和綜合評價，以便從多個設計方案中選擇最佳方案。計算機輔助工程分析: 通常包括有限元分析、優(yōu)化設計、仿真（模擬分析）可靠性分析、試驗模態(tài)分析等。有限元分析法： 是力學與近代計算機技術相結合的產物，是一種解決工程問題的數(shù)值計算方法，1960年美國Clogh教授首次提出“有限元法（The Finite Element Method）”的概念。有

3、限元分析法分類 有限元法包括有限元建模和有限元分析兩部分，目前它們已成為建立分析模型、共享數(shù)據的有效途徑，是解決各種工程實際問題的便利工具和有效手段。應用 有限元法可以處理任何復雜形狀、不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程問題，廣泛應用于場強（力場、電場、磁場、溫度場、流體場等）分析、熱傳導、非線形材料的彈塑性蠕變分析等研究領域中。有限元法的基本思想 先把一個原來是連續(xù)的物體剖分（離散）成有限個單元，而且他們相互連接在有限個節(jié)點上（如圖所示），承受等效的結點載荷（由靜力等效原則轉化為節(jié)點上的等效載荷），并根據平衡條件（應用虛位移原理建立平衡條件）進行分析，然后根據變形協(xié)調條件把這些

4、單元重新組合起來，成為一個組合體，再綜合求解。由于單元的個數(shù)是有限的，結點數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法。有限元法解決問題的途徑 力學分析方法可分為解析法和數(shù)值法，前者只能應用于求解簡單問題，復雜的結構問題只能應用數(shù)值法求出問題的近似解。 有限元法解決問題是物理模型的近似，而數(shù)學上不做近似處理。其概念清晰，通用性與靈活性兼?zhèn)洌莒`活妥善處理各種復雜情況。10三大類型(按其推導方法分):(1) 直接剛度法(簡稱直接法): 根據單元的物理意義，建立有關場變量表示的單元性質方程。 (2) 變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計算方法。 (

5、3) 加權余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。 111.2 有限單元法基本步驟(1) 待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)計算12圖4-2 工程問題有限單元法分析流程 單元類型在采用有限元法對結構進行分析計算時，分析對象不同，采用單元類型（形狀）也不同。常見的單元類型有：桿單元、梁單元、板單元（三角形、矩形等）、多面體單元（四面體、六面體）等。彈性力學的基本知識 常用物理量 外力 作用于物體的外力可分為體力和面力兩種。體力是指分布在整個體積內的外力，如重力和慣性力。面力

6、是指作用于物體表面上的外力，例如流體壓力和接觸力。應力 從物體內取出一個邊長分別為dx，dy，dz的微分體（如下圖）。每個面上的應力可分為一個正應力和兩個剪應力。正應力記為x,y,z。剪應力記為xy，yx，xz，zx，yz，zy，前一個腳標表明的作用面所垂直的坐標軸；后一個表明的作用方向。根據剪應力互等定律有xy=yx，xz=zx，yz=zy。微分體的應力狀態(tài)圖 應變 線段的每單位長度的伸縮稱為正應變，記為x，y，z。 線段之間夾角的改變量稱為剪應變，記為xy，xz，yz。 微分體的應變示意圖 位移 在載荷（或溫度）變化等其它因素作用下，物體內各點之間的距離改變稱為位移，它反映了物體的變形大小

7、。記為u,v,w，分別為X，Y，Z三個方向的位移分量。 基本方程應變和位移的關系（幾何方程）物體受力后變形，其內部任一點的位移與應變的關系如下： , , , , 應力和應變的關系（物理方程） 用虎克定律表示： E材料的彈性模量 材料的泊松比虛功方程虛功原理 假設一個彈性體在虛位移發(fā)生之前處于平衡狀態(tài)，當彈性體產生約束允許的微小位移并同時在彈性體內產生虛應變時，體力與面力在虛位移上所作的虛功等于整個彈性體內各點的應力在虛應變上所作的虛功的總和，即外力虛功等于內力虛功。虛功方程 若用u、v、w分別表示受力點的虛位移分量；用x、y、x、xy、yz、zx表示虛應變分量；用A表示面力作用的表面積，根據虛

8、功原理，可得虛功方程：簡例及基本解法與步驟歸納 例題 設有一只受其自重作用的等截面直桿，上端固定，下端自由。設桿的截面積為A；桿長為L；單位桿長重力為q， 試用有限無法求直桿各點的位移。解題思路 解題過程位移法的具體解題步驟 例題之中所用的方法是有限元法中的位移法，該方法以位移作為基本未知量，進而求出其它相關的未知量。具體解題步驟如下： 1單元剖分 把連續(xù)彈性體分割成許多個有限大小的單元，并為單元和節(jié)點編號。 2單元特征分析 以節(jié)點位移e 為基本未知量，設選一個單元位移函數(shù)，之后：（1）用節(jié)點位移表示單元位移，f=Ne。（2）通過幾何方程用節(jié)點位移表示單元應變，=Be。（3）通過物理方程用節(jié)點

9、位移表示單元應力，=Ge。（4）通過虛功方程用節(jié)點位移表示節(jié)點力，F(xiàn)e=Kee，得出單元剛度矩陣。 3總體結構合成（1）分析整理各單元剛度矩陣，通過節(jié)點的平衡方程形成節(jié)點載荷列陣、合成總體剛度矩陣，建立以節(jié)點位移為未知量的、以總體剛度矩陣為系數(shù)的線性代數(shù)方程：K =F。（2）對線性代數(shù)方程組進行邊界條件處理，求解節(jié)點位移。進而由=Ge可求得單元應力。 解題過程有限元法的前置處理用有限元法進行結構分析時,要輸入大量的數(shù)據，如單元數(shù)、單元的幾何特性、節(jié)點數(shù)、節(jié)點編號、節(jié)點位置坐標等。故有限元計算程序要進行前置處理。 前置處理是在用有限元法進行結構分析之前，按所使用的單元類型對結構進行剖分；根據要求

10、對結點進行順序編號；輸入單元特性及結點坐標；生成網格圖象并顯示；為了決定它是否適用或者是否應當修改，顯示的圖象應帶有結點和單元標號以及邊界條件等信息；為了便于觀察，圖象應能分塊顯示、放大或縮小。對于三維結構的網格圖象需要具備能使圖象作三維旋轉的功能等。以上內容一般稱之為前置處理，為實現(xiàn)這些要求而編制的程序稱為前置處理程序。前置處理的基本功能： 1）生成結點坐標并按順序編號； 2）生成網格單元，下圖為一復雜曲面的網格劃分圖； 3）修改和控制網格單元； 4）引進邊界條件以約束一系列結點的總體位移和轉角； 5）單元物理幾何屬性編輯，如材料特性、彈性模量、厚度、慣性矩以及泊松比等； 6）單元分布載荷編

11、輯有限元分析的精度 取決于網格劃分的密度。為了提高分析精度，同時又避免計算量過大，可以采取將網格在高應力區(qū)局部加密的辦法。 網格局部加密圖 有限元法的后置處理 當結構經過有限元分析后，會輸出大量的數(shù)據，如靜態(tài)受力分析后節(jié)點的位移量、固有頻率計算后的振型等。故有限元計算程序要進行后置處理。 后置處理，是將有限元計算分析結果進行加工處理并形象化為變形圖、等值線圖、應力應變彩色圖、應力應變曲線以及振型圖等，以便對變形、應力等進行直觀分析和研究。為了實現(xiàn)上述目的而編制的程序，稱為后置處理程序。 后置處理內容：（1）數(shù)據輸出： 將結點位移、單元應力按設計者的意圖整理輸出，還可從大量數(shù)據中篩選出關鍵的有用

12、數(shù)據，按用戶要求的格式輸出規(guī)格化的數(shù)據文件。 （2）圖形顯示： 圖形顯示和繪圖可形象直觀地表示有限元模型和計算結果，可幫助設計者迅速了解研究對象的特征，從而對修改模型作出判斷。圖形顯示包括有限元網格圖、結構變形圖、等值線圖以及振型圖等。等值線有應力等值線圖、位移等值線圖、等高線圖和溫度等值線圖等，其中在工程結構分析中，以應力等值線圖應用最多。等值線圖可在彩色屏幕上用不同的顏色加以形象化。下圖所示為一曲面的彩色等高線圖。 有限元軟件 最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。從那時到現(xiàn)在，世界各地的研究機構和大學也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產品。 齒輪有限元分析的前后置處理圖 后置處理應變網格圖后置處理應力應變色彩濃淡圖1.3 工程實例矩形懸臂梁的有限元振型圖 一階振型疊加網格圖二階振型疊加