3MMs排隊(duì)模型

1、共享知識(shí)分享快樂 3 M/M/s排隊(duì)模型 一、單服務(wù)臺(tái)模型（即M/M/1/ / 或M/M/1）到達(dá)間隔：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：到達(dá)率）分布；服務(wù)時(shí)間：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：服務(wù)率）分布；服務(wù)臺(tái)數(shù)：1；系統(tǒng)容量：無限；排隊(duì)長度（客源）：無限；服務(wù)規(guī)則:FCFS.1.隊(duì)長的分布設(shè)Pn PN n n 0,1,2,為系統(tǒng)平穩(wěn)后隊(duì)長AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂N的概率分布，則由ni rxn1n20Cn , nn n 11P0 1 (1 Cn) n 1 Pn CnPo，n 1,2,.1,2,.（累積服務(wù)率）（無客的概率）（有n客的概率）,n 0,1,2,和 n,n 1,2,.,并記AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂

2、一(服務(wù)強(qiáng)度，一般 1)可得nCn- n, n 1,2,.故有 Pn nP0, n 1,2,.其中 P0 1 (1 Cn)1 (1 n)AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 11n 1.n 01因此 Pn (1) n,n 0,1,2,. HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 無客的概率：p01,至少有一客的概率服務(wù)臺(tái)處于忙的概率=繁忙程度(即服務(wù)強(qiáng)度 尸服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率如單位時(shí)間，2,5,則 ，即40%在，忙.AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂

3、2.幾個(gè)主要指標(biāo)(1)系統(tǒng)中平均顧客數(shù)=平均隊(duì)長(2)系統(tǒng)中等待的平均顧客數(shù)=平均排隊(duì)長 .可以證明(見第二版P328的注釋)在M/M/1中，顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間服從參數(shù)為的AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂負(fù)指數(shù)分布，即密度分布函數(shù)：f(t) ( )e (t 0.分布函數(shù)：F(t) P(T t) 1 e ( *,t 0.于是得(3)在系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間1W ET;(4)在隊(duì)列中顧客平均等待時(shí)間 因?yàn)槎毫魰r(shí)間二等待時(shí)間Tq +服務(wù)時(shí)間V ,即AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂TTq V1故 WE(Tq) E(V) Wq ,從而得1Wq w - Wq另外還可得到(時(shí)間與空間關(guān)系):L W 和 L

4、qWq這兩個(gè)常稱為Little公式.各公式可記憶如下：AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂服務(wù)效率從逗留時(shí)間W等待時(shí)間Wq隊(duì)長L W 排隊(duì)隊(duì)長LqL或LqWq還可導(dǎo)出關(guān)系11W Wq - 和 L Lq一q qAAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂3.服務(wù)機(jī)構(gòu)的忙期 B和閑期I分析(1)因?yàn)槊ζ诙辽僖豢偷母怕?，閑期=無客的概率1忙期時(shí)間長度/閑期時(shí)間長度=1(2)因?yàn)槊﹂e交替，次數(shù)平均平均忙期時(shí)間長度/平均閑期B時(shí)間長度=B.1I1AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(3)又由分布無記憶性和到達(dá)與服務(wù)相互獨(dú)立性任閑時(shí)刻起，下一客到達(dá)間隔仍為負(fù)指數(shù)分布、皿 一 1 一 1平均閑期=下一客到達(dá)間隔 一 I 一1

5、1平均忙期=B W1即顧客平均逗留時(shí)間，實(shí)際意義是明顯的.例1 一個(gè)鐵路列車編組站，設(shè)待編列車到達(dá)時(shí)間AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂間隔負(fù)指數(shù)分布，平均到達(dá)率2列/h;編組時(shí)間服從 負(fù)指數(shù)分布,平均20min可編一組.已知編組站上 共有2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車，再來的列車 只能停在站外或前方站.求(1)在平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；(2)每一列車的平均停留時(shí)間；(3)等待編組的列車的平均數(shù).如果列車因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車的費(fèi)用為a元/h,求每天由于列車在 站外等待而造成的損失.AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂解這里 2,3,- - 13(1)列車的平均數(shù)L

6、 2 (小時(shí))1(2)列車的平均逗留時(shí)間L2.,W一1 (小時(shí))2(3)等待編組的列車平均數(shù)AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂LqL2 42 一(列)(4)等待編組時(shí)間WqW2, I一（小時(shí)）3記列車平均延誤（2道滿，不能進(jìn)站）時(shí)間為Wo，則3 3Wo W P N 2 W (1p0p1 p2)0.296（小時(shí)）AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E 24 W0a 24 2 0.296 a 14.2a (元).例2某修理店只有一個(gè)修理工，來修理的顧客到達(dá) 過程為Poisson流，平均4人/h;修理時(shí)間服從負(fù)指 數(shù)分布，平均需要6 min.試求：(1)修理店空閑的概率；

7、(2)店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率；(3)店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率；AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)；(5)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間；(6)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；(7)每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；(8)顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過10min的概率.解這里 4,1/0,1 10,- 2 15(1)修理店空閑的概率p0 11 2/5 0.6AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(2)店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 33 32 HYPERLINK l bookmark93 o Curren

8、t Document P33(1)-1 -0.038 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 55(3)店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率PN 1 1 p02/5 0.4(4)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)L 05- 0.67(人)11 2/5(5)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂W 0.67 10(min)4(6)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)LqL 0.4 0.67 0.268(人)(7)每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間WqLq 0.26844(min)(8)顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過10min的概率.AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂10PT 10 e 6 15

9、 e1 0.3679.二、多服務(wù)臺(tái)模型（即M/M/s/ / 或M/M/s）到達(dá)間隔：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：到達(dá)率）分布；單臺(tái)服務(wù)時(shí)間：負(fù)指數(shù)（參數(shù)為：服務(wù)率）分布；服務(wù)臺(tái)數(shù)：s; 12 L系統(tǒng)容量：無限； 排隊(duì)長度（客源）：無限； 服務(wù)規(guī)則:FCFS.AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂數(shù)據(jù)分析設(shè) pnP N n nN的概率分布,則n和系統(tǒng)的服務(wù)率nns0,1,2,.為系統(tǒng)平穩(wěn)后隊(duì)長n 0,1,2,.n 1,2,3,.,sns,s 1,.AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂記s ,則當(dāng)s 1時(shí)，不至越排越長 s s稱s為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度 或服務(wù)機(jī)構(gòu)的 平均利用率由前面的(1),(2)和(3)公式得Cn(/ T

10、n!(/ ),s!n 1,2,3，s(/ )nn ss! sAAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂Pn其中n!P0，n ss!sP0,1,2,3,., sn s TOC o 1-5 h z s 1 nsp0F:n 0 n!s!(1s)當(dāng)n s時(shí)，顧客要等待.記這個(gè)等待的概率為AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂c(s, )Pnn ss!(1s)P0稱為Erlang等待公式.(1)平均排隊(duì)長sLq (n s)pn叢(n s)；n s 1s! n s 1或LqP0 s s ds! d s n 1c(s, ) ssP0s2s!(1s)AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(2)正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)s 1snp

11、n sPnn 0n s丁 P0 n 0 n!ss!(1s)P0n1(n 1)! (s 1)!(1s)s與s無關(guān).(3)平均隊(duì)長L平均排隊(duì)長+平均接受服務(wù)的顧AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂客數(shù)Lqq對(duì)多臺(tái)服務(wù)系統(tǒng),仍有Little公式：w ,wqn-例3考慮一個(gè)醫(yī)院醫(yī)院急診的管理問題.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，急論據(jù)病人相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù) 分布，平均每0.5h來一個(gè)；醫(yī)生處理一個(gè)病人的時(shí) 間也服從負(fù)指數(shù)分布,平均需要20min.該急診室AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂已有一個(gè)醫(yī)生，管理人員現(xiàn)考慮是否需要再增加一 個(gè)醫(yī)生.解這是一個(gè) M/M/s/ 00模型,有2,3,- - , s 1,23由前面

12、的公式，結(jié)果列表如下指標(biāo) 一模型-s=1s=2空閑的概率P00.33305有1個(gè)病人的概率 P1有2個(gè)病人的概率 P20.2220.1480.3330.111平均病人數(shù)L20.75AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂平均等待病人數(shù)Lq1.3330.083病人平均逗留時(shí)間W10.375病人平均等待時(shí)間Wq0.6670.042病人需要等彳的概率 PTq00.667(=1 Po)0.167(=1 p0 pi)等待時(shí)間超過0.5小時(shí)的概率PT q0.50.4040.022等待時(shí)間超過1小時(shí)的概率PT q10.2450.003如果是一個(gè)醫(yī)生值班，則病人等待時(shí)間明顯長 結(jié)論是兩個(gè)醫(yī)生較合適.例4某售票處有三個(gè)

13、窗口，顧客的到達(dá)服從泊松過程，平均到達(dá)率每分鐘0.9人/min.服務(wù)（售票）時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布,平均服務(wù)率0.4人/min.AAAAAAAA現(xiàn)設(shè)顧客到達(dá)后排成一隊(duì)這是M/M/s模型，其中s 3, - 2.25, s由公式可得：(1)整個(gè)售票處空閑概率共享知識(shí)分享快樂，依次向空閑的窗口購票2.25 3 / TOC o 1-5 h z 一 1s 341s 1 ns 0 n0 n! s!(1 s)P00.07481_0_1_2_32.252.252.252.2510!1!2!3! 1 2.25/3AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(2)平均排隊(duì)長LqP0ss!(1s)2Lq1.70 (人)0.0748

14、 2.253 3/4-23!(1 /4)平均隊(duì)長：LLq/1.7 2.25 3.95(人)(3)平均等待時(shí)間WqLq1.700.91.89 (min)平均逗留時(shí)間AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂W Wq 1/1.89 1 /0.4 4.39(分鐘)(4)顧客到達(dá)后必須等(即系統(tǒng)中顧客數(shù)已有 3)的概 率s pn2.253 0.0748c(3,2.25) p0- -0.57.s!(1 s)3! 1/ 4在上例中，若顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口前各排一隊(duì)，且中途不換隊(duì)，則M/M/3 / 8 3個(gè)M/M/1/ 8如下圖所示(b).工 rJU1tJL t囪口1 1囪口2窗口3窗口1 窗口2 窗口3共享知識(shí)分享

15、快樂每個(gè)隊(duì)的平均到達(dá)率為123 0.9/3 0.3 （人/分鐘）結(jié)果比較如下不目標(biāo)1M/M/3M/M/1服務(wù)臺(tái)空閑的概率Po0.07480.25（每個(gè)子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率P(n 3)=0.570.75平均排隊(duì)長Lq1.702.25（每個(gè)子系統(tǒng)）AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂平均隊(duì)長L3.959.00（整個(gè)系統(tǒng)）平均逗留時(shí)間W4.39（分鐘）10（分鐘）平均等待時(shí)間 Wq1.89（分鐘）7.5（分鐘）單隊(duì)比三隊(duì)優(yōu)越百度知道編組站是鐵路網(wǎng)上集中辦理大量貨物列車到達(dá)、 解體、編組出發(fā)、直通和其它列車作業(yè)，并為此設(shè) 有比較完善的調(diào)車作業(yè)的車站。其主要任務(wù)是根據(jù)列車編組計(jì)劃的要求，大量辦理貨物列

16、車的解體和 編組作業(yè)。對(duì)貨物列車中的車輛進(jìn)行技術(shù)檢修和貨AAAAAAAA共享知識(shí) 分享快樂運(yùn)檢查整理工作，并且按照運(yùn)行圖規(guī)定的時(shí)刻，正點(diǎn)接發(fā)列車。所以，人們往往稱編組站為編組列車 的工廠。編組站的主要任務(wù)和作用可以歸納為：一一解編各種類型的貨物列車.作業(yè)：某店令有一個(gè)修理工人，顧客到達(dá)過程為 Poisson流，平土勻3人/h,修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布, 平均需10min.求(1)店內(nèi)空閑的概率；(2)有4個(gè)顧客的概率；AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(3)至少有1個(gè)顧客的概率 (4)店內(nèi)顧客的平均數(shù)；(5)等待服務(wù)的顧客的平均數(shù)；(6)平均等待修理時(shí)間；(7) 一個(gè)顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過15min的概率.設(shè)有一單人打字室，顧客的到達(dá)為 Poisson流, 平均到達(dá)時(shí)間間隔為 20min,打字時(shí)間服從負(fù)指數(shù) 分布，平均為15min.求(1)顧客來打字不必等待的概率；AAAAAAAA共享知識(shí)分享快樂(2)打字室內(nèi)顧客的平均數(shù)；(3)顧客在打字室內(nèi)的平均逗留時(shí)間；(4)若顧