福建省德化、永安、漳平2022年高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1定義域為R的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時，.若函數(shù)至少有三個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD2記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當(dāng)取最小值時，等于（ ）A6B7C8D

2、93復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD4函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是（ ）ABCD5已知集合，則的真子集個數(shù)為（ ）A1個B2個C3個D4個6九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（ ）ABCD7百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字，有放回地從中任意摸出一個小球，直到“仁

3、”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù)：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估計，恰好第三次就停止摸球的概率為（ ）ABCD8已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（ ）ABCD9已知向量，=(1，

4、)，且在方向上的投影為，則等于（ ）A2B1CD010一個盒子里有4個分別標(biāo)有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有（ ）A17種B27種C37種D47種11袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（ ）ABCD12下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對稱的為（ ）AB，CD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知定義在的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則的解集為_.14在中，內(nèi)角的對邊長分別為，已

5、知，且，則_15已知平面向量，且，則向量與的夾角的大小為_16已知向量滿足，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，且（1）求的方程；（2）已知點是上的任意一點，不經(jīng)過原點的直線與交于兩點，直線的斜率都存在，且，求的值18（12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形， ，（）求證：；（）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值19（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；（2）求證：（，且）.20（12分）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，為其右焦點，且該

6、橢圓的離心率為；（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點若，求取值范圍21（12分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求證：；（）若對于恒成立，求的最大值22（10分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設(shè)表示尺寸在上的零件個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）已知尺寸在上的零件為一

7、等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱個. 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元. 若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用. 現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個，結(jié)果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】由題意可得的周期為，當(dāng)

8、時，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.2A【解析】先令，找出的關(guān)系，再令，得到的關(guān)系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以

9、是等差數(shù)列，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當(dāng)時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.3C【解析】利用復(fù)數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】解: ，故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立，對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，令，則，故在上恒成立；結(jié)合圖象可知，解得故.故選：C.【點睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間. 求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函

10、數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.5C【解析】求出的元素，再確定其真子集個數(shù)【詳解】由，解得或，中有兩個元素，因此它的真子集有3個故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合都是曲線上的點集6C【解析】利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆

11、子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.7A【解析】由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時出現(xiàn)時即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點睛】本題考查了簡單隨機抽樣中隨機數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【

12、詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力.9B【解析】先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.10C【解析】由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號均不為4的球的情況,進而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有種,故選:C【點睛】本題考查古典概型,考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】先確定摸

13、一次中獎的概率，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復(fù)試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題12D【解析】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，故為奇函數(shù)；B中，

14、的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，故為偶函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性. 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù) (2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(軸)對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由已知得出函數(shù)是偶函數(shù)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，得出所解不等式的等價的不等式，可得解集.【詳解】因為定義在的函數(shù)滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，又當(dāng)時，得時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式等價于

15、，即或，解得或，所以不等式的解集為：.故答案為：.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解，關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.144【解析】根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即故答案為415【解析】由，解得，進而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為都答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的運算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題161【解析】首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為，所以又所以所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說

16、明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）不妨設(shè)，計算得到，根據(jù)面積得到，計算得到答案.（2）設(shè)，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，代入化簡計算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，則，又，故的方程為（2）設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得在上，上式可化為，【點睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18（）見解析；（）【解析】試題分析：（1）取中點，連，由等邊三角形三邊合一可知，即證（2）以，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值試題解析：（）證明：連，則和皆為正三角形取中點，連，則， 則平面，則 （）由（）知，又，所以

17、如圖所示，分別以，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)平面的法向量為，因為，所以取 面的法向量取， 則， 平面與平面所成的銳二面角的余弦值19（1）1；（2）見解析【解析】（1）分別求得與的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值；（2）由（1）可知當(dāng)時，當(dāng)時，因而，構(gòu)造，由對數(shù)運算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，當(dāng)時，當(dāng)時，.即，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，屬于難題.20（）；（），【解析

18、】（）由題意可得，的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率，及隱含條件列式求得，的值，則橢圓方程可求；（）設(shè)直線，求得的坐標(biāo)，再設(shè)直線，求出點的坐標(biāo)，寫出的方程，聯(lián)立與，可求出的坐標(biāo)，由，可得關(guān)于的函數(shù)式，由單調(diào)性可得取值范圍【詳解】（），由，得，又，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）設(shè)直線，則與直線的交點，又，設(shè)直線，聯(lián)立，消可得解得，聯(lián)立，得，直線，聯(lián)立，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力21（）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（）證明見解析；（）.【解析】（）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上

19、為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（）條件等價于對于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進而求得最大值【詳解】（）當(dāng)時，則，所以，又因為，所以在上為增函數(shù)，因為，所以當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（），則令，則（1），所以在區(qū)間上存在唯一零點，設(shè)零點為，則，且，當(dāng)時，當(dāng)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，由，得，所以，由于，從而；（）因為對于恒成立，即對于恒成立，不妨令，因為，所以的解為，則當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，所