福建省福州市三校聯(lián)盟2022年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是 （ ）A0BCD2已知雙曲線：，為其左、右焦點(diǎn)，直線過(guò)右

2、焦點(diǎn)，與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率為( )ABCD3已知函數(shù)，且，則（ ）A3B3或7C5D5或84某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（ ）.A，且B，且C，且D，且5已知（為虛數(shù)單位，為的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）.A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限6復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)( )A3BCD7記的最大值和最小值分別為和若平面向量、，滿足，則（ ）ABCD8使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為( )ABCD9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（ ）A0B1CD10設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的

3、拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為（ ）A1BCD11函數(shù)（且）的圖象可能為（ ）ABCD12九章算術(shù)“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時(shí)，如圖： 記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則為（ ）A147B294C882D1764二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為_14己知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線

4、是雙曲線過(guò)第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_15中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列，若，則的面積為_16已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知等腰梯形中（如圖1），為線段的中點(diǎn)，、為線段上的點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.18（12分）已知函數(shù)（）（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不

5、等式恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.19（12分）已知點(diǎn)到拋物線C：y1=1px準(zhǔn)線的距離為1（）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值20（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M為PC的中點(diǎn)（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）點(diǎn)N在線段AD上，且AN，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求的值21（12分）11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)

6、投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過(guò)1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過(guò)輪投球，用表示經(jīng)過(guò)第輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.求；規(guī)定，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得，請(qǐng)根據(jù)中的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.22（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）.（1）若直線過(guò)點(diǎn),，求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)

7、，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，即可得到結(jié)論解：不等式x2+ax+10對(duì)一切x(0，成立，等價(jià)于a-x-對(duì)于一切成立，y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)a-a的最小值為-故答案為C考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題2D【解析】由|AF2|3|BF2|，可得.設(shè)直線l的方程xmy+，m0，設(shè)，即y13y2，聯(lián)

8、立直線l與曲線C,得y1+y2-，y1y2，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線l的方程xmy+，m0，雙曲線的漸近線方程為x2y，m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y10，由|AF2|3|BF2|，y13y2由，得（2m）24（m24）0，即m2+40恒成立，y1+y2，y1y2，聯(lián)立得，聯(lián)立得，即：，解得：，直線的斜率為，故選D【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題3B【解析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以或，所以的值是7

9、或3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題4D【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長(zhǎng)度，進(jìn)一步求出個(gè)各棱長(zhǎng).【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】設(shè)，由，得，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，故，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6B【解析】利用

10、乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.7A【解析】設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化

11、思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8B【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，若展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用9A【解析】根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，因?yàn)?，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】設(shè)，因?yàn)?，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)椋淳€段的中點(diǎn)，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主

12、要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.11D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.12A【解析】根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為,

13、所以,即,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.14【解析】由，則，所以點(diǎn)， 因?yàn)?，可得，點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)為，代入雙曲線的方程求解.【詳解】設(shè)，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以 所以解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，及三角恒等變換，還考查了運(yùn)算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.15.【解析】由A，B，C成等差數(shù)列得出B60，利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出【詳解】A，B，C成等差數(shù)列，A+C2B，又A

14、+B+C180，3B180，B60故由正弦定理 ，故 所以SABC，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16【解析】只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長(zhǎng)為x，則，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）見解析；（2）.【解析】（1）先連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立

15、；（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，證明平面平面，得到點(diǎn)在底面上的投影必落在直線上，記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，得出即是直線與平面所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）連接，因?yàn)榈妊菪沃校ㄈ鐖D1），所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；將四邊形沿折起后，平行關(guān)系沒有變化，仍有：，且，所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）在圖2中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)?，翻折前梯形的高為，所以，則，；所以；又，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以點(diǎn)在底面上的投影必

16、落在直線上；記為點(diǎn)在底面上的投影，連接，則平面；所以即是直線與平面所成角，因?yàn)?，所以，因此，故；因?yàn)椋?，因此，故，所?即直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于?？碱}型.18（1）極小值為，極大值為.（2）【解析】（1）根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，即可求得函數(shù)的極值；（2）根據(jù)題意，對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)是單調(diào)減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋芍?，解得，可知在，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，可知函數(shù)的極小值為，極大值為

17、.（2）可以變形為，可得，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，設(shè)，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，可知，可知參數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對(duì)具體函數(shù)極值的求解，涉及構(gòu)造函數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域；第二問(wèn)的難點(diǎn)在于對(duì)目標(biāo)式的變形，屬綜合性中檔題.19 ()C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（）1【解析】（）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(1,1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)1(k0)，與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求

18、解|MF|NF|的值【詳解】()由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(1,1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)1(k0).由得，則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上,所以,.因?yàn)镻Fx軸，所以，所以|MF|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問(wèn)題，常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來(lái)求解，本題解題關(guān)鍵是找出弦長(zhǎng)與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中等題.20（1）.（2）1【解析】（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向

19、量方法求解.（2，由AN，設(shè)N(0，0)(04)，則(1，1，2)，再求得平面PBC的一個(gè)法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos，|求解.【詳解】（1） 因?yàn)镻A平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又因?yàn)锽AD90，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AD2AB2BC4，PA4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)又因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以M(1，1，2)所以(1，1，2)，(0，0，4)，所以cos，所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.（2） 因?yàn)锳N，所以N(0，0)(04)，則(1，1，2)，(0，2，0)，(2，0，4)設(shè)平面PBC的法向量為(x,y,z)，則即令x2，解得y0，z1，所以(2，0，1)是平面PBC的一個(gè)法向量因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos，