交換的帕累托最優(yōu)條件

1、交換的帕累托最優(yōu)條件本節(jié)先討論交換的最優(yōu)條件。首先還是考慮兩種既定數(shù)量的產(chǎn)品在兩個(gè)單個(gè)消費(fèi)者之間的分配問(wèn)題，然后將所 得的結(jié)論推廣到一般情況。假定兩種產(chǎn)品分別為X和y，其既定數(shù)量為 次和Y。兩個(gè)消費(fèi)者分別為A和B.Xb （）B圖交換的帕累托最優(yōu)下面用一種叫做埃奇渥斯盒狀圖的工具來(lái)分析這兩種產(chǎn)品在兩個(gè)消費(fèi)者之間的分配。參見(jiàn)圖 交換的帕累托最優(yōu)。盒子的水平長(zhǎng)度表示整個(gè)經(jīng)濟(jì)中第一種產(chǎn)品 X的數(shù) 量京，盒子的垂直高度表示第二種產(chǎn)品y的數(shù)量Y . OA為第一個(gè)消費(fèi)者A的原點(diǎn)，OB為 第二個(gè)消費(fèi)者B的原點(diǎn)。從Oa水平向右測(cè)量消費(fèi)者A對(duì)第一種商品X的消費(fèi)量Xb，垂 直向上測(cè)量它對(duì)第二種商品Y的消費(fèi)量Ya ；

2、從Ob水平向左測(cè)量消費(fèi)者B對(duì)第一種商品X 的消費(fèi)量Xb，垂直向下測(cè)量它對(duì)第二種商品Y的消費(fèi)量Yb。現(xiàn)在考慮盒中的任意一點(diǎn)，如a。a對(duì)應(yīng)于消費(fèi)者A的消費(fèi)量（Xa，Ya）和消費(fèi)者B 的消費(fèi)量（Xb，Yb ）。下式成立：XA+XB 我YA B =F（ 1）換句話說(shuō)，盒中任意一點(diǎn)確定了一套數(shù)量，表示每一個(gè)消費(fèi)者對(duì)每一種商品 1的 消費(fèi)，且滿足（1）式。因此，盒子（包括邊界）確定了兩種物品在兩個(gè)消費(fèi)者I之間的所 有可能的分配情況。特別是.在盒子的垂直邊上的任意一點(diǎn)，表明某個(gè) I消費(fèi)者不消費(fèi)X，在盒子的水平邊上的任意一點(diǎn)，表明某個(gè)消費(fèi)者不消費(fèi)Yb?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，在埃奇渥斯盒中的全部可能的產(chǎn)品分配狀態(tài)之中，

3、哪一些是帕累 托最優(yōu)狀態(tài)呢？為了分析這一點(diǎn)，需要在埃奇渥斯盒狀圖中加入消費(fèi)者偏好的信息，即 加入每個(gè)消費(fèi)者的無(wú)差異曲線。由于Oa是消費(fèi)者A的原點(diǎn)，故A的無(wú)差異曲線向右下方 傾斜且向OA點(diǎn)凸出。圖中a、 A和111A、是消費(fèi)者A的三條代表性無(wú)差異曲線。其 中，UIA表較高的效用水平，而1A代表較低的效用水平。一般來(lái)說(shuō)，從 OA點(diǎn)向右移 動(dòng)，標(biāo)志著消費(fèi)者A的效用水平增加。另一方面，由于 Ob是消費(fèi)者B的原點(diǎn)，故B的無(wú) 差異曲線向右下方傾斜，且向OB點(diǎn)凸出。圖中，IB、 b和IIIB是消費(fèi)者B的三條 代表性無(wú)差異曲線。其中值得注意的是IIIB代表較高的效用水平，而IB代表較低的效 用。一般說(shuō)來(lái)，從O

4、b點(diǎn)向左移動(dòng)，標(biāo)志著消費(fèi)者B的效用水平增加?，F(xiàn)在在埃奇渥斯盒狀圖中任選一點(diǎn)表示兩種商品在兩個(gè)消費(fèi)者之間的一個(gè)原始分配。例如，選擇一點(diǎn)a。由于假定效用函數(shù)是連續(xù)的，故點(diǎn)a必然處于消費(fèi)者A 的某條無(wú)差異曲線上，同時(shí)也處于消費(fèi)者B的某條無(wú)差異曲線上，即消費(fèi)者A和B分別有 一條無(wú)差異曲線經(jīng)過(guò)a點(diǎn)。因此，這兩條無(wú)差異曲線或者在a點(diǎn)相交，或者在a點(diǎn)相切。 假定兩條無(wú)差異曲線在a點(diǎn)相交（如圖交換的帕累托最優(yōu)所示點(diǎn)a是無(wú)差異曲線11 a 和Ib的交點(diǎn)）。容易看出.a點(diǎn)不可能是帕累托最優(yōu)狀態(tài)。這是因?yàn)椋ㄟ^(guò)改變?cè)摮跏?分配狀態(tài)。例如從a點(diǎn)變動(dòng)到b點(diǎn)，則消費(fèi)者叫的效用水平從無(wú)差異曲線11 a提高到IIIa， 而消

5、費(fèi)者B的效用水平并未變化，Ib然停留在無(wú)差異曲線Ib上。因此，在點(diǎn)a仍然存在 帕累托改進(jìn)的余地。當(dāng)然在點(diǎn)a，還存在其他形式的帕累托改進(jìn)。例如，從a點(diǎn)變動(dòng)到d 點(diǎn)，則消費(fèi)者A的效用水平不變，它仍然在無(wú)差異曲線 a上，但消費(fèi)者B的效用水平 卻得到了提高：從無(wú)差異曲線Ib提高到IIb。而如果讓a點(diǎn)變動(dòng)到d點(diǎn)，則消費(fèi)者A叫B 的效用水平均會(huì)提高。由此得到結(jié)論：在交換的埃奇渥斯盒狀圖中。任意一點(diǎn)，如果 它處在消費(fèi)者A和B的兩條無(wú)差異曲線的交點(diǎn)上，則它就不是帕累托最優(yōu)狀態(tài)，因?yàn)樵?這種情況下，總存在帕累托改進(jìn)的余地，即總可以改變?cè)摖顟B(tài)，使至少有一個(gè)人的狀 況變好而沒(méi)有人的狀況變壞。另一方面，如果假定初始的

6、產(chǎn)品分配狀態(tài)處于兩條無(wú)差異曲線的切點(diǎn).如點(diǎn)c上，則容易看出，此時(shí)不存在任何帕累托改進(jìn)的余地.即它們均為帕累托最優(yōu)狀態(tài)。改變 c 點(diǎn)狀態(tài)只有如下幾種可能：向右上方移到消費(fèi)者 A較高的無(wú)差異曲線上，則A的效用水 平提高了，但消費(fèi)者B的效用水平卻下降了：向左下方移到消費(fèi)者B的較高的無(wú)差異曲 線上，則B的效用水平提高了，但消費(fèi)者A的效用水平卻下降了；剩下來(lái)的惟一一種可 能則是消費(fèi)者A和B的效用水平都降低。例如，從c點(diǎn)移到g點(diǎn)或f點(diǎn).此種情況。由此可 得結(jié)論：在交換的埃奇渥斯盒狀圖中，任意一點(diǎn)，如果它處在消費(fèi)者A和B的兩條差異曲線的切點(diǎn)上，則它就是帕累托最優(yōu)狀態(tài)，并稱之為交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)。在這種 情

7、況下，不存在有帕累托改進(jìn)的余地，即任何改變都不能使至少一個(gè)人的狀況變好而 沒(méi)有人的狀況變壞。無(wú)差異曲線的切點(diǎn)不只是點(diǎn)c一個(gè)。點(diǎn)b和點(diǎn)e以及其他許多未在圖 交換的帕累托最優(yōu)中畫(huà)出的點(diǎn)也都是無(wú)差異曲線的切點(diǎn)，從而都代表帕累托最優(yōu)狀態(tài)。所有 無(wú)差異曲線的切點(diǎn)的軌跡構(gòu)成曲線VV ，叫做交換的契約曲線（或效率曲線），它表示 兩種產(chǎn)品在兩個(gè)消費(fèi)者之間的所有最優(yōu)分配（即帕累托最優(yōu)態(tài)）的集合。應(yīng)當(dāng)指出，在交換的帕累托最優(yōu)集合。即在交換的契約曲線 VV上，兩個(gè)消費(fèi)者 的福利分配具有不同的情況。當(dāng)我們沿著VV，曲線從e點(diǎn)移到c點(diǎn)時(shí)，消費(fèi)者A通過(guò)犧 牲消費(fèi)者B的利益而好起來(lái)；反之亦然。根據(jù)帕累托標(biāo)準(zhǔn)，我們不能說(shuō)VV

8、 曲線上的任 何點(diǎn)比曲線L的其他點(diǎn)要更好一些。例如，們不能說(shuō)點(diǎn)c比點(diǎn)e代表更好的分配。根據(jù)帕 累托標(biāo)準(zhǔn)，它們是不可比較的.因?yàn)閺狞c(diǎn)e移到點(diǎn)c（或者相反）使一個(gè)人的狀況變好， 卻使另一個(gè)人的狀況變壞。我們所能夠說(shuō)的僅僅是，給定任何不在線VV上的點(diǎn)，總存在比它更好的點(diǎn)，而這些點(diǎn)在曲線VV上。如果社會(huì)具有明顯的關(guān)于福利分配的偏好。例如，假設(shè)經(jīng)濟(jì)處于點(diǎn) e，而社會(huì)寧 愿以犧牲消費(fèi)者B的利益使消費(fèi)者A更好一些，比如說(shuō)，寧愿要點(diǎn)c而非點(diǎn)e，則根據(jù)這 個(gè)分配偏好，社會(huì)將使經(jīng)濟(jì)沿著曲線VV ，從點(diǎn)e移到點(diǎn)c。這是從帕累托最優(yōu)狀態(tài)集 合中，根據(jù)社會(huì)的分配偏好選擇其中的某些狀態(tài)。從交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)可以得到交換

9、的帕累托最優(yōu)條件。我們知道，交換的帕 累托最優(yōu)狀態(tài)無(wú)差異曲線的切點(diǎn)，而尤差異曲線的切點(diǎn)的條件是在該點(diǎn)上兩條無(wú)差異 曲線的斜率相等。本書(shū)第二第二節(jié)已經(jīng)說(shuō)明：無(wú)差異曲線的斜率的絕對(duì)值又叫做兩種 商品的邊際替代率（更準(zhǔn)確地說(shuō)，是商品X代替商品Y的邊際替代率）。因此，交換的帕 累托最優(yōu)狀態(tài)的條件可以用邊際替代率的術(shù)語(yǔ)來(lái)表時(shí)：要使兩種商品X和Y在兩個(gè)消費(fèi)者A和B之間的分配達(dá)到帕累托最優(yōu)狀態(tài)，則對(duì)于這兩個(gè)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，這兩種商品的邊Sa 際替代率必須相等。如設(shè)對(duì)于消費(fèi)者A和B來(lái)說(shuō)，X代替Y的邊際替代率分別用.MIR Sxy 和MR SXy來(lái)表示.則交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)條件的公式就是：MRS a MRS bXYXY（2）為了說(shuō)明上面的邊際條件，可以舉一個(gè)數(shù)字的例子來(lái)幫助加深理解。假定在初始 的分配中，消費(fèi)者A的邊際替代率MRSXy y等于3。消費(fèi)者B的邊際替代率MRSXy等于5。 這意味著A愿意放棄l單位的x來(lái)交換不少于3單位的Y。因此，A若能用1單位X交換到3 單位以上的Y就增加了自己的福利；另一方面，B愿意放棄不多于5單位的Y來(lái)交換1單位 的X。因此，B若能用5單位以下的Y交換到1單位的X就增進(jìn)了自己的福利。由此可見(jiàn)，