山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略幾何分冊第15章調(diào)和點列

1、第15章 調(diào)和點列設(shè)兩點、內(nèi)分與外分同一線段成同一比例，即，則稱點和調(diào)和分割線段，或稱點是點關(guān)于線段的調(diào)和共軛點，亦稱點列、，、為調(diào)和點列，若從直線一點引射線、，則稱線束、為調(diào)和線束調(diào)和點列聯(lián)系了眾多的圖形，因而它有一系列有趣的性質(zhì)沈文選線段調(diào)和分割的性質(zhì)及應(yīng)用J中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2009（9）：2833沈文選，肖登鵬調(diào)和點列的性質(zhì)與一類競賽題的證明J數(shù)學(xué)通訊，2009（6）：4346沈文選，羊明亮線段的調(diào)和分割在證明兩角相等的應(yīng)用J中學(xué)教學(xué)研究，2009（8）：3133性質(zhì)l 設(shè)、是共線四點，點是線段的中點，則、調(diào)和分割線段的充要條件是滿足下述六個條件之一：（1）點、調(diào)和分割；（2）；（3）

2、；（4）；（5）；（6）證明（1）、調(diào)和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）性質(zhì)2 設(shè)、是共線四點，過共點直線外一點引射線、，則、調(diào)和分割線段的充要條件是滿足下述兩個條件之一：（1）線束、其中一射線的任一平行線被其他三條射線截出相等的兩線段；（2）另一直線分別交射線、于點、時，點、調(diào)和分割線段證明（1）如圖15-2，不失一般性，設(shè)過點作交射線于，交射線于注意，有（2）如圖15-2，不失一般性，設(shè)過點作交射線于，交射線于，則為的中點注意，知為的中點、調(diào)和分裂線段推論l 梯形的兩腰延長線的交點，兩對角線的交點，調(diào)和分割兩底中點的聯(lián)線段，證明 如圖15-3，在梯形中，是兩腰延長線的交點，是兩

3、對角線的交點，聯(lián)結(jié)并延長交于，交于，則，即，此兩式相乘，相除得，即，亦即、分別為、的中點聯(lián)結(jié)，則對線束、來說，且，則由性質(zhì)2（1）知、調(diào)和分割線段（當然也可由而證）推論2 完全四邊形的一條對角線被其他兩條對角線調(diào)和分割此即為第14章中的性質(zhì)2，下面另證如下證明 如圖15-4，在完全四邊形中，、是其三條對角線，設(shè)直線交于，交于若，則由推論1知，點、調(diào)和分割線段若，如圖15-4，設(shè)直線與直線交于點聯(lián)結(jié)，過點作直線交于，交于，交于，交于，則分別在、中，有，于是，從而又過點作交于，則聯(lián)結(jié)并延長交于，交于，則由為的中點，知為的中點，為的中點，在梯形中，點在上，則由推論1知，、調(diào)和分割，即有于是，由平行線

4、性質(zhì)，有，即知、調(diào)和分割線段聯(lián)結(jié)并延長交于點，交于點，則上述證明知，在完全四邊形中，、調(diào)和分割線段對線束、，由性質(zhì)2（2），知、調(diào)和分割，、調(diào)和分割注：當時，也可看作直線與相交于無窮遠點，此時，亦有、調(diào)和分割，、調(diào)和分割推論3過完全四邊形對角線所在直線的交點作另一條對角線的平行線，所作直線與平行的對角線的同一端點所在的邊（或其延長線）相交，所得線段被此對角線所在直線上的交點平分證明 如圖15-5，點、為完全四邊形的三條對角線、所在直線的交點，過點與平行的直線，與、交于點，與，交于點、，分別對線束、；、應(yīng)用性質(zhì)2（1）知，同理，可證過點與平行的直線的情形，過點與平行的直線的情形性質(zhì)3 對線段的內(nèi)

5、分點和外分點，以及直線外一點，給出如下四個論斷：是的平分線；是的外角平分線；、調(diào)和分割線段；以上四個論斷中，任意選取兩個作題設(shè)，另兩個作結(jié)論組成的六個命題均為真命題證明（1）由、推出、，此時有，顯然（2）由、推出、此時，可過點作交射線于點，交射線于點，如圖15-6則由性質(zhì)2（1）知，從而知，亦知，亦即有平分的外角（3）由、推出、此時，推知是的外角平分線，由此即知、調(diào)和分割線段（4）由、推出、此時，結(jié)論顯然成立（5）由、推出、此時，不妨設(shè)，由知，由正弦定理（或共角比例定理）有，亦即有從而知平分，由此亦推知是的外角平分線。下面給出性質(zhì)3的一系列推論：推論4 三角形的角平分線被其內(nèi)心和相應(yīng)的旁心調(diào)和

6、分割推論5 不相等且外離的兩圓圓心聯(lián)線被兩圓的外公切線交點和內(nèi)公切線交點調(diào)和分割推論6 若、兩點調(diào)和分割圓的直徑、，則圓周上任一點到、兩點的距離之比是不等于1的常數(shù)；反之，若一動點到兩定點的距離之比為不等于1的常數(shù)則該動點的軌跡是一個圓（即為阿波羅尼奧斯圓）推論7 從圓周上一點作兩割線，它們與圓相交的非公共的兩點聯(lián)線，垂直于這條聯(lián)線的直徑所在的直線與兩割線相交，則這條直徑被這兩割線調(diào)和分割證明 如圖15-7，、為的兩條割線交于，直徑弦，則，聯(lián)結(jié)、，則知平分設(shè)直徑所在之心啊交于，交于由，且平分，則知、調(diào)和分割推論8 一已知圓的直徑被另一圓周調(diào)和分割的充要條件是，已知直徑的圓周與過兩分割點的圓周正

7、交（即交點處的切線互相垂直）證明 如圖15-8，已知與相交于點，過、，為的直徑，且、共線、調(diào)和分割平分注意到，有為的切線，即推論9 設(shè)點是的內(nèi)心，角平分線交邊于點，射線交的外接圓于點，則射線上的點為的旁心的充要條件是證明 如圖15-8，由題設(shè)（即內(nèi)心的性質(zhì)），有，即為的圓心在內(nèi)，為的旁心注意平分時，有（或平分的外角）在上，且這時最后一步反過來推導(dǎo)時用到如下的同一法：當時，在射線上取點，使，則知在上，即有，注意到平分，由性質(zhì)3知，即，亦即而，則，即與重合故在上，且推論10 設(shè)的角平分線交于，交的外接圓于點，則性質(zhì)4 三角形的一邊被其邊上的內(nèi)（旁）切圓的切點和另一點調(diào)和分割的充要條件是，另一點與其

8、余兩邊上的兩個切點三點共線（參見第10章性質(zhì)1，即得此性質(zhì)的證明）注：若過兩切點的直線與另一切點所在邊平行，則可視為交于無窮遠點，此時上述結(jié)論仍然成立推論11 若凸四邊形有內(nèi)切圓，則相對邊上的兩切點所在直線與凸四邊形一邊延長線的交點、這一邊上的內(nèi)切圓切點，調(diào)和分割這一邊性質(zhì)5從外一點引圓的割線交于、，若割線與點的切點弦交于點，則弦被、調(diào)和分割（參見第18章性質(zhì)4）證明 如圖15-9，過作的切線、，切點為、，則為點的切點弦，即點在上聯(lián)結(jié)交于點，聯(lián)結(jié)，則由，知、四點共圓從而，即知為的內(nèi)角的外角平分線，又，則由性質(zhì)3知，弦被、調(diào)和分割注：也可這樣證，過作于，則為的中點由、共圓，知，從而由性質(zhì)1（5）

9、知、調(diào)和分割推論12 從外一點引圓的兩條割線交圓于四點，以這四點為頂點的四邊形的對角線相交于點，設(shè)直線交于、，則、調(diào)和分割弦證明 如圖15-10，割線、交于、，過作切線、，、為切點，則為點的切點弦設(shè)與交于點，與交于點，與交于點由于，以及，即有，且，從而對應(yīng)用賽瓦定理的逆定理，知、共點，即知、三線共點于，亦即點在切點弦上由性質(zhì)5知，、調(diào)和分割弦注：若運用完全四邊形密克點的性質(zhì)可如下簡證：過作直線與，則為完全四邊形的密克點，且、五點共圓，有，于是，有同理而，則，即、三點共線故、調(diào)和分割弦性質(zhì)6 設(shè)過外一點任意引一條割線交圓周于點及，則點對于弦的調(diào)和共軛點的軌跡是一條直線證明 由性質(zhì)1（6），線段的

10、中點滿足等式：而此式表明：點所在的直線為已知和點的根軸因此，點在一條定直線上，如圖15-11在性質(zhì)6中，點的軌跡常稱為點對于的極線，而點稱為這極線的極點（參見第18章）顯然，點的極線垂直于點和圓心的聯(lián)線，且交此聯(lián)線于定點與在點的同側(cè)，又由下式確定（設(shè)為的半徑）：此式亦表明點和調(diào)和分割直線上的的直徑由上可知：若點在圓外，則其對于圓的極線就是由點所作兩切線的切點的聯(lián)線（也可由性質(zhì)5推知）；若點在圓周上，則其對于圓的極線為過點的切線命題1 若點在圓內(nèi)且異于圓心，其對于圓的極線在圓外，設(shè)以點為中點的弦為，過兩端點、作圓的切線交于點，則極線為過點且與垂直的直線證明如圖15-11，設(shè)已知圓為，其半徑為由題

11、設(shè)條件知，有由此即證或者，設(shè)過點的直線交于、，交直線于，則線段的中點的軌跡是線段的中垂線，故點就是點對于弦的調(diào)和共軛點命題2 若點在點對于的極線上，那么點也在點對于的極線上（的半徑為）證明 如圖15-12，設(shè)在對于的極線上，那么它在直線上的射影滿足設(shè)是在直線上的射影，則四邊形為圓內(nèi)接四邊形于是，所以直線是點對于的極線對于命題2中的點、，我們可稱為對于的一對互軛極點推論13 的一對共軛極點、調(diào)和分割直線截的弦命題3 設(shè)過圓外一點引兩割線、，并將此兩割線與圓周的交點、兩兩聯(lián)線，那么所得的直線相交于E、G，如圖15-13當割線繞點旋轉(zhuǎn)時，此兩點、的軌跡是點的極線證明如圖15-13，由于為直線和的交點

12、為與的交點，應(yīng)用推論12，知直線和弦及的交點、是點對于此兩弦的調(diào)和共軛點因此，直線是點對于圓的極線注：同理，直線是點對于圓的極線可由命題2，知直線是點對于圓的極線，由此，可簡捷推證推論12推論14 設(shè)圓內(nèi)接凸四邊形的兩雙對邊與、與的延長線分別交于點、，如圖15-13，若點對于圓的極線交圓于、，點對于圓的極線交圓于、，則過點、的兩切線的交點為圖與的交點關(guān)于弦的調(diào)和共軛點證明 由于、是點對于圓的極線與圓的交點，則知為點的切點弦，即過點、的兩切線的交點即為而點在上，由性質(zhì)5或推論12知，點為點關(guān)于弦的調(diào)和共軛點推論15 若凸四邊形有內(nèi)切圓，且一組對邊上的兩切點分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點重合，則另一組

13、對邊上的兩切點分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點也重合（參見練習(xí)題14第3題）證明如圖15-14，凸四邊形有內(nèi)切圓，設(shè)、分別為邊、上的切點，且點、分別關(guān)于邊、的調(diào)和共軛點均為此時，點的極線為，注意到性質(zhì)4與5，點關(guān)于弦的調(diào)和共軛點為上一定點又由性質(zhì)4與5知點關(guān)于的調(diào)和共軛點，也為點關(guān)于弦的調(diào)和共軛點，點關(guān)于的調(diào)和共軛點為點關(guān)于弦的調(diào)和共軛點，從而與重合，重合于邊、的延長線的交點下面，給出應(yīng)用上述性質(zhì)處理問題的例子例l（1999年全國高中聯(lián)賽題）如圖15-15，在四邊形中，對角線平分的中點，邊上取一點，與交于點，延長交于求證：證明 設(shè)直線與直線交于點（或無窮遠點），且分別與交于點，則在完全四邊形中，應(yīng)用

14、推論2，知、調(diào)和分割，、調(diào)和分割由平分，則由性質(zhì)3，知再由性質(zhì)3知例2（1998年全國高中聯(lián)賽題）如圖15-16，分別是的外心，內(nèi)心，是邊上的高，在線段（）上求證：的外接圓半徑等于邊3上的旁切圓半徑證明 設(shè)為外切于邊的旁切圓的圓心，聯(lián)結(jié)交于，交于，則為的中點，聯(lián)結(jié)，則，作于，則為的半徑由平行線性質(zhì)，有， （*）由推論9，有即有，從而而，故例3（2007年試題）如圖15-17，設(shè)，分別為的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與內(nèi)切圓邊、分別相切于點、，直線與相交于點，直線與相交于點，點、分別為線段、的中點求證：證明 由性質(zhì)4，知、調(diào)和分割，又為中點，則有同理設(shè)、分別為的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則，由圓冪定理，有，結(jié)

15、合、兩式，有，故例4（2008年國家隊選拔賽題）在中，它的內(nèi)切圓切邊于點，聯(lián)結(jié)交內(nèi)切圓于點（不同于點）在線段上取異于點的一點使得，聯(lián)結(jié)并延長交于點求證：證明 如圖15-18，設(shè)內(nèi)切圓切邊于，切邊于，直線與直線交于點，則由推論15知，過點的切線經(jīng)過點又由知聯(lián)結(jié)，則由性質(zhì)4知，、為調(diào)和線束，從而，由性質(zhì)2即知例5（2007國家隊選拔賽）已知是的弦，是弧的中點，是外任一點，過點作的切線、，聯(lián)結(jié)、分別交于點、，過點、作的垂線，分別交、于點、，再過點任作的割線，交于點、，聯(lián)結(jié)交于點設(shè)是的外心求證：、三點共線證明 如圖15-19，聯(lián)結(jié)，則，從而，即有，亦即于是，以為圓心，以為半徑作，則與相切于點聯(lián)結(jié)、，則

16、知平分，平分聯(lián)結(jié)，則由推論10知，有又由切割線定理，有、表明點和點關(guān)于和的冪都相等，于是直線就是這兩個圓的根軸因此同理，故知、三點共線例6（由2005年國家隊培訓(xùn)題改編）在直線中，它的內(nèi)切圓分別切邊、于點、，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點，過作內(nèi)切圓的切線與直線交于點聯(lián)結(jié)、，且求證：為的中點證明 如圖15-20，聯(lián)結(jié)，則為等腰直角三角形，于是，注意到，則知又，則，有聯(lián)結(jié)，由，知，于是由即有 注意到及式，知，由此知為等腰三角從而，于是聯(lián)結(jié)，延長交于點，即知設(shè)直線交于，則由推論15知點在直線上，又由性質(zhì)5知，點、調(diào)和分割弦，則、為調(diào)和線束，注意到，則由性質(zhì)2知為的中點，故為的中點例7（2008年蒙古國

17、家隊選拔考試題）已知四邊形內(nèi)接于以為直徑的圓為點關(guān)于的對稱點，為點關(guān)于的對稱點，直線與，與分別交于點、證明：證明 如圖15-21設(shè)與交于點由于，四點共圓，則，即知平分又為直徑，則即知平分的外角因此，；為調(diào)和點列進而，為調(diào)和線束由于，則，故例8（2007年第38屆奧地利數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知的外心為，為的延長線上一點，直線與關(guān)于對稱，直線與關(guān)于對稱，與變于點若點在的延長線上運動，求點的軌跡解如圖15-22，設(shè)直線與交于點，與的第二個交點為，則于是，分別是的角平分線，外角平分線，所以，是調(diào)和點列類似地，與的交點若為，則，也是調(diào)和點列因此由于是延長線上的動點，故的軌跡為線段內(nèi)部的點例9 設(shè)的內(nèi)切圓分別

18、與邊，切于點，與交于點，為的外接圓與的交點，與交于點即證明 如圖15-23，設(shè)直線與直線交于點，與直線交于點對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有于是，（*）注意到，；，為調(diào)和點列，知，；，調(diào)和線束，由調(diào)和線束的性質(zhì)知，；，為調(diào)和點列，即有再結(jié)合(*)式，可得原問題等價于為的中點由，知，四點共圓，從而，又，則對、應(yīng)用正弦定理，有 （*）再注意到四邊形為調(diào)和四邊形，則，亦即，將其代入（*）式知，即為的中點故原問題獲證練習(xí)十五1（1996年全國高中聯(lián)賽題）圓與圓與的三邊所在的三條直線都相切，、為切點，并且、的延長線交于點求證：直線與垂直2（2005年全國高中聯(lián)賽題）在中，設(shè)過點作的外接圓的切線又以為圓心，為

19、半徑作圓分別交線段于點，交直線于點、證明：直線、分別通過的內(nèi)心與一個旁心3（1990年中國國家隊集訓(xùn)題）已知和外離，兩條公切線分別切與、，切于、，弦、分別交直線于、，過、分別交、于、求證：4（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題791號）在中，是斜邊上的高，是的中點，射線交于點，過作交的延長線于點，交于點求證：5（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題766號）凸四邊形的對角線交于點，兩組對邊所在直線交于點，過點作，另過點的直線交對邊、于點求證：6（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題651號）在凸四邊形中，邊，的延長線交于點，邊、的延長線交于點若于求證：7（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題561號）為內(nèi)一點，使，是線段上的點，直線分別交邊，于，求證：8（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題481號）已知的內(nèi)切圓在，上的切點分別為，且，為垂足求證：平分9（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題506號）已知、，為銳角的三條高，過作的