山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略幾何分冊(cè)第15章調(diào)和點(diǎn)列

1、第15章 調(diào)和點(diǎn)列設(shè)兩點(diǎn)、內(nèi)分與外分同一線段成同一比例，即，則稱點(diǎn)和調(diào)和分割線段，或稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和共軛點(diǎn)，亦稱點(diǎn)列、，、為調(diào)和點(diǎn)列，若從直線一點(diǎn)引射線、，則稱線束、為調(diào)和線束調(diào)和點(diǎn)列聯(lián)系了眾多的圖形，因而它有一系列有趣的性質(zhì)沈文選線段調(diào)和分割的性質(zhì)及應(yīng)用J中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2009（9）：2833沈文選，肖登鵬調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)與一類競(jìng)賽題的證明J數(shù)學(xué)通訊，2009（6）：4346沈文選，羊明亮線段的調(diào)和分割在證明兩角相等的應(yīng)用J中學(xué)教學(xué)研究，2009（8）：3133性質(zhì)l 設(shè)、是共線四點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則、調(diào)和分割線段的充要條件是滿足下述六個(gè)條件之一：（1）點(diǎn)、調(diào)和分割；（2）；（3）

2、；（4）；（5）；（6）證明（1）、調(diào)和分割；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）性質(zhì)2 設(shè)、是共線四點(diǎn)，過共點(diǎn)直線外一點(diǎn)引射線、，則、調(diào)和分割線段的充要條件是滿足下述兩個(gè)條件之一：（1）線束、其中一射線的任一平行線被其他三條射線截出相等的兩線段；（2）另一直線分別交射線、于點(diǎn)、時(shí)，點(diǎn)、調(diào)和分割線段證明（1）如圖15-2，不失一般性，設(shè)過點(diǎn)作交射線于，交射線于注意，有（2）如圖15-2，不失一般性，設(shè)過點(diǎn)作交射線于，交射線于，則為的中點(diǎn)注意，知為的中點(diǎn)、調(diào)和分裂線段推論l 梯形的兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，兩對(duì)角線的交點(diǎn)，調(diào)和分割兩底中點(diǎn)的聯(lián)線段，證明 如圖15-3，在梯形中，是兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，是兩

3、對(duì)角線的交點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，則，即，此兩式相乘，相除得，即，亦即、分別為、的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)，則對(duì)線束、來說，且，則由性質(zhì)2（1）知、調(diào)和分割線段（當(dāng)然也可由而證）推論2 完全四邊形的一條對(duì)角線被其他兩條對(duì)角線調(diào)和分割此即為第14章中的性質(zhì)2，下面另證如下證明 如圖15-4，在完全四邊形中，、是其三條對(duì)角線，設(shè)直線交于，交于若，則由推論1知，點(diǎn)、調(diào)和分割線段若，如圖15-4，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作直線交于，交于，交于，交于，則分別在、中，有，于是，從而又過點(diǎn)作交于，則聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于，交于，則由為的中點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在梯形中，點(diǎn)在上，則由推論1知，、調(diào)和分割，即有于是，由平行線

4、性質(zhì)，有，即知、調(diào)和分割線段聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則上述證明知，在完全四邊形中，、調(diào)和分割線段對(duì)線束、，由性質(zhì)2（2），知、調(diào)和分割，、調(diào)和分割注：當(dāng)時(shí)，也可看作直線與相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)，亦有、調(diào)和分割，、調(diào)和分割推論3過完全四邊形對(duì)角線所在直線的交點(diǎn)作另一條對(duì)角線的平行線，所作直線與平行的對(duì)角線的同一端點(diǎn)所在的邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所得線段被此對(duì)角線所在直線上的交點(diǎn)平分證明 如圖15-5，點(diǎn)、為完全四邊形的三條對(duì)角線、所在直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線，與、交于點(diǎn)，與，交于點(diǎn)、，分別對(duì)線束、；、應(yīng)用性質(zhì)2（1）知，同理，可證過點(diǎn)與平行的直線的情形，過點(diǎn)與平行的直線的情形性質(zhì)3 對(duì)線段的內(nèi)

5、分點(diǎn)和外分點(diǎn)，以及直線外一點(diǎn)，給出如下四個(gè)論斷：是的平分線；是的外角平分線；、調(diào)和分割線段；以上四個(gè)論斷中，任意選取兩個(gè)作題設(shè)，另兩個(gè)作結(jié)論組成的六個(gè)命題均為真命題證明（1）由、推出、，此時(shí)有，顯然（2）由、推出、此時(shí)，可過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，如圖15-6則由性質(zhì)2（1）知，從而知，亦知，亦即有平分的外角（3）由、推出、此時(shí)，推知是的外角平分線，由此即知、調(diào)和分割線段（4）由、推出、此時(shí)，結(jié)論顯然成立（5）由、推出、此時(shí)，不妨設(shè)，由知，由正弦定理（或共角比例定理）有，亦即有從而知平分，由此亦推知是的外角平分線。下面給出性質(zhì)3的一系列推論：推論4 三角形的角平分線被其內(nèi)心和相應(yīng)的旁心調(diào)和

6、分割推論5 不相等且外離的兩圓圓心聯(lián)線被兩圓的外公切線交點(diǎn)和內(nèi)公切線交點(diǎn)調(diào)和分割推論6 若、兩點(diǎn)調(diào)和分割圓的直徑、，則圓周上任一點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之比是不等于1的常數(shù)；反之，若一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為不等于1的常數(shù)則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓（即為阿波羅尼奧斯圓）推論7 從圓周上一點(diǎn)作兩割線，它們與圓相交的非公共的兩點(diǎn)聯(lián)線，垂直于這條聯(lián)線的直徑所在的直線與兩割線相交，則這條直徑被這兩割線調(diào)和分割證明 如圖15-7，、為的兩條割線交于，直徑弦，則，聯(lián)結(jié)、，則知平分設(shè)直徑所在之心啊交于，交于由，且平分，則知、調(diào)和分割推論8 一已知圓的直徑被另一圓周調(diào)和分割的充要條件是，已知直徑的圓周與過兩分割點(diǎn)的圓周正

7、交（即交點(diǎn)處的切線互相垂直）證明 如圖15-8，已知與相交于點(diǎn)，過、，為的直徑，且、共線、調(diào)和分割平分注意到，有為的切線，即推論9 設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)心，角平分線交邊于點(diǎn)，射線交的外接圓于點(diǎn)，則射線上的點(diǎn)為的旁心的充要條件是證明 如圖15-8，由題設(shè)（即內(nèi)心的性質(zhì)），有，即為的圓心在內(nèi)，為的旁心注意平分時(shí)，有（或平分的外角）在上，且這時(shí)最后一步反過來推導(dǎo)時(shí)用到如下的同一法：當(dāng)時(shí)，在射線上取點(diǎn)，使，則知在上，即有，注意到平分，由性質(zhì)3知，即，亦即而，則，即與重合故在上，且推論10 設(shè)的角平分線交于，交的外接圓于點(diǎn)，則性質(zhì)4 三角形的一邊被其邊上的內(nèi)（旁）切圓的切點(diǎn)和另一點(diǎn)調(diào)和分割的充要條件是，另一點(diǎn)與其

8、余兩邊上的兩個(gè)切點(diǎn)三點(diǎn)共線（參見第10章性質(zhì)1，即得此性質(zhì)的證明）注：若過兩切點(diǎn)的直線與另一切點(diǎn)所在邊平行，則可視為交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)上述結(jié)論仍然成立推論11 若凸四邊形有內(nèi)切圓，則相對(duì)邊上的兩切點(diǎn)所在直線與凸四邊形一邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)、這一邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)，調(diào)和分割這一邊性質(zhì)5從外一點(diǎn)引圓的割線交于、，若割線與點(diǎn)的切點(diǎn)弦交于點(diǎn)，則弦被、調(diào)和分割（參見第18章性質(zhì)4）證明 如圖15-9，過作的切線、，切點(diǎn)為、，則為點(diǎn)的切點(diǎn)弦，即點(diǎn)在上聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則由，知、四點(diǎn)共圓從而，即知為的內(nèi)角的外角平分線，又，則由性質(zhì)3知，弦被、調(diào)和分割注：也可這樣證，過作于，則為的中點(diǎn)由、共圓，知，從而由性質(zhì)1（5）

9、知、調(diào)和分割推論12 從外一點(diǎn)引圓的兩條割線交圓于四點(diǎn)，以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，設(shè)直線交于、，則、調(diào)和分割弦證明 如圖15-10，割線、交于、，過作切線、，、為切點(diǎn)，則為點(diǎn)的切點(diǎn)弦設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)由于，以及，即有，且，從而對(duì)應(yīng)用賽瓦定理的逆定理，知、共點(diǎn)，即知、三線共點(diǎn)于，亦即點(diǎn)在切點(diǎn)弦上由性質(zhì)5知，、調(diào)和分割弦注：若運(yùn)用完全四邊形密克點(diǎn)的性質(zhì)可如下簡(jiǎn)證：過作直線與，則為完全四邊形的密克點(diǎn)，且、五點(diǎn)共圓，有，于是，有同理而，則，即、三點(diǎn)共線故、調(diào)和分割弦性質(zhì)6 設(shè)過外一點(diǎn)任意引一條割線交圓周于點(diǎn)及，則點(diǎn)對(duì)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線證明 由性質(zhì)1（6），線段的

10、中點(diǎn)滿足等式：而此式表明：點(diǎn)所在的直線為已知和點(diǎn)的根軸因此，點(diǎn)在一條定直線上，如圖15-11在性質(zhì)6中，點(diǎn)的軌跡常稱為點(diǎn)對(duì)于的極線，而點(diǎn)稱為這極線的極點(diǎn)（參見第18章）顯然，點(diǎn)的極線垂直于點(diǎn)和圓心的聯(lián)線，且交此聯(lián)線于定點(diǎn)與在點(diǎn)的同側(cè)，又由下式確定（設(shè)為的半徑）：此式亦表明點(diǎn)和調(diào)和分割直線上的的直徑由上可知：若點(diǎn)在圓外，則其對(duì)于圓的極線就是由點(diǎn)所作兩切線的切點(diǎn)的聯(lián)線（也可由性質(zhì)5推知）；若點(diǎn)在圓周上，則其對(duì)于圓的極線為過點(diǎn)的切線命題1 若點(diǎn)在圓內(nèi)且異于圓心，其對(duì)于圓的極線在圓外，設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦為，過兩端點(diǎn)、作圓的切線交于點(diǎn)，則極線為過點(diǎn)且與垂直的直線證明如圖15-11，設(shè)已知圓為，其半徑為由題

11、設(shè)條件知，有由此即證或者，設(shè)過點(diǎn)的直線交于、，交直線于，則線段的中點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線，故點(diǎn)就是點(diǎn)對(duì)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)命題2 若點(diǎn)在點(diǎn)對(duì)于的極線上，那么點(diǎn)也在點(diǎn)對(duì)于的極線上（的半徑為）證明 如圖15-12，設(shè)在對(duì)于的極線上，那么它在直線上的射影滿足設(shè)是在直線上的射影，則四邊形為圓內(nèi)接四邊形于是，所以直線是點(diǎn)對(duì)于的極線對(duì)于命題2中的點(diǎn)、，我們可稱為對(duì)于的一對(duì)互軛極點(diǎn)推論13 的一對(duì)共軛極點(diǎn)、調(diào)和分割直線截的弦命題3 設(shè)過圓外一點(diǎn)引兩割線、，并將此兩割線與圓周的交點(diǎn)、兩兩聯(lián)線，那么所得的直線相交于E、G，如圖15-13當(dāng)割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，此兩點(diǎn)、的軌跡是點(diǎn)的極線證明如圖15-13，由于為直線和的交點(diǎn)

12、為與的交點(diǎn)，應(yīng)用推論12，知直線和弦及的交點(diǎn)、是點(diǎn)對(duì)于此兩弦的調(diào)和共軛點(diǎn)因此，直線是點(diǎn)對(duì)于圓的極線注：同理，直線是點(diǎn)對(duì)于圓的極線可由命題2，知直線是點(diǎn)對(duì)于圓的極線，由此，可簡(jiǎn)捷推證推論12推論14 設(shè)圓內(nèi)接凸四邊形的兩雙對(duì)邊與、與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、，如圖15-13，若點(diǎn)對(duì)于圓的極線交圓于、，點(diǎn)對(duì)于圓的極線交圓于、，則過點(diǎn)、的兩切線的交點(diǎn)為圖與的交點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)證明 由于、是點(diǎn)對(duì)于圓的極線與圓的交點(diǎn)，則知為點(diǎn)的切點(diǎn)弦，即過點(diǎn)、的兩切線的交點(diǎn)即為而點(diǎn)在上，由性質(zhì)5或推論12知，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)推論15 若凸四邊形有內(nèi)切圓，且一組對(duì)邊上的兩切點(diǎn)分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點(diǎn)重合，則另一組

13、對(duì)邊上的兩切點(diǎn)分別關(guān)于所在邊的調(diào)和共軛點(diǎn)也重合（參見練習(xí)題14第3題）證明如圖15-14，凸四邊形有內(nèi)切圓，設(shè)、分別為邊、上的切點(diǎn)，且點(diǎn)、分別關(guān)于邊、的調(diào)和共軛點(diǎn)均為此時(shí)，點(diǎn)的極線為，注意到性質(zhì)4與5，點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)為上一定點(diǎn)又由性質(zhì)4與5知點(diǎn)關(guān)于的調(diào)和共軛點(diǎn)，也為點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于弦的調(diào)和共軛點(diǎn)，從而與重合，重合于邊、的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)下面，給出應(yīng)用上述性質(zhì)處理問題的例子例l（1999年全國(guó)高中聯(lián)賽題）如圖15-15，在四邊形中，對(duì)角線平分的中點(diǎn)，邊上取一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于求證：證明 設(shè)直線與直線交于點(diǎn)（或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），且分別與交于點(diǎn)，則在完全四邊形中，應(yīng)用

14、推論2，知、調(diào)和分割，、調(diào)和分割由平分，則由性質(zhì)3，知再由性質(zhì)3知例2（1998年全國(guó)高中聯(lián)賽題）如圖15-16，分別是的外心，內(nèi)心，是邊上的高，在線段（）上求證：的外接圓半徑等于邊3上的旁切圓半徑證明 設(shè)為外切于邊的旁切圓的圓心，聯(lián)結(jié)交于，交于，則為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，作于，則為的半徑由平行線性質(zhì)，有， （*）由推論9，有即有，從而而，故例3（2007年試題）如圖15-17，設(shè)，分別為的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與內(nèi)切圓邊、分別相切于點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)求證：證明 由性質(zhì)4，知、調(diào)和分割，又為中點(diǎn)，則有同理設(shè)、分別為的外接圓和內(nèi)切圓半徑，則，由圓冪定理，有，結(jié)

15、合、兩式，有，故例4（2008年國(guó)家隊(duì)選拔賽題）在中，它的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交內(nèi)切圓于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）在線段上取異于點(diǎn)的一點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)求證：證明 如圖15-18，設(shè)內(nèi)切圓切邊于，切邊于，直線與直線交于點(diǎn)，則由推論15知，過點(diǎn)的切線經(jīng)過點(diǎn)又由知聯(lián)結(jié)，則由性質(zhì)4知，、為調(diào)和線束，從而，由性質(zhì)2即知例5（2007國(guó)家隊(duì)選拔賽）已知是的弦，是弧的中點(diǎn)，是外任一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線、，聯(lián)結(jié)、分別交于點(diǎn)、，過點(diǎn)、作的垂線，分別交、于點(diǎn)、，再過點(diǎn)任作的割線，交于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)設(shè)是的外心求證：、三點(diǎn)共線證明 如圖15-19，聯(lián)結(jié)，則，從而，即有，亦即于是，以為圓心，以為半徑作，則與相切于點(diǎn)聯(lián)結(jié)、，則

16、知平分，平分聯(lián)結(jié)，則由推論10知，有又由切割線定理，有、表明點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于和的冪都相等，于是直線就是這兩個(gè)圓的根軸因此同理，故知、三點(diǎn)共線例6（由2005年國(guó)家隊(duì)培訓(xùn)題改編）在直線中，它的內(nèi)切圓分別切邊、于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)，過作內(nèi)切圓的切線與直線交于點(diǎn)聯(lián)結(jié)、，且求證：為的中點(diǎn)證明 如圖15-20，聯(lián)結(jié)，則為等腰直角三角形，于是，注意到，則知又，則，有聯(lián)結(jié)，由，知，于是由即有 注意到及式，知，由此知為等腰三角從而，于是聯(lián)結(jié)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，即知設(shè)直線交于，則由推論15知點(diǎn)在直線上，又由性質(zhì)5知，點(diǎn)、調(diào)和分割弦，則、為調(diào)和線束，注意到，則由性質(zhì)2知為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)例7（2008年蒙古國(guó)

17、家隊(duì)選拔考試題）已知四邊形內(nèi)接于以為直徑的圓為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，直線與，與分別交于點(diǎn)、證明：證明 如圖15-21設(shè)與交于點(diǎn)由于，四點(diǎn)共圓，則，即知平分又為直徑，則即知平分的外角因此，；為調(diào)和點(diǎn)列進(jìn)而，為調(diào)和線束由于，則，故例8（2007年第38屆奧地利數(shù)學(xué)奧林匹克題）已知的外心為，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線與關(guān)于對(duì)稱，直線與關(guān)于對(duì)稱，與變于點(diǎn)若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的軌跡解如圖15-22，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與的第二個(gè)交點(diǎn)為，則于是，分別是的角平分線，外角平分線，所以，是調(diào)和點(diǎn)列類似地，與的交點(diǎn)若為，則，也是調(diào)和點(diǎn)列因此由于是延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，故的軌跡為線段內(nèi)部的點(diǎn)例9 設(shè)的內(nèi)切圓分別

18、與邊，切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的外接圓與的交點(diǎn)，與交于點(diǎn)即證明 如圖15-23，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)對(duì)及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有于是，（*）注意到，；，為調(diào)和點(diǎn)列，知，；，調(diào)和線束，由調(diào)和線束的性質(zhì)知，；，為調(diào)和點(diǎn)列，即有再結(jié)合(*)式，可得原問題等價(jià)于為的中點(diǎn)由，知，四點(diǎn)共圓，從而，又，則對(duì)、應(yīng)用正弦定理，有 （*）再注意到四邊形為調(diào)和四邊形，則，亦即，將其代入（*）式知，即為的中點(diǎn)故原問題獲證練習(xí)十五1（1996年全國(guó)高中聯(lián)賽題）圓與圓與的三邊所在的三條直線都相切，、為切點(diǎn)，并且、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)求證：直線與垂直2（2005年全國(guó)高中聯(lián)賽題）在中，設(shè)過點(diǎn)作的外接圓的切線又以為圓心，為

19、半徑作圓分別交線段于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)、證明：直線、分別通過的內(nèi)心與一個(gè)旁心3（1990年中國(guó)國(guó)家隊(duì)集訓(xùn)題）已知和外離，兩條公切線分別切與、，切于、，弦、分別交直線于、，過、分別交、于、求證：4（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題791號(hào)）在中，是斜邊上的高，是的中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)求證：5（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題766號(hào)）凸四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，兩組對(duì)邊所在直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，另過點(diǎn)的直線交對(duì)邊、于點(diǎn)求證：6（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題651號(hào)）在凸四邊形中，邊，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，邊、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)若于求證：7（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題561號(hào)）為內(nèi)一點(diǎn)，使，是線段上的點(diǎn)，直線分別交邊，于，求證：8（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題481號(hào)）已知的內(nèi)切圓在，上的切點(diǎn)分別為，且，為垂足求證：平分9（數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)問題506號(hào)）已知、，為銳角的三條高，過作的