大學(xué)物理量子物理4課件

1、重點薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)：一維無限深方勢阱和一維線性諧振子16.8 薛定諤方程 薛定諤（Erwin Schrodinger，18871961）奧地利理論物理學(xué)家。在德布羅意物質(zhì)波思想的基礎(chǔ)上，引入波函數(shù)來描述微觀客體，提出以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動力學(xué)，并建立了微擾的量子理論量子力學(xué)的近似方法。他是量子力學(xué)的創(chuàng)始人之一。薛定諤方程的引入 （1）含有對時間的一階偏導(dǎo)數(shù)，且要求波函數(shù)是復(fù)數(shù)； （2）由態(tài)疊加原理，該方程為線性方程； （3）這個方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)參量。（一）描述自由粒子的波函數(shù)是單色平面波運動方程的解為求一階偏導(dǎo)數(shù)得E 用非狀態(tài)參量代替，由非相對論情況得則說明：即可

2、以看出：作如下變換即作用到波函數(shù)上（二）處于勢場中的非自由粒子它的總能量為作如下變換則得令得哈密頓算符勢場中粒子的波動方程薛定諤方程（三）多粒子多粒子體系薛定諤方程定態(tài)，不含時間的薛定諤方程令方程解的形式為代入薛定諤方程式得所以若要等式成立，兩邊應(yīng)為同一常數(shù) E，即積分得所以方程右邊即 當(dāng) V 不顯含時間 t 時，能量具有確定值，能量不隨時間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)。上述方程即為定態(tài)薛定諤方程： 定態(tài)波函數(shù)描述的粒子： （1）空間各處的幾率密度不會隨時間變化； （2）一切力學(xué)量（不顯含 t ）的平均值也不會改變。16.9 薛定諤方程的應(yīng)用一維無限深方勢阱勢能分布為由定態(tài)薛定諤方程

3、令則通解為 即在 xa， x0 的區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率為零。令則通解為根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，有代入得即（一）能量量子化（能級）（1）基態(tài)和激發(fā)態(tài)（2）例：所以，當(dāng) n 1，則當(dāng) n 時，量子經(jīng)典。 （3）“靜止的波”無意義粒子的波動性（二）正交歸一化波函數(shù)即所以得（三）幾率密度能量為 E 的粒子在勢阱中的幾率密度為（1）一維無限深勢阱的粒子波函數(shù)（2）一維無限深勢阱的粒子位置幾率密度分布 例 射在一維無限深勢阱中，運動粒子的狀態(tài)用描述，求粒子能量的可能值及相應(yīng)的幾率。 解：一維無限深勢阱的本征波函數(shù)為相應(yīng)的本征能量值為將狀態(tài)波函數(shù)用本征波函數(shù)展開得 所以粒子處于狀態(tài) n =1，3 本征態(tài)上的幾率均為能量的可能值為一維線性諧振子，宇稱 線性諧振子（如分子振動、晶格振動、原子表面振動等）： 取平衡位置為勢能零點，線性諧振子的勢能為定態(tài)薛定諤方程為為簡單起見，引入無量綱參量代替 x：則分析：當(dāng) x 即 時，方程近似表達為在 時，波函數(shù)的漸近行為是 無限深勢阱本征態(tài)為束縛態(tài)，+號不合理，應(yīng)舍去。令方程的一般解為代入方程得 此方程用級數(shù)法求解，為使是束縛態(tài)，必須為奇數(shù)，即（一）能量量子化由得（1）能量量子化（2）基態(tài)能（二）本征波函數(shù)當(dāng)可求出相應(yīng)方程的解歸一化本征波函數(shù)為偶函