高考隨機(jī)變量及其分布公式

1、第二十一輯隨機(jī)變量及其分布一，離散型隨機(jī)變量1，試驗：凡是對現(xiàn)象的觀察或為此而進(jìn)行的實驗，都稱之為試驗。（2，隨機(jī)試驗：一個試驗如果滿足（1）試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果，那么，這個試驗就叫做隨機(jī)試驗。3，隨機(jī)變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X,Y,表示。例如拋篩子、擲硬幣4，離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量二，離散型隨機(jī)變量的分布列要掌握一個離散型隨機(jī)變量X的取值

2、規(guī)律，必須知道：1，X所有可能取的值x,x,x；12n2，X取每一個值x的概率p,p,pi12n列表：Xx1x2xixnPp1p2pipn1，兩點分布XP1pp我們稱這個表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列。3，離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)：（1）p0,iN*；（2）pppp1i123n三，兩點分布與超幾何分布01若隨機(jī)變量X的分布列為則稱X的分布列為兩點分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布，并稱pP(x1)為成功概率2，超幾何分布：一般的，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(xk)CkCnkMNM

3、CnN,（k0,1,2,m），其中mminM,n且nN,MN,n,M,NN*，稱X01.mPC0Cn0MNMC1Cn1MNMCmCnmMNMCnNCnNCnN為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布四，獨立重復(fù)試驗與二項分布1，獨立重復(fù)試驗：一般的，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗。2，獨立重復(fù)試驗事件A恰有k次發(fā)生的概率：一般的，如果在1次實驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)Ckpk(1p)nk，（k0,1,2,n）nn3，二項分布：一般的，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X

4、，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為：P(Xk)Ckpk(1p)nk，（k0,1,2,n）n此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作XB(n,p)，并稱p為成功概率五，離散型隨機(jī)變量的均值1，一般的，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱：E(x)xpxpxpxp為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的1122iinn平均水平。2，均值的性質(zhì)：若YaXb，其中a,b是常數(shù)（X是隨機(jī)變量），則Y也是隨機(jī)變量，且有E(aXb)aE(x)b3，常用分布的均值（1）兩點分布：E(x)1p0(1p)p（2）二項

5、分布：E(x)np（3）超幾何分布：E(x)nMN六，離散型隨機(jī)變量的方差1，離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則(xE(X)2描述了x(i1,2,3,n)相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X)(xE(X)2p為這些偏離3，超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，即XH(N,M,n)，則D(X)nMniiiii1程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(x)的平均偏離程度，我們稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，其算數(shù)平方根D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作X。隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反應(yīng)的隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差

6、越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小。2，方差的性質(zhì)a,b是常數(shù)時，隨機(jī)變量函數(shù)ab的方差D()D(ab)a2D()（1）當(dāng)a0時，D(b)0，即常數(shù)的方差等于0；（2）當(dāng)a1時，D(b)D()，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機(jī)變量的方差本身；（3）當(dāng)b0時，D(a)a2D()，即隨機(jī)變量與常數(shù)之積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機(jī)變量方差的積七，常用分布的方差：1，兩點分布：若X服從兩點分布，則D(X)p(1p)2，二項分布：若XB(n,p)，則D(X)np(1p)MNn(1)NNN1八，正態(tài)分布1，正態(tài)曲線2e函數(shù),(x)1(x)222，xR的圖像（其中實數(shù)和為參數(shù)）稱為正態(tài)分

7、布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線隨機(jī)變量X落在區(qū)間a,b的概率為P(axb)ba形的面積，就是X落在區(qū)間a,b的概率的近似值，如圖：2，正態(tài)分布,(x)dx，即由正態(tài)曲線，xa,xb及x軸所圍成的平面圖yOabx一般的，如果對于任何實數(shù)ab，隨機(jī)變量X滿足P(axb)ba,(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布。正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作N(,2)，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記作XN(,2)3，正態(tài)曲線的性質(zhì)2y12e正態(tài)曲線,(x)1(x)222，xR有以下性質(zhì)：02；（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；（3）曲線在x處達(dá)到峰值1Ox（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散4，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)