數(shù)字信號(hào)處理第2章-課件

1、第2章 離散傅里葉變換 2.1 引言 2.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）2.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 2.4 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT） 2.5 離散傅里葉變換的性質(zhì) 2.6 頻域采樣理論 2.1 引 言 在第1章中討論了序列的傅里葉變換和Z變換。由于數(shù)字計(jì)算機(jī)只能計(jì)算有限長(zhǎng)離散序列，因此有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理中就顯得很重要， 當(dāng)然可以用Z變換和傅里葉變換來研究它， 但是，這兩種變換無法直接利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。針對(duì)序列“有限長(zhǎng)”這一特點(diǎn)，可以導(dǎo)出一種更有用的變換：離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， 簡(jiǎn)寫為DFT）。它本身也是有

2、限長(zhǎng)序列。 作為有限長(zhǎng)序列的一種傅里葉表示法，離散傅里葉變換除了在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速離散傅里葉變換，因而在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。 有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）本質(zhì)上是一樣的。為了討論離散傅里葉級(jí)數(shù)與離散傅里葉變換，我們首先來回顧并討論傅里葉變換的幾種可能形式，見圖2-1所示。 圖 2-1 各種形式的傅里葉變換 一個(gè)非周期實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(j)是一個(gè)連續(xù)的非周期函數(shù)，這一變換對(duì)的示意圖見圖2-1(a)。 該變換關(guān)系與第1章“連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣”中所涉及到的非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)

3、xa(t)的情況相同。 一個(gè)周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)xp(t)，其周期為Tp，該信號(hào)可展成傅里葉級(jí)數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 ，即xp(t)的傅里葉變換或頻譜Xp(jk)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)，xp(t)和Xp(jk)的示意圖見圖2-1(b)。其中，離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔為=2F=2/Tp，k為譜諧波序號(hào)。 在第1章里討論了一個(gè)非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)經(jīng)過等間隔采樣的信號(hào)（x(nT)），即離散時(shí)間信號(hào)序列x(n)，其傅里葉變換X(ej)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，振幅特性如圖2-1(c)所示。 這里的是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為=T。若振幅特性的頻率軸用表示

4、，則周期為s=2/T。 比較圖2-1(a)、（b）和(c)可發(fā)現(xiàn)有以下規(guī)律：如果信號(hào)頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時(shí)間函數(shù)。相反，在時(shí)域上是離散的， 則該信號(hào)在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。不難設(shè)想，一個(gè)離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜， 其振幅特性如圖2-1(d)所示。表2-1 四種傅里葉變換形式的歸納 時(shí)間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)和非周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和周期 非周期和離散 離散和非周期 周期和連續(xù) 散和周期 周期和離散 可以得出一般的規(guī)律：一個(gè)域的離散對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的周期延拓， 一個(gè)域的連續(xù)必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的非周期。表2-1對(duì)這四種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡(jiǎn)要?dú)w納。 下面我們

5、先從周期性序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)開始討論，然后討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換。 2.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS) 設(shè) 是一個(gè)周期為N的周期序列， 即 r為任意整數(shù) 周期序列不是絕對(duì)可和的，所以不能用Z變換表示，因?yàn)樵谌魏蝯值下，其Z變換都不收斂，也就是 但是，正如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示一樣， 周期序列也可以用離散傅里葉級(jí)數(shù)來表示，該級(jí)數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列 的基頻（2/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序列ek(n)的形式為 （2-1） 式中, k, r為整數(shù)。 由式（2-1）可見，復(fù)指數(shù)序列e

6、k(n)對(duì)k呈現(xiàn)周期性，周期也為N。也就是說, 離散傅里葉級(jí)數(shù)的諧波成分只有N個(gè)獨(dú)立量，這是和連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)的不同之處（后者有無窮多個(gè)諧波成分），因而對(duì)離散傅里葉級(jí)數(shù)，只能取k=0 到N-1的N個(gè)獨(dú)立諧波分量， 不然就會(huì)產(chǎn)生二義性。因而 可展成如下的離散傅里葉級(jí)數(shù)，即 （2-2） 式中，求和號(hào)前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)， 是k次諧波的系數(shù)。 下面我們來求解系數(shù) ，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即 r=mN, m為整數(shù) 其他r （2-3） 將式（2-2）兩端同乘以 ，然后從n=0 到N-1的一個(gè)周期內(nèi)求和，則得到 把r換成k可得 （2-4） 這就是求k=0 到N-1的N個(gè)諧波系數(shù)的

7、公式。同時(shí)看出 也是一個(gè)以N為周期的周期序列，即 這和離散傅里葉級(jí)數(shù)只有N個(gè)不同的系數(shù) 的說法是一致的?？梢钥闯?，時(shí)域周期序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即其系數(shù) 也是一個(gè)周期序列。因而 與 是頻域與時(shí)域的一個(gè)周期序列對(duì)， 式（2-2）與式（2-4）一起可看作是一對(duì)相互表達(dá)周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）對(duì)。 為了表示方便，常常利用復(fù)數(shù)量WN來寫這兩個(gè)式子。WN定義為 （2-5） 使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示為:（2-6） （2-7） 式中，DFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。 從上面看出，只要知道周期序列一個(gè)周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。 所

8、以，這種無限長(zhǎng)序列實(shí)際上只有一個(gè)周期中的N個(gè)序列值有信息。 因而周期序列和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。 例2-1 設(shè) 為周期脈沖串（2-8） 因?yàn)閷?duì)于0nN-1，, 所以利用式（2-6）求出 的DFS系數(shù)為 （2-9） 在這種情況下，對(duì)于所有的k值 均相同。于是，將式（2-9）代入式（2-7）可以得出表示式 （2-10） 例2-2 已知周期序列 如圖2-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 。 圖2-2 例2-2的周期序列 （周期N=10） 由式（2-6） （2-11） 這一有限求和有閉合形式 （2-12） 圖 2-3 圖2-2所示序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的幅值 式（2-6）中的周期

9、序列 可看成是對(duì) 的第一個(gè)周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2/N采樣而得到的。令 0nN-1 其他n 通常稱x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為 （2-13） 把式（2-13）與式（2-6）比較可知 （2-14） 可以看出，當(dāng)0kN-1 時(shí)， 是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化。 圖2-4畫出了這些特點(diǎn)。 由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為的一個(gè)周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 因?yàn)?（2-15） 比較式（2-15）和式（2-6），可以看出 這相當(dāng)于以2/N的頻率

10、間隔對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。 （2-16） 例2-3 為了舉例說明傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 和周期信號(hào) 的一個(gè)周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們?cè)俅窝芯繄D2-2所示的序列 。 在序列 的一個(gè)周期中： 0n4 其他 （2-17） 則 的一個(gè)周期的傅里葉變換是 （2-18） 可以證明，若將=2k/10 代入式（2-18）， 即 圖 2-5 對(duì)圖2-2所示序列的一個(gè)周期作傅里葉變換的幅值 圖 2-6 圖2-3和圖2-5的重疊圖，它表明一個(gè)周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣 2.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì) 由于可以用采樣變換來解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與變換性質(zhì)非常相似。但是，由于 和

11、兩者都具有周期性， 這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時(shí)域和頻域之間具有嚴(yán)格的對(duì)偶關(guān)系，這是序列的Z變換表示所不具有的。 設(shè) 和皆是周期為N的周期序列，們各自的DFS分別為： 2.3.1 線性 （2-19） 式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。這一性質(zhì)可由DFS定義直接證明，留給讀者自己去做。 2.3.2 序列的移位 （2-20） （2-21a） 或證 （2-21b） i=n+m 由于 都是以N為周期的周期函數(shù)， 故 由于 與 的對(duì)稱特點(diǎn)，可以用相似的方法證明式（2-21a）： 2.3.3 周期卷積 如果 則 或 證 代入 (2-22)得 將變量進(jìn)

12、行簡(jiǎn)單換元，即可得等價(jià)的表示式 式（2-22）是一個(gè)卷積公式， 但是它與非周期序列的線性卷積不同。 首先， 和（或 和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列; 其次，求和只在一個(gè)周期上進(jìn)行，即m=0到N-1，所以稱為周期卷積。 周期卷積的過程可以用圖2-7來說明，這是一個(gè)N=7 的周期卷積。每一個(gè)周期里 有一個(gè)寬度為4的矩形脈沖， 有一個(gè)寬度為3的矩形脈沖，圖中畫出了對(duì)應(yīng)于n=0, 1, 2 時(shí)的 。周期卷積過程中一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。運(yùn)算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行， 即在一個(gè)周期內(nèi)將與 逐點(diǎn)相乘后求和，先計(jì)算出n=0

13、, 1, , N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個(gè)周期序列 。 圖 2-7 兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積 圖 2-7 兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積 圖 2-7 兩個(gè)周期序列（N=7）的周期卷積 由于DFS和IDFS變換的對(duì)稱性，可以證明（請(qǐng)讀者自己證明）時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果 則 (2-23) 2.4 有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）2.4.1 DFT的定義 上一節(jié)我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義， 因而它和有限長(zhǎng)序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長(zhǎng)序列之間的關(guān)系， 由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有

14、限長(zhǎng)序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。 設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即 為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成: 這個(gè)關(guān)系可以用圖2-8來表明。通常把 的第一個(gè)周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成 (2-26) 用(n)N表示（n mod N），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”， 或稱“n對(duì)N取

15、模值”。 令 0n1N-1, m為整數(shù) 則n1為n對(duì)N的余數(shù)。 例如， 是周期為N=9的序列，則有： 利用前面的矩形序列RN(n)，式（2-24）可寫成 (2-27) 同理，頻域的周期序列 也可看成是對(duì)有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓，而有限長(zhǎng)序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: (2-28) (2-29) 我們?cè)倏幢磉_(dá)DFS與IDFS的式(2-6)和式(2-7)： 這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義: 0kN-1 0nN-1 （2-30） （2-31） x

16、(n)和X(k)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換對(duì)。我們稱式(2 - 30)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱式(2-31)為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能惟一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。 此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的。 換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。 例2-4 已知序列x(n)=(n)，求它的N點(diǎn)DFT。 解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到： k=0

17、, 1, , N-1 (n)的X(k)如圖2-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列(n)來說，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。 圖2-9 序列(n)及其離散傅里葉變換 例 2-5 已知x(n)=cos(n/6)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列， 求它的N點(diǎn)DFT。 解 由DFT的定義式（2-30） 利用復(fù)正弦序列的正交特性（2-3）式，再考慮到k的取值區(qū)間，可得 圖 2-10 有限長(zhǎng)序列及其DFT例 2-6 已知如下X(k):k=0 1k9 求其10點(diǎn)IDFT。 解 X(k)可以表示為 X(k)=1+2(k) 0k9 寫成這種形式后，就可以很容易確定離散傅里葉反變換。

18、 由于一個(gè)單位脈沖序列的DFT為常數(shù)： 2.4.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N，對(duì)x(n)進(jìn)行Z變換 比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)z=W-kN時(shí) 即 （2-32） 表明 是Z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值，如圖2-11所示。此外， 由于序列的傅里葉變換X(ej)即是單位圓上的Z變換，根據(jù)式（2-32）， DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 （2-33） （2-34） 式（2-33）說明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N

19、點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為N=2/N， 這就是DFT的物理意義。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長(zhǎng)度N不同， 表示對(duì)X(ej)在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同， 所以DFT的變換結(jié)果也不同。 圖 2-11 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 例 2-7 有限長(zhǎng)序列x(n)為 0n4 其余n 求其N=5 點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)。 解 序列x(n)如圖2-12（a）所示。在確定DFT時(shí)，我們可以將x(n)看作是一個(gè)長(zhǎng)度N5的任意有限長(zhǎng)序列。首先我們以N=5 為周期將x(n)延拓成周期序列 ，如圖2-12（b）， 的DFS與x(n)的DFT相對(duì)應(yīng)。因?yàn)樵趫D2-12（ b）中的序列在區(qū)間0nN-

20、1 上為常數(shù)值，所以可以得出 k=0, N, 2N, 其他 也就是說，只有在k=0 和k=N 的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù) 值。這些DFS系數(shù)如圖2-12（c）所示。為了說明傅里葉級(jí)數(shù) 與x(n)的頻譜X(ej)間的關(guān)系，在圖2-12（c）中也畫出了傅里葉變換的幅值|X（ej)|。顯然， 就是X(ej)在頻率k=2k/N 處的樣本序列。按照式（2-29），x(n)的DFT對(duì)應(yīng)于取 的一個(gè)周期而得到的有限長(zhǎng)序列X(k)。這樣，x(n)的5點(diǎn)DFT如圖2-12（d）所示。 k=0, 1, 2, 3, 4 k=0 k=0, 1, 2, 3, 4 圖 2-12 DFT的舉例說明（a） 有限長(zhǎng)序列x(

21、n); （b） 由x(n)形成的周期N=5的周期序列; （c） 對(duì)應(yīng)于 的傅里葉級(jí)數(shù) 和x(n)的傅里葉變換的幅度特性|X(ej)|; （d） x(n)的DFT X(k) 圖 2-13 DFT的舉例說明（a） 有限長(zhǎng)序列x(n); （b） 由x(n)形成的周期N=10的周期序列 ; （c）DFT的幅值 同樣，一個(gè)常數(shù)的DFT是一個(gè)單位脈沖序列： X2(k)=DFTx2(n)=N(k) 所以 通過式（2-26）和式（2-27）聯(lián)系起來的有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列 之間的差別似乎很小，因?yàn)槔眠@兩個(gè)關(guān)系式可以直接從一個(gè)構(gòu)造出另一個(gè)。然而在研究DFT的性質(zhì)以及改變x(n)對(duì)X(k)的影響時(shí)，這種差

22、別是很重要的。 信號(hào)時(shí)域采樣理論實(shí)現(xiàn)了信號(hào)時(shí)域的離散化，使我們能用數(shù)字技術(shù)在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理。而離散傅里葉變換理論實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號(hào)的新途徑，從而推進(jìn)了信號(hào)的頻譜分析技術(shù)向更深更廣的領(lǐng)域發(fā)展。 2.5 離散傅里葉變換的性質(zhì) 本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT表示N點(diǎn)DFT，且設(shè): DFTx1(n)=X1(k)DFTx2(n)=X2(k)2.5.1 線性 式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 2.5.2 圓周移位 1.

23、定義 一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n) （2-37） 我們可以這樣來理解上式所表達(dá)的圓周移位的含義。首先，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列 ; 再將 加以移位： （2-38） 然后，再對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，這一過程可用圖2-14（a）、（b）、（c）、（d）來表達(dá)。 從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察 0nN-1 這一主值區(qū)間時(shí)，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí)， 與其相同

24、值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位， 就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖2-14（e）、（f）、(g)所示， 因而稱為圓周移位。若將x(n)向左圓周移位時(shí)，此圓是順時(shí)針旋轉(zhuǎn); 將x(n)向右圓周移位時(shí)，此圓是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。此外，如果圍繞圓周觀察幾圈， 那么看到的就是周期序列 。 圖 2-14 圓周移位過程示意圖 2. 時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即 則圓周移位后的DFT為 證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 再利用DFS和DFT關(guān)系 這表明，有限長(zhǎng)序列的圓周移位在離散頻

25、域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移 ，而對(duì)頻譜的幅度沒有影響。 3. 頻域圓周移位定理 對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)： 若 則 這就是調(diào)制特性。它說明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。 2.5.3 圓周卷積設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列（0nN-1），且有：若 則 一般稱式(2-41)所表示的運(yùn)算為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積。 下面先證明式(2-41)，再說明其計(jì)算方法。 證 這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列 和 作周期卷積后再取其主值序列。 先將Y(k)周期延拓，

26、即 根據(jù)DFS的周期卷積公式 由于0mN-1 為主值區(qū)間， ， 因此 將 式經(jīng)過簡(jiǎn)單換元，也可證明 卷積過程可以用圖2-15來表示。圓周卷積過程中，求和變量為m, n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反轉(zhuǎn)形成x2(-m)N，取主值序列則得到x2(-m)NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2(n-m)NRN(m)，當(dāng)n=0,1,2,N-1時(shí)，分別將x1(m)與x2(n-m)NRN(m)相乘，并在m=0 到N-1 區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。 可以看出,它和周期卷積過程是一樣的，只不過這里要取主值序列。特別要注意，兩個(gè)

27、長(zhǎng)度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號(hào)來表示。 圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。 N圖 2-15 圓周卷積過程示意圖 圖 2-15 圓周卷積過程示意圖 N或 NN 利用時(shí)域與頻域的對(duì)稱性，可以證明頻域圓周卷積定理（請(qǐng)讀者自己證明）： 若 x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則 即時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)DFT的圓周卷積再乘以1/N。 2.5.4 有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積 時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT）（見第3章）， 因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速

28、度可以大大加快。 但是實(shí)際問題大多總是要求解線性卷積。例如，信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積， 如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長(zhǎng)序列， 那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？下面就來討論這個(gè)問題。 設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0nN1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0nN2-1）。 （1）先看它們的線性卷積 x1(m)的非零區(qū)間為 0mN1-1 x2(n-m)的非零區(qū)間為 0n-mN2-1 (2-43)將兩個(gè)不等式相加，得到 0nN1+N2-2 在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=

29、0。所以y1(n)是N1+N2-1 點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷積的兩序列的長(zhǎng)度之和減1。例如，圖2-16 中，x1(n)為N1=4 的矩形序列（圖2-16（a），x2(n)為N2=5 的矩形序列（圖2-16（b），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8 點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（圖 2-16（c）。 （2）我們?cè)賮砜磝1(n)與x2(n)的圓周卷積。先假設(shè)進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時(shí)，圓周卷積才能代表線性卷積。 設(shè)y(n)=x1(n)x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，LmaxN1, N2，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。在這L個(gè)序列值中，x1(n)只有

30、前N1個(gè)是非零值，后L-N1個(gè)均為補(bǔ)充的零值。同樣， x2(n)只有前N2個(gè)是非零值，后L-N2個(gè)均為補(bǔ)充的零值。則 LL（2-44） 為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓 它們的周期卷積序列為 （2-45） 前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個(gè)非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在LN1+N2-1 時(shí)，才沒有交疊現(xiàn)象。這時(shí), 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個(gè)周期L內(nèi)，前N1+N2-1個(gè)序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-

31、(N1+N2-1)個(gè)點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。 圓周卷積正是周期卷積取主值序列 L因此 所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為 （2-47） 滿足此條件后就有 即 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 圖2-16（d）、（e）、（f）正反映了（2-46）式的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系。在圖2-16（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時(shí)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖2-16（e）、（f）中, L=8和L=10，這時(shí)圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點(diǎn)序列值正好代表線性卷積結(jié)果。 所以只要LN1+N2-1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷

32、積。 圖2-16 線性卷積與圓周卷積圖2-16 線性卷積與圓周卷積例 2-8 一個(gè)有限長(zhǎng)序列為 （1） 計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。 （2） 若序列y(n)的DFT為 式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。 （3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是 式中, X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT 0n6 其他 求序列y(n)。 解 （1） 由式（2-30）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT （2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)， 就有

33、y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) （3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。 x(n)與w(n)的線性卷積為z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2圓周卷積為 在 0n9 求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對(duì)n=0, 1, 2, , 9求和，得到： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n+10) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2

34、0 0 0 0 0 0 0 0 20 0y(n)3 3 1 1 1 3 3 2 2 2_ _所以10點(diǎn)圓周卷積為 y(n)=3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2 2.5.5 共軛對(duì)稱性 設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，則 DFTx*(n)=X*(-k)NRN(k)=X*(N-k)NRN(k) =X*(N-k) 0kN-1 且 X(N)=X(0) （2-48） 證 0kN-1 這里利用了 因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)。 用同樣的方法可以證明 也即 （2-49） 在第 1 章1.5.3節(jié)表1-3中列出了序列傅里葉變換的一些對(duì)稱性質(zhì)，且定義了共軛對(duì)稱序列與

35、共軛反對(duì)稱序列的概念。在那里， 對(duì)稱性是指關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)的對(duì)稱性。 DFT也有類似的對(duì)稱性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長(zhǎng)序列，且定義區(qū)間為 0 到N-1，所以，這里的對(duì)稱性是指關(guān)于N/2 點(diǎn)的對(duì)稱性。 設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)的長(zhǎng)度為N點(diǎn)，則它的圓周共軛對(duì)稱分量xep(n)和圓周共軛反對(duì)稱分量xop(n)分別定義為: （2-50） （2-51） 則兩者滿足: nN-1 nN-1 （2-52） （2-53） 如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對(duì)稱分量和奇對(duì)稱分量一樣， 任何有限長(zhǎng)序列x(n)都可以表示成其圓周共軛對(duì)稱分量xep(n)和圓周共軛反對(duì)稱分量xop(

36、n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 （2-54） 由式（2-50）及式（2-51），并利用式（2-48）及式（2-49） ， 可得圓周共軛對(duì)稱分量及圓周共軛反對(duì)稱分量的DFT分別為： DFTxep(n)=eX(k)DFTxop(n)=j Im X(k)(2-55)(2-56)證 利用式（2-49），可得 則式(2-55)得證。同理可證式（2-56）。 下面我們?cè)賮碛懻撔蛄袑?shí)部與虛部的DFT。 若用xr(n)及xi(n)分別表示有限長(zhǎng)序列x(n)的實(shí)部及虛部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (2-57) 式中： 則有： 式中，Xep(k)為X(k)的圓周共軛對(duì)

37、稱分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)為X(k)的圓周共軛反對(duì)稱分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。 證 利用式（2-48）， 有 這說明復(fù)序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的圓周共軛對(duì)稱分量。同理可證式（2-59）。式（2-59）說明復(fù)序列虛部乘以j的DFT等于序列DFT的圓周共軛反對(duì)稱分量。 此外，根據(jù)上述共軛對(duì)稱特性可以證明有限長(zhǎng)實(shí)序列DFT的共軛對(duì)稱特性。 若x(n)是實(shí)序列，這時(shí)x(n)=x*(n)，兩邊進(jìn)行離散傅里葉變換并利用式（2-48），有 X(k)=X*(N-k)NRN(k)=X*(N-k) (2-60)由上式可看出X(k)只有圓周共軛對(duì)稱分量。 若x(n)

38、是純虛序列，則顯然X(k)只有圓周共軛反對(duì)稱分量， 即滿足X(k)=-X*(N-k)NR(k)=-X*(N-k) 2.5.6 DFT形式下的帕塞伐定理 證 如果令y(n)=x(n)，則式（2-62）變成 即 這表明一個(gè)序列在時(shí)域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的。 最后我們?cè)诒?-2中列出了DFT的性質(zhì)，以供參考。 表 2-2 DFT性質(zhì)表(序列長(zhǎng)皆為點(diǎn)) 2.6 頻域采樣理論 首先，考慮一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，它的Z變換為 由于絕對(duì)可和，所以其傅里葉變換存在且連續(xù)，故Z變換收斂域包括單位圓。如果我們對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣： （2-64） 問題在于，這樣采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列x(n)。 也就是說，頻率采樣后從X(k)的反變換中所獲得的有限長(zhǎng)序列， 即xN(n)=IDFTX(k)，能不能代表原序列x(n)？為此，我們先來分析X(k)的周期延拓序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)的反變換， 令其為 。將式（2-64）代入此式，可得 由于 m=n+rN, r為任意整數(shù) 其他m 所以 （2-