線性代數(shù)復習指導

1、黃先開 輔導地位：歷屆考生公認的“線性代數(shù)第一人”，北京理工大學應(yīng)用數(shù)學系碩士，中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院獲博士，美國哈佛大學訪問學者，現(xiàn)任北京工商大學數(shù)學系主任、教授。授課特點：理論扎實，表達獨到，基礎(chǔ)為綱，技巧為器，言簡意賅，重點突出，伐毛洗髓，效果極佳名師風采：曾被評為北京市優(yōu)秀青年骨干教師；1997年被授予“有突出貢獻的部級青年專家”稱號；曾在國內(nèi)外一級刊物上發(fā)表論文30余篇，單獨完成以及合作完成數(shù)學專著10多部。加強計算能力訓練 注重綜合思維能力培養(yǎng)談考研線性代數(shù)復習考研數(shù)學名師黃先開眾所周知，教育部考試中心研究生入學考試命題的基本原則是：嚴格按照考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容與考試要求

2、命題，試題以考查基本概念、基本原理和基本方法為主，要加強對考生的運算能力、邏輯思維能力、空間想像能力和綜合應(yīng)用所學知識解決實際問題能力的考查. 根據(jù)這一命題原則并結(jié)合線性代數(shù)這門學科的特點，我認為考生在備考階段的復習，一方面要重視“三基”，通過全面系統(tǒng)的復習，扎扎實實把基礎(chǔ)打好；另一方面要注重能力的培養(yǎng)，特別是計算能力和綜合思維能力的培養(yǎng).基礎(chǔ)的重要性是不言而喻的，沒有基礎(chǔ)，其他方面都無從談起，但較好地把握了基礎(chǔ)后，想要進一步有所提高，就必須注重能力的訓練了.線性代數(shù)這門課的特點主要有兩個：一是試題的計算量偏大，無論是行列式、矩陣、線性方程組的求解，還是特征值、特征向量和二次型的討論都涉及到大

3、量的數(shù)值運算，稍有不慎，即會出錯；二是前后內(nèi)容緊密相連，縱橫交織，既相對獨立又密不可分，形成了一個完整、獨特的知識體系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面談?wù)勗趶土曔^程中應(yīng)注意的一些問題. 一、加強計算能力訓練，切實提高計算的準確性相當一部分同學在復習做題過程中會有這樣的體會：對問題所涉及的概念、原理都很清楚，計算方法也知道，但就是無法算出正確答案來，或是計算有誤，或是根本無法演算下去，造成不應(yīng)有的丟分. 例1 (2003年數(shù)學三)已知齊次線性方程組其中試討論滿足何種關(guān)系時,(1)方程組僅有零解； (2)方程組有非零解，在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.分析 本題思路方

4、法比較直接：當系數(shù)矩陣的行列式不為零時，僅有零解；當系數(shù)矩陣的行列式等于零時，有非零解.但涉及到行列式的計算、初等變換化矩陣為階梯形以及求基礎(chǔ)解系等大量的計算問題，特別是含有多個參數(shù)，進一步增加了計算的難度. 解 方程組的系數(shù)行列式(1)當；(2)當b=0時，原方程組的同解方程組為由可知ai(i=1,2,n)不全為零，不妨設(shè).因為秩r(A)=1，取為自由未知量，可得方程組基礎(chǔ)解系為，當,系數(shù)矩陣可化為 由于秩r(A)=n1，易知Ax=0的基礎(chǔ)解系為評注1 本題行列式的計算方法很多，例如，系數(shù)矩陣可表示為而r(B)=1,可方便地求出B的特征值為0,0,0，于是的特征值為從而根據(jù)特征值可求出行列式

5、為 評注2 當時，注意到系數(shù)矩陣A的秩為r(A)=n-1,而顯然為Ax=0的一個解，即可作為基礎(chǔ)解系.例2 （2003年數(shù)學一）設(shè)矩陣 的特征值與特征向量,其中A*為A的伴隨矩陣,E為3階單位矩陣.分析 本題是基礎(chǔ)題型，思路非常明確：先求A*及，然后計算B=P-1A*P及B+2E，最后求B+2E的特征值、特征向量，但計算量大，稍有疏忽，將很難得到最終的正確結(jié)果.解 由又由可得于是 根據(jù)可知B+2E的特征值為解 9E-（B+2E） x =0,得基礎(chǔ)解系為因此屬于的所有特征向量為是不全為零的任意常數(shù).解3E（B+2E） x =0,得基礎(chǔ)解系為 為非零的任意常數(shù).評注 本題直接計算，工作量是相當大的

6、.若由定義A =,有若求出A的特征值及對應(yīng)特征向量, 則B+2E的特征值為及對應(yīng)特征向量P-1這樣就不必求A*. 且根據(jù)的特征值為0,0,6，從而A的特征值為1,1,7.二、擴展公式結(jié)論蘊涵，努力探索靈活解題途徑線性代數(shù)概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式與結(jié)論，往往可以達到簡化計算的目的.例如有關(guān)A*的公式結(jié)論有：AA*= A*A=|A|E，由此還可推出一系列相關(guān)的公式： (2)若A可逆，則A *=| A | A -1, (A*)-1(3) (4) (5) 若A可逆，且為A的特征值，則A*有一個特征值為.例3 （2000年數(shù)學一）設(shè)矩陣A的伴隨矩陣，且ABA-1=BA-1+3E，其中

7、E是4階單位矩陣，求矩陣B.分析 本題相當于解矩陣方程.若先從A*求出A-1及A，再代入已知關(guān)系式求B，則計算量會相當大.考慮到題設(shè)與A*有關(guān)，若先用A*A=AA*=|A|E化簡，則方便得多.解 由ABA-1=BA-1+3E先右乘A，得 AB=B+3A,再左乘A*，并利用A*A=|A|E，得A*AB=A*B+3A*A,即 |A|B= A *B+3| A |E. 再由|A*|=|A|4-1=|A|3,得 |A|3=8,即 |A|=2.于是有2B=A*B+6E, (2E-A*)B=6E. 故 評注 題設(shè)與A*有關(guān)時，一般均可考慮利用AA*=A*A=|A|E及其相關(guān)公式，結(jié)論先化簡、再計算.例4 （

8、2003年數(shù)學四）設(shè)矩陣可逆，向量是矩陣A*的一個特征向量，是a對應(yīng)的特征值，其中A*是A的伴隨矩陣，試求的值.分析 題設(shè)與A*有關(guān)，先用A A *= A * A =|A|E化簡.解 已知A * =，利用A A *=|A|E，有 | A |=，因為A可逆，知 即 解此方程組得a=2, b=1或2.又，由式可知：當b=1時=1; 當b=2時=4.又如，有關(guān)特征值與相似矩陣的重要公式和結(jié)論有：（1）設(shè)1，2，n為n階方陣A的n個特征值，則f(1),f(n)為f(A)的n個特征值，其中f(A)為A的多項式.且(2) 若r(A)=1，則A的特征值為1=2=n-1=0,n=a11+a22+ann.(3)

9、 若A B，則|A|=| B|，r(A)=r(B)，特征多項式相同：|E- A |=|E-B|,，從而特征值相同，進而有a11+a22+ann=b11+b22+bnn.例5 （2000年數(shù)學三）若4階方陣A與B相似，矩陣A的特征值為，則行列式|B-1-E|= .分析 利用相似矩陣有相同的特征值的結(jié)論及通過特征值求行列式的結(jié)論即可.解 由AB，知B的特征值是，于是B-1的特征值是2,3,4,5,從而B-1-E的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B-1-E|=1234=24.例6 （2001年數(shù)學一、三）設(shè)則A與B(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同

10、且不相似.分析 本題的關(guān)鍵知識點是：兩個實對稱矩陣若相似，則必合同.又r(A)=1，其特征值為顯然A、B為實對稱矩陣，且AB，于是A與B也合同.故應(yīng)選（A）.評注 當A、B為實對稱矩陣時，若AB，則A、B有相同的特征值xTAx與xTBx有相同的正負慣性指數(shù)A與B合同.但若A、B為非對稱矩陣，則A與B不合同（合同矩陣必為對稱矩陣）.例7（2007年數(shù)學一至四） 設(shè)矩陣, ,則A與B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 解 由 得A的特征值為0, 3, 3, 而B的特征值為0, 1, 1，從而A與B不相似. 又r(A)=r

11、(B)=2, 且A、B有相同的正慣性指數(shù), 因此A與B合同. 故選(A) .評注1)若A與B相似, 則| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A與B有相同的特征值.2)若A、B為實對稱矩陣, 則 A與B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正慣性指數(shù). 三、注重前后知識聯(lián)系，努力培養(yǎng)綜合思維能力線性代數(shù)不僅概念多，公式結(jié)論多，而且前后知識聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，幾乎從任何一個知識點都可切入將前后知識聯(lián)系起來考查.例如：行列式|A|=0矩陣A不可逆秩r(A)nA的行（列）向量組線性相關(guān)Ax=0有非零解=0是矩陣A的特征值可由1，2,，n惟一線性表示=x1a1

12、+x22+xnnAx=有惟一解x=(x1,x2,xn)T, A=(1, 2, n)r(A)=r(A)=n|A|0Ax=0只有零解=0不是A的特征值A(chǔ)B=0A(b1,b2, bs)=0, B=( b1, b2, bs)Abj=0, j=1,2,sb1,b2,bs均為Ax=0的解(r(A)+r(B)n)若bj0且A為n階方陣時，bj為對應(yīng)特征值j=0的特征向量AB=CA(b1, b2, br)=(C1, C2, Cr)Abj=Cj,j=1,2,rbj為Ax=Cj的解.C1, C2, Cr可由A的列向量組1, 2, s線性表示.r(C)=r(AB)r(A)或r(B).例8 （2003年數(shù)學一）設(shè)向量

13、組I: 1, 2, r可由向量組II：1,2,s線性表示，則(A) 當rs時，向量組II必線性相關(guān).(C) 當rs時，向量組I必線性相關(guān).分析 本題可由定理“若1, 2, s可由1, 2, t線性表出，且st，則1, 2, s線性相關(guān)”，直接得正確選項(D).若不熟悉上述定理，可由反例通過排除法找到正確選項.也可根據(jù)上述結(jié)論用秩來判定：由題設(shè)，存在sr矩陣P，使(1, 2, r)=( 1, 2, s)Psr,則r(1, 2, r)=r( 1, s)Pr(1, s)s.當rs時，有r(1, 2, r)sr，此時1, 2, r必線性相關(guān).例9 （2002年數(shù)學一、二）已知4階方陣A=1, 2, 3

14、, 4), 1, 2, 3, 4均為4維列向量，其中2，3，4線性無關(guān)，1=22-3，如果=1+2+3+4,求線性方程組Ax=的通解.分析 本題可將A=(1, 2, 3, 4),=1+2+3+4及x=代入Ax=，找出具體的方程，再按通常方法求解.也可由=1+2+3+4即可由1, 2, 3, 4線性表示，相當于已知為Ax=的特解，及1-22+3+04=0與2, 3, 4線性無關(guān)知為Ax=0的基礎(chǔ)解系.再根據(jù)解的結(jié)構(gòu)理論知Ax=的通解為，k為任意常數(shù).評注 Ax=的解與可由A的列向量組線性表示之間可相互轉(zhuǎn)換.例10 已知3階矩陣A與三維向量x，使得向量組x, Ax, A2x線性無關(guān)，且滿足A3x=

15、3Ax-2A2x.(1) 記P=(x, Ax, A2x)，求3階矩陣B，使A=PBP-1；(2) 計算行列式|A+E|.分析 A=PBP-1AP=PBP-1AP=B.本題(1) 有多種方法求解：設(shè)法求出A的特征值、特征向量；將B的每個元素作為未知量直接代入等式求解等等.但根據(jù)結(jié)論，由已知一組關(guān)系式：Ax=Ax,A2x=A2x,及A3x=3Ax-2A2x合并起來有(Ax,A2x,A3x)=( A x,A2x,3 A x-2A2x), 即 A(x, Ax, A2x)=(x, A x,A2x), 也即AP=P，可方便地求得B=.至于行列式的計算可用特征值(A、B有相同特征值)或相似矩陣計算即可(AB

16、A+EB+E). 評注 從本題可見，矩陣運算AB=C與關(guān)系式Abj=Cj之間的轉(zhuǎn)換可化為線性方程組的解、矩陣的相似與對角化，進而還可利用特征值、相似矩陣求行列式等等.四、加強綜合題型訓練，全面系統(tǒng)地掌握好知識計算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不斷歸納總結(jié)一些重要公式和結(jié)論并加以巧妙、適當?shù)膽?yīng)用外，還要靠平時的積累，要養(yǎng)成踏踏實實、有始有終將最后結(jié)果計算出來的習慣，只要持之以恒、堅持練習，計算準確性的提高并不是一件困難的事. 而對整個知識的融會貫通、綜合應(yīng)用也有賴于適當?shù)囟嘧鲞@方面的練習，下面介紹幾個綜合性較強的例題. 例11 設(shè)A、B為三階相似非零實矩陣，矩陣A=(aij)33滿足aij=

17、Aij (i,j=1,2,3),Aij為aij的代數(shù)余子式，矩陣B滿足|E+2B|=|E+3B|=0,計算行列式|A*B-A*+B-E|.分析 由 |A*B-A*+B-E|= |A*(B-E)+(B-E)|= |(A*+E)(B-E)|= |A*+E|B-E|， 知，只需計算|A*+E|及|B-E|. 若能求出A或B的所有特征值，則問題即可解決.解 由aij=Aij知，AT=A*，于是 AAT=AA*=|A|E，從而|A|2=|AAT|=|A|E|=|A|3，即 |A|2(1-|A|)=0. 于是|A|=0或|A|=1.又A0，不妨設(shè)a110,由 |A|=a11A11+a12A12+a13A1

18、3=, 知 |A|=1.由 |E+2B|=|E+3B|=0, 知 為B的兩個特征值.因為AB，所以也為A的兩個特征值. 設(shè)為A、B的另一特征值，根據(jù)1=|A|=，得 .又 |A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|B-E|=|AT+E|B-E|.因為 |AT+E|=|(A+E)T|=|A+E| =(+1)(+1) (+1) =,|B-E|=(-1)(-1) (-1)=,故 |A*B-A*+B-E|=.評注 本題綜合考查了矩陣運算、行列式按行(列)展開定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多個知識點.例12 設(shè)A、B為mn矩陣，則Ax=0與Bx=0同解的充要條件是(A)

19、 A、B為等價矩陣. (B) ATx=0與BTx=0同解.(C) A、B的行向量組等價. (D) A、B的列向量組等價.分析 可用反例通過排除法得到正確選項. 對于(A)，相當于r(A)=r(B)，顯然只是必要而非充分條件；對于(B)，例如A=，B=，顯然Ax=0與Bx=0同解，但ATx=0與BTx=0并不同解，排除(B)；對于(C)、(D)，考慮A=，B=，顯然A、B的列向量組等價，但Ax=0與Bx=0不同解，排除(D)，故應(yīng)選(C).評注 本題綜合考查了矩陣等價、向量組等價與齊次方程組同解等多個知識點.對于(C)成立，也可這樣證明：若Ax=0與Bx=0同解，考慮 (I) Ax=0， (II

20、)， (III)Bx=0.則易知(I)、(II)、(III)同解，從而有r(A)=r=r(B)，由此可推導出A、B的行向量組等價.反過來，若A、B的行向量組等價，令=， B=，即列向量組與等價，于是存在矩陣P、Q，使()= ()P， ()=()Q，即A=PTB, B=QTA.從而由Ax=0有Bx=QTAx=0；反過來，由Bx=0，有Ax=PTBx=0，即Ax=0與Bx=0同解.例13 設(shè)A為三階矩陣，是A的三個不同特征值，對應(yīng)特征向量為，令.(1)證明線性無關(guān)；(2)若，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|.分析 證明一組向量線性無關(guān)一般用定義法，而求秩r(A-E)及行列式|A+2E|，由于不

21、知道A的具體形式，無法直接計算，可考慮先求出A的相似矩陣，再根據(jù)相似矩陣有相同的秩及行列式求解即可.解 (1)設(shè)， 由題設(shè)，于是，代入整理得.因為是三個不同特征值對應(yīng)的特征向量，必線性無關(guān)，于是有 其系數(shù)行列式，必有，故線性無關(guān).(2)由有=，令P=，則P可逆，且P-1AP=B.即AB，于是A-EB-E，A+2EB+2E.從而有r(A-E)=r(B-E)=r=2, |A+2E|=|B+2E|=6.評注 本題綜合考查了行列式、矩陣的秩、線性無關(guān)、特征值與特征向量以及相似矩陣的性質(zhì)等多個重要知識點.例14 設(shè)隨機變量X的概率密度為 對X獨立地重復觀察6次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)， 又已知A=具有重特征值.(1)求A可對角化的概率；(2)當A可對角化時，求可逆矩陣P，使P-1AP為對角形矩陣.分析 Y服從二項分布B(6，p)，其中p=P，而判定A可對角化，應(yīng)先求出A的特征值，再根據(jù)特征值的重數(shù)與其線性無關(guān)特征向量的個數(shù)相等：n-r(E-A)=，將可對角化問題轉(zhuǎn)化為特征矩陣E-A的秩：r(E-A)=n-，由此確定Y的取值及其相應(yīng)概率.解 (1)由于P，于是YB. 若為重根，則22-82+10+Y=0，即Y=2. 此時A=，|E-A|=(-2)2(-6).特征值為.因為r(2E-A)=r=1，屬于特征值的線性無關(guān)特征向量個數(shù)為3-r(2E-A)=2，表明A可對角化.若為非重根，則有重