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1、1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)陳 琦1第1頁,共19頁。為什么同樣從室溫變化到100攝氏度,青蛙卻有 不同的反應(yīng)呢?2第2頁,共19頁。時間 x(年)200020022006人均GDP y(美元)85611002010這是我國的某年的人均收入:如何判斷我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況呢?3第3頁,共19頁。研究豐富多彩的變化率問題 平均變化率 瞬時變化率第4頁,共19頁。問題一:氣球膨脹率增加單位體積,半徑的改變量第5頁,共19頁。問題二:高臺跳水第6頁,共19頁。平均變化率第7頁,共19頁。 我們把這個式子稱為函數(shù) 從 到 的 平均變化率(average rate of change). 習(xí)慣上用 表示 ,即 ,類似
2、的 .于是,平均變化率可以表示為 .第8頁,共19頁。平均變化率的幾何意義 對任意函數(shù) ,做過其上任意兩點(diǎn)的割線.不妨以 為例. (幾何畫板演示)第9頁,共19頁。研究豐富多彩的變化率問題 平均變化率 瞬時變化率第10頁,共19頁。 求t=2s時的瞬時速度,先考察t=2附近的情況.在t=2附近任取一個時刻 .11第11頁,共19頁。取較小的 值代入計(jì)算第12頁,共19頁。 當(dāng) t 趨近于0時, 即無論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時, 平均速度都趨近與一個確定的值 13.1. 從物理的角度看, 時間間隔 |t |無限變小時, 平均速度就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度.
3、因此, 運(yùn)動員在 t = 2 時的瞬時速度是 13.1m/s.思考:1、任取某一時刻t0,其瞬時速度怎樣表示?2、函數(shù)f(x)在x0處的瞬時變化率怎樣表示?第13頁,共19頁。一般的,函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時變化率是稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作或 , 即 導(dǎo)數(shù)的定義:第14頁,共19頁。 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:(幾何畫板演示) 函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率 ,即第15頁,共19頁。 例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時, 原油的溫度(單位: )為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第2h和第6h, 原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義.解: 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得 在第2h和第6h時, 原油溫度的瞬時變化率分別為3和5. 它說明在第2h附近, 原油溫度大約以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 / h的速率上升.一差二比三極限第16頁,共19頁。解法一:一差二比三極限解法二:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義第17頁,共19頁。課堂小結(jié):平均變化率 從 到 的 平均變化率割線的斜率導(dǎo)數(shù) y = f (x) 在 x = x
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