(江蘇專用)2015屆高考數(shù)學(xué)考前三個(gè)月必考題型過(guò)關(guān)練第30練空間角的突破方略理

1、2 .cos ， Ca 2a12a 2word第 30 練 空間角的突破方略題型一 異面直線所成的角例 1 在棱長(zhǎng)為 a 的正方體 ABCDA1B1C1 D1 中，求異面直線 BA1 與 AC所成的角破題切入點(diǎn) 利用 BA1 C| BA1| |C| cos BA1， C， 求出向量 BA1與C的夾角 BA1， C，再根據(jù)異面直線 BA1， AC所成角的 X 圍確定異面直線所成角還可用幾何法或坐標(biāo)法解 方法一因?yàn)?BA1 ABB1， AC B C，所以 C( ) (B C) B C.BAABBA BCBB1 因?yàn)?AB BC， BB1 AB， BB1 BC，所以 C0， B0， 2BB1 BC0

2、， BA AB a .所以 C a2 . C| | |C| cos ， C，又BA1 所以 ， C 120.所以異面直線 BA1 與 AC所成的角為 60.方法二連結(jié) A1C1， BC1 ，則由條件可知 A1C1 AC，- 1 - / 15word從而 BA1 與 AC所成的角亦為 BA1 與 A1C1 所成的角，由于該幾何體為邊長(zhǎng)為 a 的正方體，于是 A1BC1 為正三角形， BA1C160，從而所求異面直線 BA1 與 AC所成的角為 60.方法三 由于該幾何體為正方體，所以 DA， DC， DD1 兩兩垂直且長(zhǎng)度均為 a，于是以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為 x， y， z 軸正方向建立空間

3、直角坐標(biāo)系，DA， DC，于是有 A( a, 0,0) ， C(0， a, 0)， A1( a, 0， a)， B( a， a, 0)，從而 AC( a， a, 0)， (0 ， a， a)，且| C| | | 2a， C a2，cos C， BA12 a 12a 2a 2， C， 120，所以所求異面直線 BA1 與 AC所成角為 60.題型二 直線與平面所成的角例 2 如圖，已知四棱錐 PABCD的底面為等腰梯形， ABCD， ACBD，垂足為 H， PH是四棱錐的高， E 為 AD的中點(diǎn)(1) 證明： PEBC；(2) 若 APB ADB60，求直線 PA與平面 PEH所成角的正弦值破題

4、切入點(diǎn) 平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面 PEH的法向量(1) 證明- 2 - / 15323 3 1 33 3 2 6可得 PE ， ， n ，2 231 m2， 2， 1 mword以 H為原點(diǎn)， HA， HB， HP所在直線分別為角坐標(biāo)系 ( 如圖 )，則 A(1,0,0) ， B(0,1,0) 設(shè) C( m,0,0) ， P(0,0 ， n) ( m0) ，則x， y， z 軸，線段 HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直D(0， m,0)，E 0 .2 2 C( m， 1,0) m m因?yàn)?PE BC 0 0，所以 PEBC.(

5、2) 解 由已知條件可得 m ， n 1，故 C ， 0， 0 ， D 0， ， 0 ， E ， ， 0 ，P(0,0,1) 設(shè) n ( x， y， z)為平面 PEH的法向量，則 n E0， x 6 y 0，1 3即 2n P0， z 0.因此可以取平面 PEH的一個(gè)法向量 n (1， 3， 0)又A(1,0 ， 1) ，所以 |cos A， n | 4 .所以直線 PA與平面 PEH所成角的正弦值為題型三 二面角24 .例 3 如圖，在五面體1 ABBCFE AD.2ABCDE， FA平面 ABCD，ADBCFE， ABAD， M為 EC的中點(diǎn)， AF- 3 - / 151 1u v 0

6、0 1 3| | E| 2 2 2 .于是M ， 1， word(1) 求異面直線 BF與 DE所成的角的大小；(2) 證明：平面 AM平面 CDE；(3) 求二面角 破題切入點(diǎn)(1) 解ACDE 的余弦值以點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 建立空間直角坐標(biāo)系， 點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)， 設(shè) AB1， 依題意得 B(1,0,0) ， C(1,1,0) ，D(0,2,0) ， E(0,1,1) ，F(xiàn)(0,0,1) ，1 12 2 .F( 1,0,1) ， E(0 ， 1,1) ，于是 cos F， BF DE 0 0 1 1DE 所以異面直線 BF與 DE所成的角的大小為 60.(2) 證

7、明 由M 2， 1， 2 ， E( 1,0,1) ， D(0,2,0) ，可得 EM0， E D0.因此， CEAM， CEAD. 又 AMADA，故 CE平面 AMD.而 CE? 平面 CDE，所以平面 AM平面 CDE.(3) 解 設(shè)平面 CDE的法向量為 u( x， y， z) ，則u E0， xz 0，u E0. y z 0.令 x 1 可得平面 CDE的一個(gè)法向量 u (1,1,1) 又由題設(shè)，平面 ACD的一個(gè)法向量為 v (0,0,1) 所以 cos u， v | u| v| 31 3 .3因?yàn)槎娼?A CDE為銳角，所以其余弦值為 .3總結(jié)提高 空間中各種角包括：異面直線所成

8、的角、直線與平面所成的角以及二面角- 4 - / 15word(1) 異面直線所成的角的 X 圍是 (0， 2 求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來(lái)求角(2) 直線與平面所成的角的 X 圍是 0， 求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直

9、線所成的一切角中的最小角，即若 為線面角， 為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有 .(3) 確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b如果頂點(diǎn)到底面各邊

10、距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心 ( 或旁心 )；c 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直， 那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；- 5 - / 15102word(4) 二面角的 X 圍是 (0 ， ，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn) ( 即斜足 ) ，斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一

11、點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角1 (2014 課標(biāo)全國(guó)改編的中點(diǎn)， BCCACC1，則30答案)直三棱柱 ABCA1B1C1 中， BCA90， M， N 分別是 A1B1， A1C1BM與 AN所成角的余弦值為 _解析 方法一 由于 BCA90，三棱柱為直三棱柱，且可將三棱柱補(bǔ)成正方體建立如圖 (1) 所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2，則可得 A(0,0,0) ， B(2,2,0) ， M(1,1,2)BCCACC1， N(0,1,2) ，M( 1， 1,2) ， N(0,1,2) cos M，1 3010 . BMAN|

12、142 21 2 ANAN|2 2 20 1 236 5方法二 如圖 (2) ，取 BC的中點(diǎn) D，連結(jié) MN，ND，AD，由于 MN綊 B1C1 綊 BD，因此有 ND綊 BM，12- 6 - / 15ND NAAD 30則| word則 ND與 NA所成的角即為異面直線 BM與 AN所成的角設(shè) BC2，則 BM ND 6， AN 5，2 2 2AD 5，因此 cos AND 2ND NA 10 .2在正方體答案63ABCDA1B1C1D1 中，直線 BC1 與平面 A1BD所成的角的正弦值是 _解析 建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，直線 BC1 與平面 A1BD所成的角為

13、，則 D(0,0,0) ， A1(1,0,1) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,1) ， (1,0,1) ， B(1,1,0) ， ( 1,0,1) 設(shè) n ( x， y， z)是平面n x z 0，n Bx y 0，A1BD的一個(gè)法向量，令 z 1，則 x 1， y 1. n ( 1,1,1) ， sin |cos n， | |1 1 63 2 3 .3如圖，過(guò)正方形成的二面角的大小是答案 45ABCD的頂點(diǎn)_解析 如圖，取 PD中點(diǎn) E，連結(jié)A，引 PA平面 ABCD.若 PABA，則平面 ABP和平面 CDP所AE，則 AE平面 PCD，故二面角的平面角 APE45.- 7 -

14、/ 15A1B AC6word4. 如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， ACB90， AA12， ACBC1，則異面直線 A1B與 AC所成角的余弦值是6答案_解析 以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)， CA、CB、CC1所在直線分別為 x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， A1(1,0,2) ，B(0,1,0) ， A(1， 0,0) ， C(0,0,0) ，則A1B( 1,1 ， 2)，C( 1,0,0) ， cos B， C| A1B| C|1 6 .1 14 65在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱PC的中點(diǎn)，又作 DFPB交 PB于點(diǎn) F，則 PB與平面答案 90解析PD平面 A

15、BCD，ABPDa. 點(diǎn) E為側(cè)棱EFD所成角為 _- 8 - / 152 2a a2 2word建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E(0， ， )故( a， a， a)， a aDE 0， ， ，2 2 a2 a2所以 PB DE0 0，Dxyz， D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 P(0,0 ， a)， B(a， a, 0)，所以 PB DE，由已知 DFPB，且 DFDED，所以 PB平面 EFD，所以 PB與平面 EFD所成角為 90.6在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCA1B1C1D1 中， O是底面 ABCD的中點(diǎn)， E， F 分別是 CC1， AD的中點(diǎn)，那么異面直線答案155OE和 FD1 所成的角的

16、余弦值等于 _解析 以 D為原點(diǎn)，分別以 DA、 DC、 F(1,0,0) ， D1(0,0,2) ， O(1,1,0) ， ( 1,0,2) ，DD1 為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，E(0,2,1) ，E( 1,1,1) ， cos ， E125 3155 .7如圖所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面 ABC， ABBCAA1， ABC90，點(diǎn) E、 F 分別是棱 AB、 BB1 的中點(diǎn)，則直線 EF和 BC1 所成的角是 _答案 60解析 以 BC， BA， BB1 所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸，- 9 - / 15由z 2y，_3word建

17、立空間直角坐標(biāo)系設(shè) ABBCAA12，則 C1(2,0,2) ， E(0,1,0) ， F(0,0,1) ，則F(0 ， 1,1) ， 2， cos BC1 (2,0,2) ，2 1 ，22 2 2EF和 BC1 所成的角為 60.8 (2014 某某調(diào)研 ) 在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1 D1 中， AB2， BCAA1 1，則 D1C1 與平面 A1BC1 所成角的正弦值為 1答案解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz，則 D1(0,0,1) ， C1(0,2,1) ， A1(1,0,1) ， B(1,2,0) ，所以 (0,2,0) ， A1C1 ( 1,2,0) ， A1B(0,2

18、設(shè)平面 A1BC1 的一個(gè)法向量為n x 2y0，n A1B2y z 0， 1)，n ( x， y， z)，x 2y， 得設(shè) D1C1 與平面sin |cos令 y 1，得 n(2,1,2) ，A1BC1 所成角為 ， n | ，則 | n| | D1C1| n|2 1 .23 3- 10 - / 15word9. 如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1 中， M、 N分別是棱成角的大小是 _答案 90解析 方法一 連結(jié) MD1，易證 DD1M CDN，則CD、 CC1 的中點(diǎn)，則異面直線 A1M與 DN所NDM DD1M， NDM D1MD DD1M D1 MD90，即 DND1 M，又

19、A1D1平面 DC1，A1 D1 DN， DN平面 A1D1M.A1 M? 平面 A1D1M， A1 MDN.即 A1M與 DN所成的角為 90.方法二 ( 空間向量法 )以 D為原點(diǎn)，分別以 DA， DC， DD1 所在直線為 x， y， z 軸，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 2，則 D(0,0,0) ， N(0,2,1) ， M(0,1,0) ， A1(2,0,2) ，N(0,2,1) ， A1(2 ， 1,2) ， cos N， A1 DN MA1 0，| N| MA1|A1 M與 DN的夾角為 90.10正四棱錐 SABCD中， O為頂點(diǎn)在底面上的射影， P 為側(cè)棱 SD的中點(diǎn)，且 SOOD，則直線

20、 BC與平面 PAC所成的角是 _答案 30解析 如圖所示，以 O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz .設(shè) ODSOOAOBOCa，- 11 - / 15| B| n| 22 2word則 A( a, 0,0) ， B(0， a, 0)， C( a, 0,0) ， P(0 ， a2， a2)， a a 則A(2 a, 0,0) ， AP( a， ， )， CB( a， a, 0)設(shè)平面則 cosPAC的一個(gè)法向量為CB n B， nn，可求得 n (0,1,1) ，a12 2 2.2a B， n 60，直線 BC與平面 PAC所成的角為 90 60 30.11如圖所示，在四棱錐 PABCD中，

21、底面 ABCD為直角梯形， ADBC， ADC90，平面1PAD底面 ABCD，E 為 AD的中點(diǎn)， M是棱 PC的中點(diǎn)， PAPD2， BC AD1， CD 3.(1) 求證： PE平面 ABCD；(2) 求直線 BM與平面 ABCD所成角的正切值；(3) 求直線 BM與 CD所成角的余弦值(1) 證明 因?yàn)?PAPD， E為 AD的中點(diǎn)，所以 PEAD.又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PE平面 ABCD.(2) 解連結(jié) EC，設(shè) EC的中點(diǎn)為 H，連結(jié) MH， HB，如圖因?yàn)?M是 PC的中點(diǎn)， H 是 EC的中點(diǎn)，所以 MHPE.由(1) ，知 PE

22、平面 ABCD，- 12 - / 15BMBE ME2MH 322 2 ，？若存在，求出2word所以 MH平面 ABCD，所以 HB是 BM在平面 ABCD內(nèi)的射影所以 MBH為直線 BM與平面 ABCD所成的角1因?yàn)?AD BC， BC AD， E為 AD的中點(diǎn)，所以四邊形 BCDE為矩形，1所以 EC 2， HB EC 1.21 3又 MH PE所以在 MHB中， tan MBHHB 2 .所以直線 BM與平面 ABCD所成角的正切值為ADC90，32 .(3) 解 由(2) ，知 CD BE，所以直線 BM與 CD所成角為直線 BM與 BE的夾角7連結(jié) ME，在 RtMHE中， ME ，同理求得所以在7BM ，又 BECD 3，22 2MEB中，